04-第四章-一元函數(shù)微分學的應用

四-一函微分的應D

1

1

⑵拉朗（）中定如函

yf(x)

滿下兩條：①閉間②開間

[a](a,)

上續(xù)內(nèi)導則至少存一

b

，使得

f

)

f(bab

,

或f(ff

)(b)

.⑶柯（中定如函

f(x

與

g(x

滿下兩條：①閉間②開間

[a](a,)

上續(xù)內(nèi)導且

(,b,則

(,b

內(nèi)少在點

，得fb)fa)fg()g(a

.2.必法如①

limf(x)lim(x)0x

;②

函

f(xg(xx某鄰內(nèi)點可外可0導且0

；③

limx

fg

A(為有限,也可為x

f(xfAg)x

.注

上定對

x

時

00

型定同適用,1

00對

xxx時型定也相的則.3.函的調(diào)定設數(shù)

f(x

在區(qū)

[a]

上續(xù)在區(qū)

(a,)

內(nèi)導則①在

(,b

內(nèi)

f

則數(shù)

f(

在

[a]

上調(diào)加②在

(,bf

則數(shù)

f(x[a]

上調(diào)少4.函的值極點駐⑴極的義

設數(shù)

f(x

在

x

的鄰內(nèi)定義如對該域任點

x)0

，有

f(x)f(0

，則

f()

是數(shù)

f(x

的大；果于鄰內(nèi)一x)0

都

f()(x0

則

f()

是數(shù)

f(x

的小函的大與小統(tǒng)為數(shù)極，函取得值點稱函

f(x

的值⑵駐

使的為數(shù)

f(x

的點.⑶極的要件

設數(shù)

f(xx處導且點x

處得值那

f

)00

.⑷極第充條設數(shù)

f(x

在

x

連在

x

的一心域的一點x處可,當該域由增經(jīng)

x

時如①f

由變，么是(

的大點

f()

是f(x

的大；②

f

由變，么是(

的小點

f()

是2

f(x

的??；③

f

不變號那么不(

的值⑸極的二分件函數(shù)

f(x

點

x

階且

f

，f

是數(shù)00

f(x

的值，

f()

為數(shù)

f(x

的極，有①果f則f(x)0

在x處得大；②果

f

0

，

f(x

在

x

處得小5.數(shù)最值最值在區(qū)上續(xù)數(shù)定在最值最值.連續(xù)數(shù)閉間的大和小只能區(qū)內(nèi)駐點不導或區(qū)的點取.6.函圖的、與點⑴線向義

若區(qū)

(a,

內(nèi)線

y()

各的線位該線下，稱曲在

(a,

內(nèi)向凹（稱凹或下；曲

y()

各的線都于線上，稱曲在稱凹或上）

(a,)

內(nèi)向凹（⑵線向定理

設數(shù)區(qū)

(b

內(nèi)有階導，①如在間

(a,)

內(nèi)

f

則線

y()(a,)

內(nèi)是凹3

cosln(故極cosln(故極為②如在間

(b

內(nèi)

，則線

yf(x)在(,b)內(nèi)下的⑶點

若續(xù)線

yfx)

上點

(xy0

是線、凸分分點則P是線7.曲的近

yfx)

的點⑴平近

若

x

(

或x，f()b

為數(shù)則曲

yf()

有平近.⑵直近

若當

(或a或

xa

（為數(shù)時有

f(x)

，稱線

yfx)

有直近

.⑶漸線

若數(shù)

(x)

滿

lim

f()

，lim[f(x)]x

(中變的化程可同時成

或x則曲

y

(x)

有漸線

y

.二、要題法用必法求定的限方例求列限）

x

xcotx2

）lim（）x3ln(ex311lim[)]xx2（

lim(n

xx)

（5）

limx

1cosx解（）由0時，cotx型用必法

01tan0所

limx

cotxxcosx0x4

x

3

（母價窮代）

3

cosxsinx2xxlim3x0（此極限，直應洛達則所

x3

cosln(ln(e3)

=

xx

ln(x

)cos33

1exx3

31e

xcos3

（求限為不直用必法，通分后可變成

00

或

型.1[x0

ln(1)]x

x)x2

limx0

lim0

12x(1)

0

11)2

（所極為0得limx

n

xlimx0

ln1x

（型=

limx0

=

0

1

1limx0（此限型用必法，5

lim0f(xlim0f(xlimx

cosx1xlimx

不在但

limx

xxxxx

limx

小

使洛達則，注以幾：（洛達則以續(xù)用但次用則，必檢是屬或定，不未型就能0使法；（如有約子，或有非極的積子則可約或出以化算驟（當

lim

fg

不在，不斷l(xiāng)im也存g(x)在此應用他法極單性判與限求例試當x，

證

令

f(x)x

，易

f(在

內(nèi)連，f(1)f

x時f

知x)為(

上嚴單減函，f(x)f(1)xf

可(x為[1,

上嚴單增函，即

f(x(1)

故任

x

有

f(x)0,

即

e

6

例

求數(shù)

4

3

的調(diào)與值.解

函的義為

(

yx

，令

y

駐

x12列

(

(0,3)

3

(3,+

極由表，調(diào)區(qū)為27極值y4

(

，調(diào)區(qū)為

(

，求數(shù)極也以二導來別此中

2

x,

不確定x處是否極，x

x

得y

274

是小.小

用調(diào)來明等，方是不式邊解式到等的邊再此等的邊函數(shù)

f(x

；用數(shù)定

f(x

的調(diào)；后用知件與調(diào)，到等。例知，二導討函在點極不列也方，它使范有，對

f

、

f

及

f

同不在點能用求數(shù)凹及點方7

例求數(shù)

y

的向拐解

函的義

(

，y

2x1

y

2)2(1(1x22)

，令

y

得

y

，列

(

(

(1,y

拐

+

拐

由可，凹間,下凹間

(

，曲的點

(ln2)

小

求數(shù)凹與點需拐的義凹的別理可注拐也在使y點得求數(shù)最值最值方例5求數(shù)

2y(2x

在間

[

上最值最值.解

函在

[

上續(xù)由于

10(x

，33令

y

，則

x

，

在

x

處存

故8

xxy

f(ff(0),f(1)}2{,0,y

2

小

函的大（值整區(qū)上最大（）值求大小值一步為1）求出

f(x

在

(,b

內(nèi)的有點不導求函在點、可點區(qū)端處函值（3）比這值大，中大者為數(shù)最值最者為數(shù)最值求線近的方.例求列線漸線（

y

lnx

（2）

解（）給數(shù)定域

由

lnlimlimxx

，可

y0

為所曲

ln

的平近.由

lnxlimx0x

，可

為線

ln

的直近.（2）所給函的義

(

,

由

于

f()lim1x1

2

x

，f()1x1

2x

，可

為給線鉛漸線在

的側(cè)9

f(

的向同.又

limx

f()xxlimxx(

，lim)xx

2(x

]limx所

，y

是線一斜近函圖的繪例

作函

y

x(x

的形.解

函的義

(

，

2x

2x

，y

2(xx2((4

，令

y

y

，解

0,x

12

列

(

(

1(0,)2

12

1(,2y

++

+

+

++

+

+f極

拐10

11aa11aa由表知

極值

f

，拐().2（漸線x2limylimxx

，

y所

y

是平近，limyx

x2(1)

，所

是直近.

-1

Ox（作如所.求際題最值最值方例

一邊為a的方薄，從角截一個方，后成個蓋方子問取小塊的長于少，盒的量大解

設取小塊邊為

ax)2

，方子的積v(xx(2v

2

ax

2令

v

0

，得點

ax62

（合意舍）由在

a(0,)2

內(nèi)有個點由際義知無方子容一有大.因，當x時v(6

取最值.故正形片角截一邊是的方611

后折一無方子容最小

求優(yōu)問，鍵在個圍建目函

f(x

，根實問本可斷可函

f(x