高中數(shù)學(xué)高考大聯(lián)考大聯(lián)考 2023屆湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高考第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)第三次大聯(lián)考試卷一、選擇題（共8小題）.1．已知U為全集，非空集合A，B滿足A∩（?UB）≠?，則下列正確的是（）A．A∩B＝? B．A?B C．B?A D．（?UA）∩B≠?2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝1+2i，則1+在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列選項(xiàng)中的兩個條件是互為充要條件的是（）A．P：a＝1；Q：函數(shù)f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函數(shù) B．在△ABC中，P：△ABC是等邊三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2﹣3n+1；Q：數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列 D．P：實(shí)數(shù)x＞1；Q：x+≥24．九龍壁是中國古代建筑的特色，是帝王貴族出入的宮殿或者王府的正門對面，是權(quán)力的象征，做工十分精美，藝術(shù)和歷史價值很高．九龍壁中九條蟠龍各居神態(tài)，正中間即第五條為正居之龍，兩側(cè)分別是降沉之龍和升騰之龍間隔排開，其中升騰之龍位居陽位，即第1，3，7，9位，沉降之龍位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龍壁模型，為了增加模型的種類但又不改變升騰之龍居陽位和沉降之龍的位置，只能調(diào)換四條升騰之龍的相對位置和四條沉降之龍的相對位置．則不同的雕刻模型有多少種（）A．A B．2A C．A D．A?A5．函數(shù)f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z6．已知直線l被雙曲線C：﹣y2＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），則直線l的方程（）A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝07．目前我國對于輕型汽車將“國六標(biāo)準(zhǔn)”分為“國六A“和“國六B”兩個階段，并計(jì)劃于2023年在全國統(tǒng)一實(shí)施．國六標(biāo)準(zhǔn)即“國家第六階段機(jī)動車污染物排放標(biāo)準(zhǔn)”，是為了貫徹環(huán)境保護(hù)相關(guān)法律．減少并防止汽車排氣對環(huán)境的污染，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，保證人體健康而制定的．某國有汽車品牌努力研發(fā)輕型燃油汽車性能，對旗下生產(chǎn)的三款汽車在不同速度下燃油效率性能檢測如圖（“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程）．下列敘述中正確的是（）排放物國六A國六B一氧化碳700（mg/km）500（mg/km）非甲烷烴68（mg/km）35（mg/km）氮氧化物60（mg/km）35（mg/km）PM細(xì)顆粒物（mg/km）3（mg/km）PN顆粒物6×1011顆/km6×1011顆/kmA．國六B階段比國六A階段對PN顆粒物排放量要求減少 B．以相同速度行駛時，甲車每小時消耗汽油最少 C．乙車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗汽油不到10升 D．甲車以80千米/小時的速度行駛1km需要消耗汽油約10升8．已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ1） B．P（X2≥μ2）＞P（X3≥μ3） C．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ3） D．P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝c D．S△ABC＝210．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q＞1，其前n項(xiàng)和為Sn，若a5﹣a1＝15，a2?a4＝16，則下列說法正確的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．a(chǎn)n＝2n C．?dāng)?shù)列{log3（Sn+1）}是等比數(shù)列 D．對任意的正整數(shù)k（k為常數(shù)），數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列11．已知向量＝（1，sinθ），＝（cosθ，）（0≤θ≤π），則下列命題正確的是（）A．與可能平行 B．存在θ，使得||＝|| C．當(dāng)?＝時，sinθ＝ D．當(dāng)tanθ＝﹣時，與垂直12．已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足對任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1）．當(dāng)0≤x≤時，f（x）＝log2（1+x），則下列說法正確的是（）A．f（x）的周期為2 B．若i∈N*，則f（i）＝0 C．點(diǎn)（﹣1，0）為f（x）的一個對稱中心 D．f（）＝log2（）1011三、填空題（共4小題）.13．從古至今，奇門遁甲，五行八卦等，稱之為玄學(xué)，它充滿了神秘色彩，人們常說“無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．八卦是由，組合而成，八卦中的陽爻和陰爻與計(jì)算機(jī)數(shù)制“二進(jìn)制”中的1和0分別對應(yīng)，例如在二進(jìn)制下“101011”表示的“十進(jìn)制”數(shù)為1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中乾卦代表的二進(jìn)制數(shù)“111111”表示十進(jìn)制數(shù)63，坤卦代表的二進(jìn)制數(shù)“00000”表示的十進(jìn)制數(shù)為0，據(jù)此，離卦表示的十進(jìn)制數(shù)字為．14．已知過點(diǎn)（0，﹣4）且傾斜角的余弦值為的直線方程為，若該直線與拋物線x2＝2py（p＞0）只有一個公共點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為．15．“開車不喝酒，喝酒不開車”，為了營造良好的交通秩序，全國各地交警都大力宣傳和查處“酒駕行為”．某地交警在設(shè)卡查處“酒駕行為”時碰到甲、乙、丙三位司機(jī)，司機(jī)甲說：我喝酒了．司機(jī)乙說：我沒有喝酒．司機(jī)丙說：甲沒有喝酒．若這三位司機(jī)身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人說的是真話，請你在不使用酒精測試儀的情況下，幫助交警判定出真正喝酒的人是．16．已知點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，若△ABC的邊長為2，三棱錐P﹣ABC的外接球體積為4，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，從以下三個條件中任選其中一個①S15＝120；②a5+a7＝12；③﹣＝．（1）求公差d及{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Tn＝．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D，＝，a＝2，求△ACD的面積．19．2023年5月27日，中央文明辦明確規(guī)定，在2023年全國文明城市測評指標(biāo)中不將馬路市場、流動商販列為文明城市測評考核內(nèi)容．6月1日上午，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在山東煙臺考察時表示，地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī)．其中套圈游戲憑借其趣味性和挑戰(zhàn)性深受廣大市民的歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行套圈比賽，要求他們站在定點(diǎn)A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行套圈，已知甲在A，B兩點(diǎn)的命中率均為，乙在A點(diǎn)的命中率為1﹣p（0＜p≤），在B點(diǎn)的命中率為1﹣2p，且他們每次套圈互不影響．（1）若甲在A處套圈3次，求甲至多命中1次的概率；（2）若甲和乙每人在A，B兩點(diǎn)各套圈一次，且在A點(diǎn)命中計(jì)2分，在B點(diǎn)命中計(jì)3分，未命中則計(jì)0分，設(shè)甲的得分為X，乙的得分為Y，寫出X和Y的分布列和期望；（3）在（2）的條件下，若EX＞EY，求p的范圍．20．如圖所示，△ABC是等邊三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B為直二面角，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求證：EF⊥BC；（2）求平面ACDE與平面BEF所成銳二面角的正切值．21．已知函數(shù)f（x）滿足xf（x）﹣xlnx﹣2a＝0（a∈R）恒成立．（1）分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）＝+，證明：當(dāng)a≥時，f（x）＞g（x）．22．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)T在橢圓上，△TF1F2的面積最大為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．過定點(diǎn)（1，0）且斜率不為0的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP和直線BQ相交于橢圓C外一點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M的軌跡為定直線．

參考答案一、選擇題（共8小題）.1．已知U為全集，非空集合A，B滿足A∩（?UB）≠?，則下列正確的是（）A．A∩B＝? B．A?B C．B?A D．（?UA）∩B≠?解：因?yàn)閁為全集，非空集合A，B滿足A∩（?UB）≠?，所以A∩B≠?，選項(xiàng)A正確；A?B，選項(xiàng)B正確；B?A時，A∩（?UB）＝?，所以選項(xiàng)C錯誤；（?UA）∩B≠?時，B?A，由選項(xiàng)C知D錯誤．故選：B．2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝1+2i，則1+在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：因?yàn)閦（1﹣i）＝1+2i，所以z＝＝＝，所以1+＝1﹣＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．3．下列選項(xiàng)中的兩個條件是互為充要條件的是（）A．P：a＝1；Q：函數(shù)f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函數(shù) B．在△ABC中，P：△ABC是等邊三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2﹣3n+1；Q：數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列 D．P：實(shí)數(shù)x＞1；Q：x+≥2解：選項(xiàng)A，當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函數(shù)，但函數(shù)f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函數(shù)，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要條件；選項(xiàng)B，在△ABC中，△ABC是等邊三角形可得sinA＝sinB＝sinC，當(dāng)sinA＝sinB＝sinC時，△ABC是等邊三角形，所以P和Q互為充要條件；選項(xiàng)C，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2﹣3n+1，可得數(shù)列不是等差數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列時，因?yàn)椴恢朗醉?xiàng)，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn不確定，所以P是Q的既不充分也不必要條件；選項(xiàng)D，因?yàn)閤＞1，所以x+＞2，可以推出x+≥2，但是當(dāng)x+≥2時，可得x＞0，不能推出x＞1，所以P是Q的充分不必要條件．故選：B．4．九龍壁是中國古代建筑的特色，是帝王貴族出入的宮殿或者王府的正門對面，是權(quán)力的象征，做工十分精美，藝術(shù)和歷史價值很高．九龍壁中九條蟠龍各居神態(tài)，正中間即第五條為正居之龍，兩側(cè)分別是降沉之龍和升騰之龍間隔排開，其中升騰之龍位居陽位，即第1，3，7，9位，沉降之龍位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龍壁模型，為了增加模型的種類但又不改變升騰之龍居陽位和沉降之龍的位置，只能調(diào)換四條升騰之龍的相對位置和四條沉降之龍的相對位置．則不同的雕刻模型有多少種（）A．A B．2A C．A D．A?A解：由題設(shè)可知：四條升騰之龍的相對位置有調(diào)換方法，四條沉降之龍的相對位置有調(diào)換方法，∴不同的雕刻模型共有?種，故選：D．5．函數(shù)f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z解：由圖象知，，∴T＝π，∴，ω＝2，∴過點(diǎn)，∴，，且|φ|＜π，∴，∴，當(dāng)，即（k∈Z）時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．6．已知直線l被雙曲線C：﹣y2＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），則直線l的方程（）A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝0解：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），∵線段PQ的中點(diǎn)為（1，2），∴x1+x2＝2，y1+y2＝4，∵﹣＝1，﹣＝1，∴﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，整理得＝，即直線l的斜率為，故直線l的方程為y﹣2＝（x﹣1），即x﹣8y+15＝0，故選：C．7．目前我國對于輕型汽車將“國六標(biāo)準(zhǔn)”分為“國六A“和“國六B”兩個階段，并計(jì)劃于2023年在全國統(tǒng)一實(shí)施．國六標(biāo)準(zhǔn)即“國家第六階段機(jī)動車污染物排放標(biāo)準(zhǔn)”，是為了貫徹環(huán)境保護(hù)相關(guān)法律．減少并防止汽車排氣對環(huán)境的污染，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，保證人體健康而制定的．某國有汽車品牌努力研發(fā)輕型燃油汽車性能，對旗下生產(chǎn)的三款汽車在不同速度下燃油效率性能檢測如圖（“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程）．下列敘述中正確的是（）排放物國六A國六B一氧化碳700（mg/km）500（mg/km）非甲烷烴68（mg/km）35（mg/km）氮氧化物60（mg/km）35（mg/km）PM細(xì)顆粒物（mg/km）3（mg/km）PN顆粒物6×1011顆/km6×1011顆/kmA．國六B階段比國六A階段對PN顆粒物排放量要求減少 B．以相同速度行駛時，甲車每小時消耗汽油最少 C．乙車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗汽油不到10升 D．甲車以80千米/小時的速度行駛1km需要消耗汽油約10升解：對于A，國六B階段比國六A階段對PN顆粒物排放量要求相同，故A錯誤；對于B，三款車無論以什么樣的相同速度行駛，甲車消耗汽油最少，故B正確；對于C，由圖象可知，乙車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗汽油超過10升，故C錯誤；對于D，甲車以80千米/小時的速度行駛10km需要消耗汽油約1升，故D錯誤．故選：B．8．已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ1） B．P（X2≥μ2）＞P（X3≥μ3） C．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ3） D．P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）解：對于A：P（X1≤μ2）是正態(tài)分布密度函數(shù)在第二條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，P（X2≤μ1）是正態(tài)分布密度函數(shù)在第一條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，故由圖象可知P（X1≤μ2）＞P（X2≤μ1），故A錯誤；對于B：P（X2≥μ2）＝，P（X3≥μ3）＝，則P（X2≥μ2）＝P（X3≥μ3），故B錯誤；對于C：P（X1≤μ2）＞P（X2≤μ3），故C錯誤；對于D：由于概率表示曲線和x軸圍成的部分，與是i還是i+1無關(guān)，故P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）成立，故D正確．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝c D．S△ABC＝2解：∵B＝2C，∴sinB＝sin2C＝2sinCcosC，由正弦定理知，＝，∵c＝b，∴cosC＝，sinC＝＝，即選項(xiàng)A正確；由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab?cosC，∴9＝a2+﹣2a?（2）?，即a2﹣4a+3＝0，解得a＝3或a＝1，若a＝3，則A＝C＝，此時cosC＝，與題意不符，∴a＝1＝，即選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯誤；△ABC的面積S△ABC＝ab?sinC＝×1××＝，即選項(xiàng)D錯誤．故選：AB．10．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q＞1，其前n項(xiàng)和為Sn，若a5﹣a1＝15，a2?a4＝16，則下列說法正確的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．a(chǎn)n＝2n C．?dāng)?shù)列{log3（Sn+1）}是等比數(shù)列 D．對任意的正整數(shù)k（k為常數(shù)），數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列解：因?yàn)楣葹閝＞1，由可得，即＝，所以4q4﹣15q2﹣4＝0，解得q2＝4，所以，所以an＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，所以Sn+1＝2n+1﹣1＝2Sn+1，Sn+1＝2n，所以log3（Sn+1）＝nlog32，所以數(shù)列{log3（Sn+1）}是等差數(shù)列，對任意的正整數(shù)n，k，Sn+k﹣Sn＝2n+k﹣2n＝（2k﹣1）2n，所以數(shù)列l(wèi)og2（Sn+k﹣Sn）＝n+log2（2k﹣1），所以數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列，故正確的為AD．故選：AD．11．已知向量＝（1，sinθ），＝（cosθ，）（0≤θ≤π），則下列命題正確的是（）A．與可能平行 B．存在θ，使得||＝|| C．當(dāng)?＝時，sinθ＝ D．當(dāng)tanθ＝﹣時，與垂直解：若與平行，則sinθcosθ＝，即sin2θ＝2不成立，即與不可能平行，故A錯誤，若||＝||，則＝得1+sin2θ＝cos2θ+2，即cos2θ﹣sin2θ＝cos2θ＝1，此時θ存在，故B正確，若?＝，則cosθ+sinθ＝（cosθ+sinθ），設(shè)sinφ＝，cosφ＝，則cosθ+sinθ＝sin（θ+φ）＝，則sin（θ+φ）＝1，即θ+φ＝2kπ+，∵0≤θ≤π，∴k＝0時，θ＝﹣φ，則sinθ＝cosφ＝＝，故C正確，當(dāng)tanθ＝﹣時，則sinθ＝﹣cosθ，則?＝cosθ+sinθ＝cosθ+×（﹣cosθ）＝cosθ﹣cosθ＝0，則與垂直成立，故D正確，故選：BCD．12．已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足對任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1）．當(dāng)0≤x≤時，f（x）＝log2（1+x），則下列說法正確的是（）A．f（x）的周期為2 B．若i∈N*，則f（i）＝0 C．點(diǎn)（﹣1，0）為f（x）的一個對稱中心 D．f（）＝log2（）1011解：對于A，因?yàn)閷θ我獾膞∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1），所以f（x）關(guān)于x＝對稱，又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，f（x）＝﹣f（x+1）＝﹣（﹣f（x+1+1））＝f（x+2），于是f（x）的周期為2，所以A對；對于B，因?yàn)閒（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，所以當(dāng)i∈N*時，f（i）＝0，所以f（i）＝0，所以B對；對于C，因?yàn)閒（﹣2﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以點(diǎn)（﹣1，0）為f（x）的一個對稱中心，所以C對；對于D，當(dāng)i＝2k時，f（）＝f（k）＝0，當(dāng)i＝4k+1時，f（）＝f（2k+）＝f（），當(dāng)i＝4k+3時，f（）＝f（2k+）＝f（1+）＝f（﹣）＝﹣f（），所以f（）＝f（）＝log2（）≠log2（）1011，所以D錯．故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．從古至今，奇門遁甲，五行八卦等，稱之為玄學(xué)，它充滿了神秘色彩，人們常說“無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．八卦是由，組合而成，八卦中的陽爻和陰爻與計(jì)算機(jī)數(shù)制“二進(jìn)制”中的1和0分別對應(yīng)，例如在二進(jìn)制下“101011”表示的“十進(jìn)制”數(shù)為1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中乾卦代表的二進(jìn)制數(shù)“111111”表示十進(jìn)制數(shù)63，坤卦代表的二進(jìn)制數(shù)“00000”表示的十進(jìn)制數(shù)為0，據(jù)此，離卦表示的十進(jìn)制數(shù)字為45．解：由題意，離卦表示的二進(jìn)制數(shù)是101101，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×25+0×24+1×23+1×22+0×2+1×20＝45．故答案為：45．14．已知過點(diǎn)（0，﹣4）且傾斜角的余弦值為的直線方程為y＝2x﹣4，若該直線與拋物線x2＝2py（p＞0）只有一個公共點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1．解：由直線的傾斜角的余弦值為可得直線的正切值為2，即直線的斜率為2，又過（0，﹣4），所以直線的方程為：y＝2x﹣4，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4px+8p＝0，由直線與拋物線相切，所以△＝0，即△＝16p2﹣4×8p＝0，解得p＝2，所以準(zhǔn)線方程為：y＝﹣＝﹣1，故答案為：y＝2x﹣4，﹣1．15．“開車不喝酒，喝酒不開車”，為了營造良好的交通秩序，全國各地交警都大力宣傳和查處“酒駕行為”．某地交警在設(shè)卡查處“酒駕行為”時碰到甲、乙、丙三位司機(jī)，司機(jī)甲說：我喝酒了．司機(jī)乙說：我沒有喝酒．司機(jī)丙說：甲沒有喝酒．若這三位司機(jī)身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人說的是真話，請你在不使用酒精測試儀的情況下，幫助交警判定出真正喝酒的人是乙．解：因?yàn)橹挥幸蝗苏嬲染屏?，三人中只有一人說的是真話，若果甲說的是真話，那么乙說也是真話，與只有一人說的是真話相矛盾，故甲說的是假話，即甲沒有喝酒是真的，則丙說的是真話，那么乙說的就是假話，則乙喝酒了，故答案為：乙．16．已知點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，若△ABC的邊長為2，三棱錐P﹣ABC的外接球體積為4，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為．解：如圖，點(diǎn)P在過直線PC與平面ABC垂直的球的小圓面的圓周上，當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC的射影為BC中點(diǎn)時，三棱錐P﹣ABC體積最大，設(shè)等邊三角形ABC的中心為O1，三棱錐P﹣ABC的四個頂點(diǎn)都在球O上，球O的體積為4，∴外接球的半徑r＝，∵△ABC的邊長為2，點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，設(shè)為D，過O作OE⊥PD，垂足為E，垂足為E，依題意可得，，∴PE＝，，又，PD＝，∴三棱錐P﹣ABC體積的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，從以下三個條件中任選其中一個①S15＝120；②a5+a7＝12；③﹣＝．（1）求公差d及{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Tn＝．【解答】（1）若選條件①：∵S15＝120＝＝15a8，∴a8＝8，又a1＝1，∴d＝＝1，an＝n；若選條件②：由a5+a7＝12可得：a6＝6，又a1＝1，∴d＝＝1，an＝n；若選條件③：由﹣＝可得：﹣＝＝，解得：d＝1，∴an＝n；（2）由（1）可得：Sn＝，∴＝＝2（﹣），∴Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D，＝，a＝2，求△ACD的面積．解：（1）因?yàn)閠anA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即b2﹣3b﹣4＝0，解得b＝4或b＝﹣1（舍），（2）因?yàn)椋?，所以＝，因?yàn)椤螩AD＝∠BAD，所以＝，因?yàn)閍＝2，由余弦定理得，故c2＝，所以S△ABC＝＝＝，△ACD的面積S△ACD＝＝＝．19．2023年5月27日，中央文明辦明確規(guī)定，在2023年全國文明城市測評指標(biāo)中不將馬路市場、流動商販列為文明城市測評考核內(nèi)容．6月1日上午，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在山東煙臺考察時表示，地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī)．其中套圈游戲憑借其趣味性和挑戰(zhàn)性深受廣大市民的歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行套圈比賽，要求他們站在定點(diǎn)A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行套圈，已知甲在A，B兩點(diǎn)的命中率均為，乙在A點(diǎn)的命中率為1﹣p（0＜p≤），在B點(diǎn)的命中率為1﹣2p，且他們每次套圈互不影響．（1）若甲在A處套圈3次，求甲至多命中1次的概率；（2）若甲和乙每人在A，B兩點(diǎn)各套圈一次，且在A點(diǎn)命中計(jì)2分，在B點(diǎn)命中計(jì)3分，未命中則計(jì)0分，設(shè)甲的得分為X，乙的得分為Y，寫出X和Y的分布列和期望；（3）在（2）的條件下，若EX＞EY，求p的范圍．解：（1）設(shè)“甲至多命中1次”為事件C，則P（C）＝?+＝，故甲至多命中1次的概率為．（2）由題意知，X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5，P（X＝0）＝＝，P（X＝2）＝P（X＝3）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（Y＝0）＝[1﹣（1﹣p）][1﹣（1﹣2p）]＝2p2，P（Y＝2）＝（1﹣p）[1﹣（1﹣2p）]＝2p﹣2p2，P（Y＝3）＝[1﹣（1﹣p）]（1﹣2p）＝p﹣2p2，P（Y＝5）＝（1﹣p）（1﹣2p）＝2p2﹣3p+1，∴X的分布列為X0235PY的分布列為X0235P2p22p﹣2p2p﹣2p22p2﹣3p+1∴E（X）＝0×+2×+3×+5×＝，E（Y）＝0×2p2+2×（2p﹣2p2）+3×（p﹣2p2）+5×（2p2﹣3p+1）＝5﹣8p．（3）∵EX＞EY，∴＞5﹣8p，即p＞，∴p的取值范圍是（，]．20．如圖所示，△ABC是等邊三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B為直二面角，