高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第七節(jié) 解三角形的實(shí)際應(yīng)用

課時作業(yè)(二十八)解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上 B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上 D．南偏西80°方向上D[由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因?yàn)椤螧CD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．]2．如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補(bǔ)，則AC的長為()A．7km B．8kmC．9km D．6kmA[在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－eq\f(1,2)，所以AC＝eq\r(49)＝7.]3．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/hB[設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).]4．國慶閱兵式上舉行升國旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度約為()A．17米 B．22米C．30米 D．35米C[如圖所示，依題意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可得，eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，所以AC＝eq\f,sin30°)×sin45°＝eq\f(49\r(2),2)(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝eq\f(49\r(2),2)×sin60°＝eq\f(49\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(49\r(6),4)≈30(米).]5．(多選)(2023·上海市金山區(qū)高三期末測試)地面上有兩座相距120m的塔，高塔的高為Hm，矮塔的高為hm，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?，在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫閑q\f(α,2)，且在兩塔底連線的中點(diǎn)O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，則下列結(jié)論正確的有()A．taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120) B．H＝90C．h＝40 D．H＝80ABC[設(shè)在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?則tanα＝eq\f(H,120)，taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120)，A正確；根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有eq\f(H,120)＝eq\f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,120)))\s\up12(2)).①因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫閑q\f(π,2)－β，由tanβ＝eq\f(H,60)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq\f(h,60)，得eq\f(H,60)＝eq\f(60,h).②聯(lián)立①②解得H＝90，h＝、C正確，D錯．]6．在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|________，大小為________km/h.解析：如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案：60°；20eq\r(3)7．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回到它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________．解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，則∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm).答案：eq\f(10\r(6),3)8.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為____m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA．在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q兩點(diǎn)間的距離為900m.答案：9009．漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以15eq\r(3)海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點(diǎn)處時發(fā)現(xiàn)在北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續(xù)航行20分鐘到達(dá)B點(diǎn)，此時發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？解析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過C作CD⊥AB交直線AB于點(diǎn)D，由題意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因?yàn)椤螦＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，則△ABC為等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因?yàn)椤螩BD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，則該船向北繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為海里．10．(開放型)在①AB＝2eq\r(5)，②∠ADB＝135°，③∠BAD＝∠C這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，使得問題成立，并求BD的長和△ABC的面積．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，AD⊥AC，AD＝1，sin∠BAC＝eq\f(2\r(5),5)，________，求BD的長和△ABC的面積．解析：選條件①，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).在△ABD中，由余弦定理得BD＝eq\r(20＋1－2×2\r(5)×1×\f(2\r(5),5))＝eq\r(13).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，即eq\f(2\r(5),sin∠ADB)＝eq\f(\r(13),\f(\r(5),5))，所以sin∠ADB＝eq\f(2\r(13),13).所以sin∠ADC＝eq\f(2\r(13),13)，cos∠ADC＝eq\f(3\r(13),13)，所以tan∠ADC＝eq\f(2,3)，所以AC＝eq\f(2,3).所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\f(2,3)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(4,3).選條件②，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).所以sinB＝sin(∠BAD＋135°)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(10),10).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin135°)＝eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AB＝eq\r(5)，BD＝eq\r(2).因?yàn)椤螦DB＝135°，所以∠ADC＝45°，所以AC＝1.所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\r(5)×1×eq\f(2\r(5),5)＝1.選條件③，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).因?yàn)椤螧AD＝∠C，所以sinC＝eq\f(\r(5),5)，在Rt△ACD中，可得cos∠ACD＝eq\f(\r(5),5)，所以cos∠ADB＝－eq\f(\r(5),5)，sin∠ADB＝eq\f(2\r(5),5).所以sinB＝sin(∠BAD＋135°)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AB＝eq\f(2\r(5),5)，BD＝eq\f(\r(5),3).因?yàn)閟inC＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝eq\f(2\r(5),5)，所以tanC＝eq\f(1,2)，所以AC＝2.所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(5),3)×2×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(4,3).11．已知在河岸A處看到河對岸兩個帳蓬C，D分別在北偏東45°和北偏東30°方向，若向東走30米到達(dá)B處后再次觀察帳蓬C，D，此時C，D分別在北偏西15°和北偏西60°方向，則帳蓬C，D之間的距離為()A．10eq\r(15)米 B．10eq\r(6)米C．5eq\r(15)米 D．5eq\r(6)米C[由題意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°.在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin60°＝eq\f(BD,BA)，解得BD＝15eq\r(3).在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，解得BC＝10eq\r(6).在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，則由余弦定理得cos∠CBD＝cos45°＝eq\f(BC2＋BD2－CD2,2BC·BD)，即eq\f(\r(2),2)＝eq\f(（10\r(6)）2＋（15\r(3)）2－CD2,2×10\r(6)×15\r(3))，解得CD＝5eq\r(15).故選C.]12.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．解析：由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2)).在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2)).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq\r(5).答案：80eq\r(5)13某市規(guī)劃一個平面示意圖為五邊形ABCDE的自行車賽道(如圖)，ED，DC，CB，BA，AE為賽道(不考慮寬度)，BE為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝eq\f(2π,3)，DE＝4km，BC＝CD＝eq\r(3)km.(1)求服務(wù)通道BE的長度；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道BAE最長？解析：(1)連接BD，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝9，∴BD＝3km.∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝eq\f(π,6)，又∠CDE＝eq\f(2π,3)，∴∠BDE＝eq\f(π,2)，在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝5(km).(2)在△BAE中，∠BAE＝eq\f(2π,3)，BE＝5(km)，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos∠BAE，即25＝AB2＋AE2＋AB·AE，故(AB＋AE)2－25＝AB·AE≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB＋AE,2)))eq\s\up12(2)，從而eq\f(3,4)(AB＋AE)2≤25，即AB＋AE≤eq\f(10\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AE時，等號成立．即設(shè)計(jì)為AB＝AE時，折線段賽道BAE最長．14．如圖，某市管轄的海域內(nèi)有一圓形離岸小島，半徑為