數(shù)學(xué)模型方法與MonterCarlo模擬

第八章數(shù)學(xué)模型方法與MonterCarlo模擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理第8章數(shù)學(xué)模擬試驗(yàn)前面幾節(jié)，我們介紹了單因素優(yōu)選法和正交試驗(yàn)法，這些方法都是一般的方法，它們使用方便，效率很高，但是，也有不少缺點(diǎn)，這些缺點(diǎn)是：（1）它并不要求了解對(duì)象的特殊性。因此，不能很有效地幫助人們對(duì)對(duì)象的認(rèn)識(shí)。（2）正因?yàn)樗恰耙话愕摹狈椒?，適用于一切實(shí)驗(yàn)，因而能獲得的簡(jiǎn)化效果也是有限的。根據(jù)對(duì)象的特殊性，所能作出的簡(jiǎn)化往往能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這些“一般的”簡(jiǎn)化所能達(dá)到的限度。（3）長(zhǎng)期地過(guò)分依賴這種“一般化”的簡(jiǎn)化，將使實(shí)驗(yàn)者逐步失去理論思維的能力和對(duì)對(duì)象進(jìn)行剖析的習(xí)慣.數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)模擬

本節(jié)介紹數(shù)學(xué)模型方法和數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)方法.數(shù)學(xué)模型法也是一種指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的方法,它與前面講的一般化的方法不同之處,在于它不是作“一般化”的簡(jiǎn)化,而是在認(rèn)識(shí)并剖析對(duì)象之后,再對(duì)對(duì)象作分析和簡(jiǎn)化.數(shù)學(xué)模型就是對(duì)簡(jiǎn)化的過(guò)程作出數(shù)學(xué)描述.對(duì)研究對(duì)象建立數(shù)學(xué)模型之后,即可進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,改變各種條件,通過(guò)計(jì)算可以獲得該研究對(duì)象在各種條件下的性能和行為,這種計(jì)算稱為數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn).數(shù)值如果是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的,則稱得上為計(jì)算機(jī)模擬.8.1建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

數(shù)學(xué)模型主要有解釋、判斷、預(yù)見(jiàn)三大功能。其中預(yù)見(jiàn)功能是數(shù)學(xué)模型最重要的功能，因?yàn)槟芊癯晒Φ乩脭?shù)學(xué)模型所推導(dǎo)的規(guī)律與事實(shí)去預(yù)測(cè)未來(lái)，是衡量該模型價(jià)值與數(shù)學(xué)方法效力的最重要的標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型必須能反映系統(tǒng)的全部重要特性，同時(shí)在數(shù)學(xué)上又易于處理，滿足模型的可靠性和適用性。建立一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型大致有兩種方法：一種是實(shí)驗(yàn)歸納的方法，即根據(jù)測(cè)試或計(jì)算數(shù)據(jù)，按照一定的數(shù)學(xué)方法，歸納出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由第3章、第4章介紹的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒎椒?，?shí)際上就可看作是歸納法得出的模型。另一種是理論分析的方法，即根據(jù)客觀事物本身的性質(zhì)，分析因果關(guān)系，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下用數(shù)學(xué)工具去描述其數(shù)量特征。本章主要是討論用理論分析方法建立數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題。建立數(shù)學(xué)模型的主要步驟

(1)了解問(wèn)題，明確目的。在建模前要對(duì)實(shí)際問(wèn)題的背景有深刻的了解，進(jìn)行全面的、深人細(xì)致的觀察。明確所要解決問(wèn)題的目的和要求.(2)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化和假設(shè)。問(wèn)題是復(fù)雜的，不可能考慮到所有因素，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，提出假設(shè)，不同的簡(jiǎn)化和假設(shè)，有可能得出不同的模型和結(jié)果。(3)建立模型。在所作簡(jiǎn)化和假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)、描述各種量之間的關(guān)系，用表格、圖形、公式等來(lái)確定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。(4)對(duì)模型進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和修改。將結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較，以驗(yàn)證模型的合理性。必要時(shí)進(jìn)行修改調(diào)整，或改換數(shù)學(xué)方法。模型要經(jīng)過(guò)反復(fù)地修改才能成功。(5)模型的應(yīng)用。用已建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì),以便給人們的決策提供參考。降低AlCl3耗量

固體AlCl3從頂部每8h加入一次.由于物料連續(xù)流動(dòng)，在剛投入AlCl3時(shí)，物料帶出的AlCl3量一定多，系統(tǒng)內(nèi)的AlCl3的濃度變化，必然會(huì)對(duì)反應(yīng)發(fā)生明顯的影響。為了保證后期例如第7h有一定的AlCl3濃度，一次投入的AlCl3濃度必須多一些，因而造成浪費(fèi)。為了節(jié)約AlCl3，只有縮短AlCl3加入的周期。如果提出任務(wù)，要求降低AlCl3耗量20—25%，依靠縮短加料時(shí)間可能作到嗎？縮短到幾小時(shí)加一次為宜？由于以前沒(méi)有這方面的資料，不作實(shí)驗(yàn)，就不能回答。但是，由于這是萬(wàn)噸級(jí)生產(chǎn)規(guī)模，試驗(yàn)前對(duì)試驗(yàn)?zāi)芊癯晒π闹袩o(wú)數(shù)，如果出現(xiàn)一天不合格的產(chǎn)品，經(jīng)濟(jì)上就會(huì)造成很大的損失，生產(chǎn)上是不允許的。若改作小型模擬試驗(yàn)，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很難準(zhǔn)確模擬出物料流動(dòng)的狀況。所以采用數(shù)學(xué)模擬法進(jìn)行試驗(yàn)研究。反應(yīng)系統(tǒng)等價(jià)于幾個(gè)串連全混釜？

我們知道，人們總是把返混簡(jiǎn)化成兩種極端模型，一種是柱塞流動(dòng)，一種是全混流動(dòng)。一般的流動(dòng)模型，介于二者之間，其中一種模擬方法，是等體積串連全混釜法。如果是一個(gè)全混釜，就是全混流；如果是無(wú)限多個(gè)等體積串連全混釜，就相當(dāng)于柱塞流。介于二者之間的一般返混流動(dòng)，可用有限個(gè)數(shù)等體積串連全混釜加以模擬和描述。我們面臨的問(wèn)題就是，反應(yīng)系統(tǒng)等價(jià)于幾個(gè)串連全混釜？建立數(shù)學(xué)模型的程序

這三個(gè)等體積串聯(lián)釜，是流動(dòng)過(guò)程簡(jiǎn)化了的物理模型，而不是客觀過(guò)程逼真的描述。由此，我們對(duì)建立數(shù)學(xué)模型的程序作出如下總結(jié)；(1)認(rèn)識(shí)和剖析研究對(duì)象的物理或化學(xué)本質(zhì)；(2)對(duì)過(guò)程本質(zhì)作出簡(jiǎn)化，得出簡(jiǎn)化的物理模型；(3)對(duì)簡(jiǎn)化物理模型參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)定；(4)整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。有了數(shù)學(xué)模型之后，我們就可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，估計(jì)各種條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。通過(guò)E(t)疊加計(jì)算改變加料時(shí)間后的流出情況

通過(guò)前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們知道，AlCl3在加入后8h，基本上已經(jīng)全部流出。如果縮短加料時(shí)間，如改為4h或2h加一次，就會(huì)出現(xiàn)第一次尚未流出完畢，第二次加入的就已開(kāi)始流出的一波未平，一波又起的情況。流出量相互疊加，流出分率也相互疊加。因此，我們可以通過(guò)E(t)的疊加計(jì)算，得到改變加料時(shí)間后的流出情況。若每4h加入一次，到任1hAlCl3的加入次數(shù)就可以很容易的計(jì)算出來(lái)。以第17h為例，已經(jīng)加入5次。這個(gè)小時(shí)流出的AlCl3量，是五次加入AlCl3在該小時(shí)流出量的總和。流出量的總和=E1(17)+E2(13)+E3(9)+E4(5)+E5(1)

8.3補(bǔ)加催化劑的

最佳周期

在連續(xù)生產(chǎn)的均相或擬均相催化反應(yīng)中,催化劑和反應(yīng)物流在反應(yīng)系統(tǒng)中同步運(yùn)動(dòng),造成催化劑被反應(yīng)物流帶出而流失。必須補(bǔ)加催化劑才能使生產(chǎn)穩(wěn)定進(jìn)行。由于催化劑用量很少,與原料一起連續(xù)加入有一定困難。不少工藝采用定期補(bǔ)加的方法。補(bǔ)加催化劑的最佳周期指的是在維持工藝指標(biāo)的前提下,允許補(bǔ)加的最長(zhǎng)時(shí)間間隔。文獻(xiàn)中用多級(jí)串聯(lián)釜模型和流出分率疊加的方法,導(dǎo)出了最佳補(bǔ)加催化劑周期的計(jì)算式。二、MonteCarlo模擬

從前面來(lái)看，我們討論的都是數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。其基本思路是：對(duì)過(guò)程的物理或化學(xué)的實(shí)質(zhì)進(jìn)行分析，簡(jiǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)求取模型中的參數(shù)，完成數(shù)學(xué)模型的建立。在實(shí)際上，這種方法并不能解決所有問(wèn)題。有些數(shù)學(xué)模型過(guò)于復(fù)雜，求解有相當(dāng)困難，簡(jiǎn)化若不適當(dāng)，又會(huì)失真。有時(shí)，直接進(jìn)行實(shí)驗(yàn)也有一定困難。這一套數(shù)學(xué)模型的思路和方法就遇到了很大的困難。由此發(fā)展出了一套新的計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)方法，就是MonteCarlo模擬法。第二次世界大戰(zhàn)期間，美國(guó)LosAlamos實(shí)驗(yàn)室論證出了制造原子彈的可能性，但要制出實(shí)際可用的核武器，逐項(xiàng)解決大量復(fù)雜的理論和技術(shù)問(wèn)題，如中子軌道和輻射軌道等等問(wèn)題。描述這些過(guò)程需要相當(dāng)復(fù)雜的微分、積分的耦合方程組?？茖W(xué)家們采用建立基礎(chǔ)的物理模型，用隨機(jī)抽樣法在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬的方法。這種方法與數(shù)學(xué)模擬法不同，不從物理模型建立數(shù)學(xué)模型（太復(fù)雜），而是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)，用隨機(jī)抽樣法解決問(wèn)題。MonteCarlo是一個(gè)賭城，賭博的特點(diǎn)就是隨機(jī)性，由此對(duì)本法進(jìn)行命名。1949年Metropolis和Wlam發(fā)表了第一篇論文，學(xué)術(shù)界以此作為MonteCarlo法誕生的標(biāo)志。MonteCarlo法是在計(jì)算機(jī)發(fā)展起來(lái)后才出現(xiàn)的。根據(jù)基礎(chǔ)的物理模型在計(jì)算機(jī)上改變條件、觀測(cè)結(jié)果，作出結(jié)論。因此也稱為“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”?？茖W(xué)上傳統(tǒng)的分為“理論科學(xué)”和“實(shí)驗(yàn)科學(xué)”，有人認(rèn)為應(yīng)將“計(jì)算機(jī)模擬”列為第三分支，它不是純理論的，又不是純實(shí)驗(yàn)的。后來(lái)，MonteＣarlo模擬方法逐漸被推廣到化學(xué)、化工研究中，本章介紹其基本思路和工作方法。

8.1MonteCarlo方法基礎(chǔ)

用MonteCarlo方法模擬某過(guò)程，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。最簡(jiǎn)單、最基本，也是最重要的隨機(jī)變量是在[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量。產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的方法，可以采用物理方法和數(shù)學(xué)方法。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一般均采用某種確定性的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此并非真正“隨機(jī)”，故通常稱為“偽隨機(jī)數(shù)”?！皞坞S機(jī)數(shù)”在使用前應(yīng)檢驗(yàn)一下隨機(jī)數(shù)的質(zhì)量好壞。目前一般采用乘同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。為了對(duì)MonteCar1o方法的基本特征有一個(gè)最為初步的了解，下面給出一個(gè)用MonteCar1o方法求解定積分的例子，從這個(gè)例子可直觀地體會(huì)到用MonteCarlo方法求解確定性問(wèn)題的基本過(guò)程。MonteCarlo方法的基本特征

(1)由于MonteCarlo是通過(guò)大量簡(jiǎn)單的重復(fù)抽樣來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此，MonteCarlo方法及程序十分簡(jiǎn)單。(2)MonteCarlo方法收斂與一般數(shù)值方法相比是比較慢的。因此，MonteCarlo方法最適合于用來(lái)解數(shù)值精度要求不太高的問(wèn)題。(3)MonteCarlo方法的誤差主要取決于樣本的容量N而與樣本中元素所在的空間無(wú)關(guān)，即MonteCarlo方法的收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)，因而更適合于求解多維問(wèn)題。這一點(diǎn)只要將上述問(wèn)題設(shè)想成多維空間的積分就容易理解。(4)MonteCarlo方法對(duì)問(wèn)題求解的過(guò)程取決于所構(gòu)造的概率模型，因而對(duì)各種問(wèn)題的適應(yīng)性很強(qiáng)。8.2乘同余法

產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)在MonteCarlo法中是很重要的。下面介紹一下產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法乘同余法。產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的方法，可以采用物理方法和數(shù)學(xué)方法。最簡(jiǎn)單的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的物理方法是擲硬幣游戲，若把硬幣的正、反面分別計(jì)為0和1，就可以得到由