山西省忻州市偏關縣尚峪鄉(xiāng)中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

山西省忻州市偏關縣尚峪鄉(xiāng)中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.兩條異面直線在同一個平面上的正投影不可能是

A.兩條相交直線

B.兩條平行直線

C.兩個點

D.一條直線和直線外一點參考答案：C略2.已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（

）

A． B．

C．16，0

D．4，0參考答案：答案：D3.集合,,若,則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C4.若集合，則等于（

）

A．[0，1]

B．

C．

D．{1}參考答案：B略5.若復數(shù)滿足，則（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：A6.設全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，則（?UA）∩B=（）A．{6} B．{5，8} C．{6，8} D．{3，5，6，8}參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．

【分析】根據(jù)補集和交集的意義直接求解即可．【解答】解：由于U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，∴CUA={3，5，8}，∵B={5，6，8}，∴（CUA）∩B={5，8}，故選B．【點評】本題考查集合的交集及補集運算，較簡單．7.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入a=1，b=1，則輸出的S=（

）A．54

B．33

C.20

D．7參考答案：C執(zhí)行程序框圖，；；，結束循環(huán)，輸出，故選C.

8.70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩一個數(shù)學游戲.這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數(shù)，并且按照以下的規(guī)律進行變換：如果是個奇數(shù)，則下一步變成；如果是個偶數(shù)，則下一步變成.不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授與學究都紛紛加入.為什么這個游戲的魅力經(jīng)久不衰？因為人們發(fā)現(xiàn)，無論是怎樣一個數(shù)字，最終都無法逃脫回到谷底1.準確地說，是無法逃出落入底部的循環(huán)，永遠也逃不出這樣的宿命.這就是著名的“冰雹猜想”.按照這種運算，自然數(shù)經(jīng)過十步運算得到的數(shù)為

()A． B．

C．

D．參考答案：C9.如圖，設D是圖中邊長為4的正方形區(qū)域，E是D內函數(shù)圖象下方的點構成的區(qū)域。向D中隨機投一點，則該點落入E中的概率為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設集合，則A∩B=(

)A．（﹣∞，1] B．[0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]參考答案：C【考點】交集及其運算．【專題】集合思想；定義法；集合．【分析】化簡集合A、B，再求A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]，B={x|≥0}={x|x＞0}=（0，+∞）；∴A∩B=（0，1]．故選：C．【點評】本題考查了集合的化簡與簡單運算問題，是基礎題目．設a，b∈R，則“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合不等式的關系進行判斷即可．【解答】解：若a≥1且b≥1則a+b≥2成立，當a=0，b=3時，滿足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取最大值，則的取值范圍_________.參考答案：（-1，）12.已知點是函數(shù)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結論成立.運用類比思想方法可知，若點圖象上的不同兩點，則類似地有________________成立.參考答案：13.若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________.參考答案：14.已知復數(shù)

()的模為,則的最大值是

.參考答案：由題意知，即，所以對應的圓心為，半徑為。設，則。當直線與圓相切時，圓心到直線的距離為，解得，所以由圖象可知的最大值是。15.設，利用課本中推導等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值是________________。參考答案：

解析：

16.已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要條件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，這樣便得到了a的取值范圍．【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4；∴若p是q成立的充分不必要條件，則：a＞1，或a+4＜﹣2；∴a＞1，或a＜﹣6；∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．17.已知等比數(shù)列｛an｝中，，則等于

參考答案：4在等比數(shù)列中，所以，所以。所以，即，所以。14.設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=1,b=2,,則sinB等于

【答案】【解析】，由余弦定理得，即。由得，。由正弦定理得，得。（或者因為，所以，即三角形為等腰三角形，所以）。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間0,]上的最小值。參考答案：考點：三角函數(shù)圖像變換三角函數(shù)的圖像與性質恒等變換綜合試題解析：（1）由已知得由得：所以函數(shù)的單調減區(qū)間（2）將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)。因為所以所以當時，19.已知函數(shù)f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）當x＞1時，求f（x）的單調區(qū)間和極值．（2）若對于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范圍．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1x2＜e2k．參考答案：【分析】（1）由題意x＞0，=lnx﹣k，由此根據(jù)k≤0，k＞0利用導數(shù)性質分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值．（2）問題轉化為k+1＞對于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)k的取值范圍．（3）設x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，由此利用導數(shù)性質能證明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①當k≤0時，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（1，+∞），無單調減區(qū)間，無極值；②當k＞0時，令lnx﹣k=0，解得x=ek，當1＜x＜ek時，f′（x）＜0；當x＞ek，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是（1，ek），單調減區(qū)間是（ek，+∞），在區(qū)間（1，+∞）上的極小值為f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，無極大值．（2）∵對于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即問題轉化為（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0對于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞對于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，∴t（x）在區(qū)間[e，e2]上單調遞增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間[e，e2]上單調遞增，函數(shù)g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞對于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即實數(shù)k的取值范圍是（1﹣，+∞）．證明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ek）上單調遞減，在區(qū)間（ek，+∞）上單調遞增，且f（ek+1）=0，不妨設x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，∵f（x）在區(qū)間（ek，+∞）上單調遞增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即證f（x1）＜，構造函數(shù)h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴l(xiāng)nx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，ek）上單調遞增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．20.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若不等式f（x）≥0的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若方程f（x）=x有三個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【分析】（1）由題意可得即g（x）＜﹣a恒成立，作出函數(shù)g（x）的圖象，求得函數(shù)g（x）的最大值為g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴從而求得a的范圍．（2）在同一坐標系內作出函數(shù)g（x）=|x+1|﹣|x|圖象和y=x的圖象，由題意可知，把函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位），則它與y=x的圖象始終有3個交點，從而得到a的范圍．【解答】解：（1）令g（x）=|x+1|﹣|x|，則由題意可得f（x）≥0的解集為?，即g（x）≥﹣a的解集為?，即g（x）＜﹣a恒成立．∵，作出函數(shù)g（x）的圖象，由圖可知，函數(shù)g（x）的最小值為g（x）min=﹣1；函數(shù)g（x）的最大值為g（x）max=1．∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，綜上，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．（2）在同一坐標系內作出函數(shù)g（x）=|x+1|﹣|x|圖象和y=x的圖象如下圖所示，由題意可知，把函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，從而﹣1＜a＜0．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的恒成立問題，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）

中央電視臺星光大道某期節(jié)目中，有5位實力均等的選手參加比賽，經(jīng)過四輪比賽決出周冠軍（每一輪比賽淘汰l位選手）．

（Ⅰ）甲、乙兩位選手都進入第三輪比賽的概率；

（Ⅱ）設甲選手參加比賽的輪數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望。參考答案：略22.如圖，四棱錐E﹣ABCD中，面EBA⊥面ABCD，側面ABE是等腰直角三角形，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2．（Ⅰ）求證：AB⊥ED；（Ⅱ）求直線CE與面ABE的所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）作EM⊥AB，交AB于M，連結DM，由已知得四邊形BCDM是邊長為1的正方形，由此能證明AB⊥ED．（Ⅱ）由已知得BC⊥面ABE，直線CE與面ABE所成角為∠CEB，由此能求出直線CE與面ABE的所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：