氣體分子動(dòng)理論2

氣體分子統(tǒng)計(jì)分布率§1、統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)介§2、麥克斯韋分布律§3、玻耳茲曼分布律§4、能量均分定理12、伽爾頓板實(shí)驗(yàn):一、實(shí)例1、擲骰子實(shí)驗(yàn):A伽爾頓板實(shí)驗(yàn)所得分布曲線統(tǒng)計(jì)規(guī)律是自然界中廣泛存在的普遍規(guī)律§1、統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)介二、概率及統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量熱運(yùn)動(dòng)分子組成的宏觀物體系統(tǒng)，在一定宏觀條件下系統(tǒng)所處的微觀狀態(tài)都是隨機(jī)的，但每個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率卻是一定的，取值與隨機(jī)事件一一對(duì)應(yīng)的任何量的統(tǒng)計(jì)平均值也是一定的。這種規(guī)律性稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.一定條件下，系列可能發(fā)生的事件中發(fā)生某一事件的可能性概率N次實(shí)驗(yàn),出現(xiàn)Ai的次數(shù)Ni三、概率的基本性質(zhì)1、加法法則2、乘法法則互不相容事件互相獨(dú)立事件應(yīng)滿足歸一化條件某一物理量p的宏觀量是相應(yīng)微觀量pi

的統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)分布的最直接應(yīng)用就是求平均值。3、概率歸一化4、平均值§2、麥克斯韋分布律溫度公式：溫度T

一定時(shí),大量分子的方均根速率是確定的.雖然單個(gè)分子的速率取偶然值,但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.一、氣體分子速率分布函數(shù)

設(shè)分子可能的速率值:取速率區(qū)間:表示第i個(gè)速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比Ni/N平衡態(tài)時(shí),分布在不同區(qū)間的不同的,當(dāng)v0時(shí),Ni/(Nv)與v無(wú)關(guān),僅是v的連續(xù)函數(shù)。Ni速率分布函數(shù)速率在v附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,或某分子速率出現(xiàn)在v附近的單位速率間隔內(nèi)的概率.滿足歸一化條件：

在任一有限速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率對(duì)于與氣體熱運(yùn)動(dòng)速率有關(guān)的物理量，其平均值為問(wèn)題：已知f(v)是速率分布函數(shù),說(shuō)明以下各式的物理意義：二、麥克斯韋速度分布率Maxwell在1859年發(fā)表論文《氣體動(dòng)力理論的說(shuō)明》，其速度分布率及速率分布率的推導(dǎo)思路如下：麥克斯韋速度分布率表達(dá)式為⑴以表示速度分量vx在vx+dvx之間的粒子數(shù)，用分布函數(shù)g(vx)表示在單位vx區(qū)間dvx寬度內(nèi)出現(xiàn)的概率，則

同理有⑵假設(shè)三個(gè)概率是彼此獨(dú)立的，則粒子同時(shí)出現(xiàn)在vx到vx+dvx

，vy到vy+dvy，vz到vz+dvz間的概率為式中為速度分布率（3）由于粒子在各方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，所以速度分布與粒子的速度的方向無(wú)關(guān)。速度分布函數(shù)只是速度大小的函數(shù)速度分布率可以寫成考慮到具有無(wú)限大速率的粒子出現(xiàn)的概率極小，故A應(yīng)為負(fù)值。令A(yù)=-1/2,則要滿足這一關(guān)系，函數(shù)應(yīng)具有的形式，則分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，所以利用數(shù)學(xué)積分公式，可得------麥克斯韋速度分布率三、麥克斯韋速率分布率在半徑為v，厚度為dv、體積為4v2dv的球殼內(nèi)，粒子的速率v出現(xiàn)在同一速率區(qū)間dv內(nèi)的概率相同。故將速度分布率中的換成4v2dv即可得粒子在v到v+dv區(qū)間出現(xiàn)的概率1、速度空間2、

確定常數(shù)由上式可得速率平方的平均值麥克斯韋速度分布率及速率分布率表達(dá)式為：而四、麥克斯韋分布律的特征麥克斯韋速率分布率適用于平衡態(tài)的氣體f(vp)0vf(v)vpvv+dv面積=dNNA2溫度T變化:當(dāng)T升高時(shí),A點(diǎn)右下移,分布變平坦.溫度越高,速率大的分子數(shù)越多.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1<T2<T31

最大值vp,一邊無(wú)限延伸,最小值為0(v=0時(shí)).曲線的特點(diǎn):3質(zhì)量m變化:當(dāng)m增大時(shí),A點(diǎn)左上移,分布變陡峭.粒子質(zhì)量越大,速率大的分子數(shù)越少.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2vp2vp1Am1>m2>m3五、麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證OD蒸汽源檢測(cè)器R抽氣抽氣密勒-庫(kù)什實(shí)驗(yàn)裝置及演示1955年密勒（Miller）和庫(kù)什（P.Kusch）做的實(shí)驗(yàn)比較精確地驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布定律。當(dāng)園柱體R以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，只有那些速率v滿足關(guān)系式改變，對(duì)不同速率范圍內(nèi)的原子射線測(cè)其強(qiáng)度，就可驗(yàn)證麥克斯韋速度分布率

的原子才能通過(guò)細(xì)槽。應(yīng)用麥克斯韋分布律計(jì)算有關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到的一些廣義函數(shù)積分的遞推公式亦可直接查閱定積分積分表1、平衡態(tài)下微觀粒子的三種速率1)最概然速率(最可幾速率)vp---出現(xiàn)概率最大的速率六、麥克斯韋分布律的應(yīng)用3)方均根速率2)平均速率三種速率在不同的問(wèn)題中各有自已的應(yīng)用v02、氣體分子碰壁數(shù)與瀉流碰壁數(shù):單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積容器壁上的分子數(shù)單位時(shí)間內(nèi)速度在v附近的dv范圍與內(nèi)壁內(nèi)表面面元的d碰撞：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)同碰撞的各種速度的總分子數(shù)dN則為利用積分公式，得故有碰壁數(shù)，故把面元d

挖掉成一小孔。當(dāng)小孔很小，以致跑出的氣體分子對(duì)容器內(nèi)氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，這樣小孔的漏氣現(xiàn)象稱為瀉流.值就是單位時(shí)間內(nèi)泄漏出單位面積小孔的分子數(shù)。例題1氫氣的溫度是300K.求速率在3000～3010ms–1之間的分子數(shù)與速率在1500～1510ms–1之間的分子數(shù)之比。氫氣(H2)在溫度T=300K時(shí)的最可幾速率解：設(shè)因，故麥克斯韋速率分布公式可寫為速率在1500到1510間的分子數(shù)所以速率在3000到3010間的分子數(shù)一、氣體分子在重力場(chǎng)中按高度的分布平衡態(tài)理想氣體，柱狀、重力場(chǎng)中即§3

、玻耳茲曼分布律

由p0pp+dpz+dzz0z考慮z—z+dz

段

兩邊積分得：表明:分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)衰減.在登山運(yùn)動(dòng)和航空駕駛中常通過(guò)測(cè)壓強(qiáng)p來(lái)估算高度.玻耳茲曼由重力場(chǎng)的勢(shì)能，直接推廣到任意保守力場(chǎng)中二、麥克斯韋－玻耳茲曼分布（MB分布）由此可知，外場(chǎng)中粒子按位置的分布律為而麥克斯韋速度分布率，粒子按速度的分布律為在經(jīng)典力學(xué)中，位置和動(dòng)量（或速度）是互相獨(dú)立的，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相獨(dú)立事件，由獨(dú)立事件的概率乘法法則可知，粒子按速度及位置的分布律為

上式稱為麥克斯韋－玻耳茲曼分布律,簡(jiǎn)稱麥-玻分布.適用于任何保守場(chǎng)中、由任何物質(zhì)微粒組成的系統(tǒng).就叫玻耳茲曼因子?！?、能量均分定理

確定運(yùn)動(dòng)物體在空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.一、自由度雙原子分子：剛性

i=5非剛性i=6多原子分子：剛性:i=6非剛性:i3n

氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度：?jiǎn)卧臃肿樱?個(gè)平動(dòng)自由度,i=3二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動(dòng)能為在平衡狀態(tài)下

分子在每個(gè)平動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能相等,都等于kT/2.在溫度為T的平衡態(tài)下,物質(zhì)分子的任何一個(gè)自由度上均分配有kT/2

的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能.能量按自由度均分定理分子的平均總能量t：平動(dòng)自由度數(shù)；r：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度數(shù)；s：振動(dòng)自由度數(shù)i=?非剛性多原子i=7非剛性雙原子i=6i=5i=3剛性多原子剛性雙原子單原子推廣:平衡態(tài)時(shí),任何一種運(yùn)動(dòng)或能量都不比另一種運(yùn)動(dòng)或能量更占優(yōu)勢(shì),在各個(gè)自由度上,運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等且能量均分。三、理想氣體的內(nèi)能與熱容1mol理想氣體的內(nèi)能：mol理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)U=U(T)單原子分子氣體雙原子剛性分子氣體例題2求在溫度為30℃時(shí)氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能,平均動(dòng)能,平均能量以及4.010-3kg的氧氣的內(nèi)能.解:

氧分子是雙原子分子,平動(dòng)自由度t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=2，常溫下,可以認(rèn)為分子是剛性分子,不計(jì)振動(dòng).平均平動(dòng)動(dòng)能平均動(dòng)能平均能量?jī)?nèi)能例題3星體周圍大氣的穩(wěn)定性。試計(jì)算氣體在大氣中的逃逸速率與方均根速率之比.其中:大氣溫度T=290K,地球質(zhì)量Me=6.0×1024kg,地球半徑Re=6.4×106m.解:設(shè)離地球中心無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零,在地球表面附近大氣層中的分子具有引力勢(shì)能分子逃逸條件而對(duì)于氣體分子