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文檔簡介
山西省忻州市韓曲中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形,且體積為,則該幾何體的俯視圖可以是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C2.已知z是純虛數(shù),是實數(shù),那么z等于()A.2i B.i C.﹣i D.﹣2i參考答案:D【考點】復(fù)數(shù)的基本概念;復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【專題】計算題.【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z,代入,它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),化簡為a+bi(a,b∈R)的形式.【解答】解:由題意得z=ai.(a∈R且a≠0).∴==,則a+2=0,∴a=﹣2.有z=﹣2i,故選D【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查計算能力,是基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列中,,,若,則數(shù)列的前5項和等于
A.30
B.45
C.90
D.186參考答案:C略4.已知雙曲線的左、右焦點分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為,則此雙曲線的方程為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C5.已知直線x﹣y+2=0與圓C:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4(圓心為C)交于點A,B,則∠ACB的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°參考答案:C【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】求出圓心到直線的距離,利用三角函數(shù),即可得出結(jié)論.【解答】解:由題意,圓心到直線的距離d==,圓的半徑為2,∴cos∠ACB=,∴∠ACB=90°,故選C.6.在R上定義運算*:a*b=ab+2a+b,則滿足x*(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(
)
A.(-2,1)
B.(0,2)
C.
D.(-1,2)參考答案:A7.復(fù)數(shù)的值是
()A.-1 B.1 C. D.參考答案:A略8.設(shè)函數(shù)f(x)=,則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A.[﹣1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)參考答案:D考點:對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.專題:分類討論.分析:分類討論:①當(dāng)x≤1時;②當(dāng)x>1時,再按照指數(shù)不等式和對數(shù)不等式求解,最后求出它們的并集即可.解答:解:當(dāng)x≤1時,21﹣x≤2的可變形為1﹣x≤1,x≥0,∴0≤x≤1.當(dāng)x>1時,1﹣log2x≤2的可變形為x≥,∴x≥1,故答案為[0,+∞).故選D.點評:本題主要考查不等式的轉(zhuǎn)化與求解,應(yīng)該轉(zhuǎn)化特定的不等式類型求解.9.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx,(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于()A.8 B.6 C.4 D.2參考答案:A【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合;數(shù)列的求和.【分析】函數(shù)y1=與y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【解答】解:函數(shù)y1=,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象,如圖,當(dāng)1<x≤4時,y1<0而函數(shù)y2在(1,4)上出現(xiàn)1.5個周期的圖象,在(1,)和(,)上是減函數(shù);在(,)和(,4)上是增函數(shù).∴函數(shù)y1在(1,4)上函數(shù)值為負(fù)數(shù),且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H相應(yīng)地,y1在(﹣2,1)上函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D且:xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標(biāo)之和為8.故選:A.10.已知函數(shù),的最小值為a,則實數(shù)a的取值范圍是A.
B.
C.
D.參考答案:C因為的最小值為且時,故恒成立,也就是,當(dāng)時,有;當(dāng)時,有,故,所以選C.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足:z(2-i)=4+3i(其中i為虛數(shù)單位),則z的模等于
.參考答案:;12.給出下列六個命題:①不等式x2-4ax+3a2<0的解集為{x|a<x<3a};②若函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù),則y=f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱;③若不等式|x-4|+|x-3|<a的解集為空集,必有a≤1;④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a至多有一個交點;⑤若角α,β滿足cosα·cosβ=1,則sin(α+β)=0;⑥命題“”的否定是“”.其中所有正確命題的序號是
.參考答案:②③④_⑤_略13.如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為_________.參考答案:略14.函數(shù)的定義域為
.參考答案:15.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為
.參考答案:64試題分析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),由得,解得,所以,于是當(dāng)n=3或n=4時,a1a2…an取得最大值26=64.16.△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、,asinAsinB+bcos2A=2a,則角A的取值范圍是.參考答案:(0,]【考點】余弦定理;正弦定理.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.【分析】利用正弦定理化簡已知的等式,整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡,得到sinB=2sinA,再利用正弦定理化簡得:b=2a,由余弦定理表示出cosA,整理后利用基本不等式求出cosA的范圍,再由A為三角形的內(nèi)角,且根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,即可得到A的范圍.【解答】解:在△ABC中,由正弦定理化簡已知的等式得:sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=2sinA,∴sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a,由余弦定理得:cosA===≥=,∵A為三角形ABC的內(nèi)角,且y=cosx在(0,π)上是減函數(shù),∴0<A≤,則A的取值范圍是:(0,].故答案為:(0,].【點評】此題考查了正弦、余弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,基本不等式,以及余弦函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.17.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________.參考答案:2略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R)(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;(Ⅱ)當(dāng)a≥2時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(Ⅲ)若對任意a∈(2,3)及任意x1,x2∈[1,2],恒有ma+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(Ⅰ)將a=1代入函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間,從而求出極值,(Ⅱ)先求出導(dǎo)函數(shù),再分別討論a>2,a=2,a<2時的情況,綜合得出單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)由(Ⅱ)得;a∈(2,3)時,f(x)在[2,3]上遞減,x=1時,f(x)最大,x=2時,f(x)最小,從而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)=﹣+ln2,進(jìn)而證出ma+ln2>﹣+ln2.經(jīng)整理得m>﹣,由2<a<3得;﹣<﹣<0,從而m≥0.【解答】解;(Ⅰ)函數(shù)的定義域為(0,+∞),a=1時,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣=,令f′(x)=0,得x=1,∴f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,∴f(x)極小值=f(1)=1,無極大值;(Ⅱ)f′x)=(1﹣a)x+a﹣=,當(dāng)=1,即a=2時,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上遞減;當(dāng)<1,即a>2時,令f′(x)<0,得0<x<,或x>1,令f′(x)>0,得<x<1,當(dāng)>1,即a<2時,矛盾舍,綜上,a=2時,f(x)在(0,+∞)遞減,a>2時,f(x)在(0,)和(1,+∞)遞減,在(,1)遞增;(Ⅲ)由(Ⅱ)得;a∈(2,3)時,f(x)在[1,2]上遞減,x=1時,f(x)最大,x=2時,f(x)最小,∴|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)=﹣+ln2,∴ma+ln2>﹣+ln2.a(chǎn)>0時,經(jīng)整理得m>﹣,由2<a<3得;﹣<﹣<0,∴m≥0.19.對于無窮數(shù)列{an},{bn},若-…,則稱{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.其中,,分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知{an}為無窮數(shù)列,其前n項和為Sn,數(shù)列{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.(1)若,求{bn}的前n項和;(2)證明:{bn}的“收縮數(shù)列”仍是{bn};(3)若,求所有滿足該條件的{an}.參考答案:(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數(shù)列為【分析】(1)由可得為遞增數(shù)列,,,從而易得;(2)利用,,可證是不減數(shù)列(即),而,由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.(3)首先,由已知,當(dāng)時,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,(*),這里分析與的大小關(guān)系,,均出現(xiàn)矛盾,,結(jié)合(*)式可得,因此猜想(),用反證法證明此結(jié)論成立,證明時假設(shè)是首次不符合的項,則,這樣題設(shè)條件變?yōu)椋?),仿照討論的情況討論,可證明.【詳解】解:(1)由可得遞增數(shù)列,所以,故的前項和為.(2)因為,,所以所以.又因為,所以,所以的“收縮數(shù)列”仍是.(3)由可得當(dāng)時,;當(dāng)時,,即,所以;當(dāng)時,,即(*),若,則,所以由(*)可得,與矛盾;若,則,所以由(*)可得,所以與同號,這與矛盾;若,則,由(*)可得.猜想:滿足的數(shù)列是:.經(jīng)驗證,左式,右式.下面證明其它數(shù)列都不滿足(3)的題設(shè)條件.法1:由上述時的情況可知,時,是成立的.假設(shè)是首次不符合的項,則,由題設(shè)條件可得(*),若,則由(*)式化簡可得與矛盾;若,則,所以由(*)可得所以與同號,這與矛盾;所以,則,所以由(*)化簡可得.這與假設(shè)矛盾.所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.法2:當(dāng)時,,所以即由可得又,所以可得,所以,即所以等號成立的條件是,所以,所有滿足該條件的數(shù)列為.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義問題,考查學(xué)生創(chuàng)新意識.第(1)(2)問直接利用新概念“收縮數(shù)列”結(jié)合不等關(guān)系易得,第(3)問考查學(xué)生的從特殊到一般的思維能力,考查歸納猜想能力,題中討論與大小關(guān)系是解題關(guān)鍵所在.本題屬于難題.20.(14分)已知函數(shù)f(x)=(a﹣)x2+lnx.(a∈R)(1)當(dāng)a=0時,求f(x)在x=1處的切線方程;(2)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方,求a的取值范圍;(3)設(shè)g(x)=f(x)﹣2ax,h(x)=x2﹣2bx+.當(dāng)a=時,若對于任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使g(x1)≤h(x2),求實數(shù)b的取值范圍.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【專題】分類討論;分類法;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點,可得切線的方程;(2)令,由題意可得g(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.求出g(x)的導(dǎo)數(shù),對a討論,①若,②若,判斷單調(diào)性,求出極值點,即可得到所求范圍;(3)由題意可得任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],只要g(x1)max≤h(x2)max,運用單調(diào)性分別求得g(x)和h(x)的最值,解不等式即可得到所求b的范圍.【解答】解:(1)f(x)=﹣x2+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=﹣x+,f(x)在x=1處的切線斜率為0,切點為(1,﹣),則f(x)在x=1處的切線方程為;(2)令,則g(x)的定義域為(0,+∞).在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.①①若,令g'(x)=0,得極值點x1=1,,當(dāng)x2>x1=1,即時,在(0,1)上有g(shù)'(x)>0,在(1,x2)上有g(shù)'(x)<0,在(x2,+∞)上有g(shù)'(x)>0,此時g(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有g(shù)(x)∈(g(x2),+∞),不合題意;當(dāng)x2≤x1=1,即a≥1時,同理可知,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上,有g(shù)(x)∈(g(1),+∞),也不合題意;②若,則有2a﹣1≤0,此時在區(qū)間(1,+∞)上恒有g(shù)'(x)<0,從而g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);要使g(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,由此求得a的范圍是[,].綜合①②可知,當(dāng)a∈[,]時,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方.(3)當(dāng)時,由(Ⅱ)中①知g(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,2)上是減函數(shù),所以對任意x1∈(0,2),都有,又已知存在x2∈[1,2],使g(x1)≤h(x2),即存在x2∈[1,2],使,即存在x2∈[1,2],,即存在x2∈[1,2],使.因為,所以,解得,所以實數(shù)b的取值范圍是.【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線的方程和單調(diào)性,考查不等式恒成立問題及任意性和存在性問題,注意轉(zhuǎn)化為求最值問題,考查運算能力,屬于中檔題.21.(14分)已知數(shù)列{}的前項和,(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式-;(Ⅱ)設(shè)
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