第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)

衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)鄒延峰流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系第五章

參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì):

就是用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）來估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)）Question某市2000年隨機(jī)測(cè)量了90名19歲健康男大學(xué)生的身高，其均數(shù)為172.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5cm,，試估計(jì)該地19歲健康男大學(xué)生的身高可能的范圍。用某種儀器檢查已確診的乳腺癌患者94例，檢出率為78.3%。估計(jì)該儀器乳腺癌總體檢出率的可能范圍。講課提綱抽樣分布和抽樣誤差t分布總體均數(shù)和概率的估計(jì)

第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差用樣本信息來推斷相應(yīng)總體的特征，這一過程稱為統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷包括兩方面的內(nèi)容：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)抽樣誤差：由個(gè)體變異產(chǎn)生的、由于抽樣而造成的樣本統(tǒng)計(jì)量與樣本統(tǒng)計(jì)量及樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱為抽樣誤差。無傾向性，不可避免。一、樣本均數(shù)的抽樣分布與抽樣誤差

均數(shù)的抽樣誤差：用于表示均數(shù)抽樣誤差的指標(biāo)稱樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。抽樣實(shí)驗(yàn)一：假定從13歲女學(xué)生身高總體均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)總體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣。

樣本均數(shù)的抽樣分布特點(diǎn)：

1

各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)

2

樣本均數(shù)之間存在差異

3

樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律，圍繞著總體均數(shù)，中間多，兩邊少，左右基本對(duì)稱，也服從正態(tài)分布

4

樣本均數(shù)的變異較之原變量大大縮小抽樣實(shí)驗(yàn)二：非正態(tài)總體樣本均數(shù)的抽樣實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)5-2）

圖5-1（a）是一個(gè)正偏峰的分布，用電腦從中隨機(jī)抽取樣本含量分別為5，10，30和50的樣本各1000次，計(jì)算樣本均數(shù)并繪制4個(gè)直方圖N=5N=10N=30N=50

1）從正態(tài)總體N(μ,σ2)中，隨機(jī)抽取例數(shù)為n的多個(gè)樣本，樣本均數(shù)服從正態(tài)分布；即使是從偏態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，當(dāng)n足夠大時(shí)(如n＞50)，也近似正態(tài)分布。2）從均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)或偏態(tài)總體中抽取例數(shù)為n的樣本，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差即標(biāo)準(zhǔn)誤為。

標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與σ的大小成正比，與n成反比，而σ為定值，說明可以通過增加樣本例數(shù)來減少標(biāo)準(zhǔn)誤，以降低抽樣誤差。σ未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。用來表示均數(shù)抽樣誤差的大小。（標(biāo)準(zhǔn)誤的理論值）（標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值）

例5-12000年某研究所隨機(jī)調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計(jì)該樣本均數(shù)的抽樣誤差。二、樣本頻率的抽樣分布與抽樣誤差

表示頻率的抽樣誤差大小的指標(biāo)叫頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤。π：總體率，n：樣本例數(shù)。

當(dāng)π未知時(shí)，公式為:

：率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值，p：樣本率。

據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理，率的標(biāo)準(zhǔn)誤用表示

例5-2某市隨機(jī)調(diào)查了50歲以上的中老年婦女776人，其中患有骨質(zhì)疏松癥者322人，患病率為41.5%，試計(jì)算該樣本頻率的抽樣誤差。

一、t分布的概念在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中，可以把任何一個(gè)均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布N(μ,σ2)轉(zhuǎn)變?yōu)棣?0,σ=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即將正態(tài)變量值X用來代替。第二節(jié)t分布也服從正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)服從ν=n-1的t分布t分布曲線特點(diǎn)：

1）t分布曲線是單峰分布，它以0為中心，左右對(duì)稱。

2）t分布的形狀與樣本例數(shù)n有關(guān)。自由度越小，則越大，t值越分散，曲線的峰部越矮，尾部翹的越高。

3)當(dāng)n→∞時(shí)，則S逼近σ，t分布逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布不是一條曲線，而是一簇曲線。二、t分布的圖形和t分布表υ=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)υ=5υ=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3圖5-3不同自由度下的t分布圖正確使用t界值表！t分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)家將t分布曲線下的尾部面積（即概率P）與橫軸t值間的關(guān)系編制了不同自由度下的t界值表（附表2）。

t界值表：橫標(biāo)目為自由度，縱標(biāo)目為概率P。

t臨界值：表中數(shù)字表示當(dāng)和P確定時(shí)，對(duì)應(yīng)的值。

單側(cè)概率(one-tailedprobability)：用t,υ表示雙側(cè)概率(two-tailedprobability)：用t/2,υ表示t分布例如,當(dāng)=16，單側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得單側(cè)t0.05,16=1.746；而當(dāng)=16，雙側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得雙側(cè)t0.05/2,16=2.120。按t分布的規(guī)律，理論上有 單側(cè)：P（t

t0.05,16）=0.05和P（t

t0.05,16）=0.05雙側(cè)：P（t

t0.05/2,16）＋P（t

t0.05/2,16）=0.05t分布更一般的表示方法如圖5-4(a)和(b)中陰影部分所示為：?jiǎn)蝹?cè)：P（t

t,

）=和P（t

t,

）=雙側(cè)：P（t

t/2,

）＋P（t

t/2,

）=t分布從t界值表中或表的右上角圖列亦可看出：①在相同自由度時(shí)，│t│值越大，概率P越小；②而在相同t值時(shí)，雙側(cè)概率P為單側(cè)概率P的兩倍，即t0.10/2,16=t0.05,16=1.746。

一、參數(shù)估計(jì)的方法第三節(jié)總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)1.點(diǎn)估計(jì)：

用樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。

例如于2000年測(cè)得某地27例健康成年男性血紅蛋白量的樣本均數(shù)為125g/L，試估計(jì)其總體均數(shù)。2.區(qū)間估計(jì)：按預(yù)先給定的概率(1－α)估計(jì)總體參數(shù)的可能范圍，該范圍就稱為總體參數(shù)的1－α置信區(qū)間(confidenceinterval,CI)。預(yù)先給定的概率(1－α)稱為置信度，常取95%或99%。如無特別說明，一般取雙側(cè)95%。

可信區(qū)間由兩個(gè)數(shù)值即置信限構(gòu)成，其中最小值稱為下限，最大值稱為上限。嚴(yán)格講，可信區(qū)間不包括上下限兩個(gè)端點(diǎn)值。二、置信區(qū)間的計(jì)算方法通式：（雙側(cè)）（一）總體均數(shù)置信區(qū)間的計(jì)算

（1）σ已知，按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布原理計(jì)算由z分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下有95%的z值在±1.96之間。95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：

Zа/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，Zа/2相當(dāng)于按ν=∞時(shí)及P取α，由附表2查的的t界值。通式：（雙側(cè)）（2）σ未知但樣本例數(shù)n足夠大（n＞50）時(shí)

由t分布可知，自由度越大，t分布越逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)t曲線下有95%的t值約在±1.96之間，即95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：例5-4某市2000年隨機(jī)測(cè)量了90名19歲健康男大學(xué)生的身高，其均數(shù)為172.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5cm,，試估計(jì)該地19歲健康男大學(xué)生的身高的95%置信區(qū)間。該市19歲健康男大學(xué)生的身高的95%置信區(qū)間(171.3,173.1)cm（3）σ未知且樣本例數(shù)n較小時(shí)，按t分布原理，此時(shí)某自由度的t曲線下有95%的t值約在±t0.05(ν)之間，

通式:95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：tа/2,ν是按自由度ν=n-1，由附表2查得的t值。例5-3已知某地27例健康成年男性血紅蛋白量的均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差S=15g/L,試問該地健康成年男性血紅蛋白量的95%和99%置信區(qū)間。

本例n=27，S=1595%CI：99%CI：

置信區(qū)間的兩個(gè)要素：

準(zhǔn)確度：反映置信度1-α的大小，即區(qū)間包含總體均數(shù)的概率大小。精度：反映區(qū)間的長(zhǎng)度。在置信區(qū)間確定的情況下，增加樣本例數(shù)，會(huì)減小tа,ν

和，可減少區(qū)間長(zhǎng)度，提高精度。1.正態(tài)近似法當(dāng)樣本含量足夠大，且p和1-p不太小，則樣本率的分布近似正態(tài)分布。公式為：

P為樣本率，為率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值，

（二）總體概率的置信區(qū)間

例5-7用某種儀器檢查已確診的乳腺癌患者94例，檢出率為78.3%。估計(jì)該儀器乳腺癌總體檢出率的95%置信區(qū)間。分析：本例樣本例數(shù)較大，且樣本率p不太小，可用正態(tài)近似法：2.查表法

當(dāng)n較小，如n≤50，特別是p和1-p接近0或1時(shí)。

例5-5某醫(yī)院對(duì)39名前列腺癌患者實(shí)施開放手術(shù)治療，術(shù)后有合并癥者2人，試估計(jì)該手術(shù)合并癥發(fā)生概率的95%置信區(qū)間。

例5-6某醫(yī)生用某藥物治療31例腦血管梗塞患者，其中25例患者治療有效，試求該藥物治療腦血管梗塞有效概率的95%置信區(qū)間。注意：附表6僅列出X≤n/2的95%置信區(qū)間。小結(jié)掌握：參數(shù)估計(jì)的概念，均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算方法，總體均數(shù)可信區(qū)間計(jì)算方法,標(biāo)準(zhǔn)誤的意義及應(yīng)用。熟悉：t分布的特征，t界值。了解：樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律，率的標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算方法，總體率可信區(qū)間計(jì)算方法。均數(shù)置信區(qū)間與參考值范圍的區(qū)別意義：

前者為絕大多數(shù)人某項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值范圍，后者為按一定的概率估計(jì)總體參數(shù)所在的范圍

計(jì)算：

置信區(qū)間用標(biāo)準(zhǔn)誤，參考值范圍用標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用：前者供判斷觀察對(duì)象某項(xiàng)指標(biāo)是否正常時(shí)參考，后者估計(jì)未知總體均數(shù)所在范圍思考！標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別

1）概念（意義）不同：標(biāo)準(zhǔn)差是描述樣本中個(gè)體值間的變異程度；標(biāo)準(zhǔn)誤是描述樣本均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)

2)

記法和計(jì)算不同：略3)

用途不同：標(biāo)準(zhǔn)差常用于估計(jì)正常值范圍，計(jì)算變異系數(shù)等；標(biāo)準(zhǔn)誤常用于估計(jì)參數(shù)的可信區(qū)間，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)4）控制方法不同：標(biāo)準(zhǔn)差趨向穩(wěn)定，不能用統(tǒng)計(jì)方法控制。而標(biāo)準(zhǔn)誤隨例數(shù)的增大而減小思考！

1）二者均為變異指標(biāo)，如果把總體中各樣本均數(shù)看成一個(gè)變量，則標(biāo)準(zhǔn)誤可稱為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

2）當(dāng)樣本含量不變時(shí)，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差成正比

3）兩者均可與均數(shù)結(jié)合運(yùn)用，但描述的內(nèi)容各不相同

標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的聯(lián)系：

1.某地1992年隨機(jī)抽取100名健康女性，算得其血清總蛋白含量的均數(shù)為74g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為4g/L，則其95%的參考值范圍為（）。A.7444 B.741.964 C.742.584D.742.58410E.741.964102.關(guān)于以0為中心的t分布，錯(cuò)誤的是（）。A.t分布圖是一簇曲線 B.t分布圖是單峰分布C.當(dāng)時(shí)，tuD.t分布圖以0為中心，左右對(duì)稱