第一章隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics)

主講:余晉昌副教授TEL:62341教學(xué)參考書(shū)1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用,盛驟謝式千編，高等教育出版社.2.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),謝永欽主編,北京郵電大學(xué)出版社.2作業(yè)（10分）單周星期二交；要抄題；批改一半，請(qǐng)寫(xiě)上學(xué)號(hào)；不交，一次扣2分。3考勤（10分）抽查；曠課者每次扣2分。期中測(cè)驗(yàn)（10分）隨堂測(cè)驗(yàn)。成績(jī)?cè)u(píng)定：總評(píng)成績(jī)=卷面*70%+平時(shí)*30%4數(shù)學(xué)不是邏輯，而是理解。-------陳省身understand5概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征與大數(shù)定律正態(tài)分布與中心極限定理6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容樣本及抽樣分布參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)7概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象所具有的規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象8第一章隨機(jī)事件及其概率事件及其運(yùn)算事件的概率條件概率事件的獨(dú)立性9事件及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件隨機(jī)事件的運(yùn)算與關(guān)系10隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)是具有以下特征的試驗(yàn)：1、可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;2、每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，且所有的結(jié)果事先可以預(yù)知;3、每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).例

注1：隨機(jī)試驗(yàn)中的試驗(yàn)是廣義的；注2：有些試驗(yàn)不是隨機(jī)試驗(yàn)。11

隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合稱(chēng)為樣本空間.試驗(yàn)的每—個(gè)可能結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn).記為S＝｛e｝.12例1(1)E：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(2)E：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.S=｛1，2，3，4，5，6}.S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，

THT，TTH，TTT}.

13(3)E:在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命.

S=｛t︱t≥0}.(4)記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度

S={(x，y)︱T0≤x≤y≤T1}，這里x示最低溫度，y表示最高溫度，并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于To，也不會(huì)大于T1.14隨機(jī)事件

試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱(chēng)為試驗(yàn)的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)這一事件發(fā)生.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集隨機(jī)事件由兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)組成的集合基本事件復(fù)合事件15兩個(gè)特殊事件

樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的，稱(chēng)為必然事件.空集不包含任何樣本點(diǎn)，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱(chēng)為不可能事件.16例2

某袋中裝有4只白球和2只黑球，考慮依次從中摸出兩球所可能出現(xiàn)的事件.若對(duì)球進(jìn)行編號(hào)，4只白球分別編為1，2，3，4號(hào)，2只黑球編為5，6號(hào).如果用數(shù)對(duì)(i，j)表示第一次摸得i號(hào)球，第二次摸得j號(hào)球，則可能出現(xiàn)的結(jié)果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)17把這30個(gè)結(jié)果作為樣本點(diǎn)，則構(gòu)成樣本空間.研究事件：A：第一次摸出黑球；

B：第二次摸出黑球；

C：第一次及第二次都摸出黑球．后面這些事件與前面那些基本事件的不同處在于這些事件是可以分解的，例如為了A出現(xiàn)必須而且只須下列樣本點(diǎn)之一出現(xiàn)：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5).18事件的運(yùn)算19ABABABBA－BA20事件間的關(guān)系A(chǔ)B2122AAB23運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于n個(gè)事件，甚至對(duì)于可列個(gè)事件，德·摩根律也成立.24例3（1）A發(fā)生而B(niǎo)與C都不發(fā)生（2）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生（3）事件A、B、C都發(fā)生可以表示為可以表示為可以表示為25（4）事件A、B、C中恰好發(fā)生一個(gè)（5）事件A、B、C中恰好發(fā)生兩個(gè)（6）事件A、B、C中至少發(fā)生一個(gè)可以表示為可以表示為可以表示為或26例4說(shuō)明下列各式的概率意義27拋一顆骰子,出現(xiàn)奇點(diǎn)數(shù);拋兩顆骰子,A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù),且恰好其中有一個(gè)是1點(diǎn)”;B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù),但其中沒(méi)有出現(xiàn)1點(diǎn)”;(3)將一枚硬幣拋兩次,A=“第一次出現(xiàn)正面”;B=“至少有一次出現(xiàn)正面”;C=“兩次出現(xiàn)同一面”.28對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A(除必然事件和不可能事件外)來(lái)說(shuō)，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.人們希望知道事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.事件的概率用什么樣的數(shù)P(A)來(lái)表示事件A發(fā)生的可能性大??？這個(gè)數(shù)P(A)就稱(chēng)為隨機(jī)事件A的概率.29事件的概率事件的頻率概率的公理化定義與性質(zhì)古典概型30事件的頻率

在相同的條件下，進(jìn)行n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值nA

／n稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率，并記為?n(A).由于事件發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻繁程度.頻率越大，事件A發(fā)生就越頻繁，這意味著事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性也就越大.31基本性質(zhì)：⑴0≤?n(A)≤1;⑵?n(S)＝1;⑶若A1，A2，

…，Ak是兩兩互不相容的事件，則?n(

A1∪A2∪…∪Ak

)=?n

(

A1)+?n

(A2)+…+?n

(Ak).32例考慮“拋硬幣”這個(gè)試驗(yàn).將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做10遍.得到的數(shù)據(jù)如下表所示(其中nH表示H發(fā)生的頻數(shù)，?n(H)表示H發(fā)生的頻率).33試驗(yàn)序號(hào)n=5n=50n=500nH?n(H)nH?n(H)nH?n(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.49434頻率穩(wěn)定性大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)逐漸增大時(shí)，頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù).這個(gè)常數(shù)可作為事件A的概率P(A).因此，當(dāng)n足夠大時(shí)，P(A)

?n(A

).35概率的公理化定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間.對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱(chēng)為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(﹡)滿(mǎn)足下列條件：⑴非負(fù)性：對(duì)于任何事件A，有P(A)≥0；⑵規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S)=1；⑶可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,則有36概率論公理化結(jié)構(gòu)是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?A.H．KoMoroPoB)在1933年提出的.這個(gè)結(jié)構(gòu)綜合了前人成果，明確定義了基本概念，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對(duì)近幾十年來(lái)概率論的迅速發(fā)展起了積極作用.可見(jiàn)，在公理化定義中，只規(guī)定了概率應(yīng)滿(mǎn)足的性質(zhì)，而沒(méi)有具體規(guī)定出它的計(jì)算公式或計(jì)算方法.37概率的性質(zhì)383940414243概率的加法公式44推廣：45例46解47作業(yè)P162,3,7482.設(shè)A,B,C表示3個(gè)事件,試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示事件:(1)A發(fā)生,B,C不發(fā)生;(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生;(3)A,B,C都發(fā)生;(4)A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生;(5)A,B,C都不發(fā)生;49(6)A,B,C不都發(fā)生;(7)A,B,C至多有兩個(gè)發(fā)生;(8)A,B,C至少有兩個(gè)發(fā)生;50等可能概率模型古典概型等可能概率模型是有限樣本空間的一種特例.這種隨機(jī)現(xiàn)象具有下列兩個(gè)特征：(1)在觀察或試驗(yàn)中它的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，譬如為n個(gè)，記為e1,e2,…,en；(2)事件{ei}(i=1,2,…n)的發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率都一樣.51這類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象在概率論發(fā)展初期即被注意，許多最初的概率論結(jié)果也是對(duì)它作出的，一般把這類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型.古典概型在概率論中占有相當(dāng)重要的地位，它具有簡(jiǎn)單、直觀的特點(diǎn)，且應(yīng)用廣泛.

等可能性是古典概型的兩大假設(shè)之一，有了這個(gè)假設(shè)，給直接計(jì)算概率帶來(lái)了很大的方便.但在事實(shí)上，所討論問(wèn)題是否符合等可能假設(shè)，一般不是通過(guò)實(shí)際驗(yàn)證，而往往是根據(jù)人們長(zhǎng)期形成的“對(duì)稱(chēng)性經(jīng)驗(yàn)”作出的.52例如，骰子是正六面形，當(dāng)質(zhì)量均勻分布時(shí)，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個(gè)的可能性都相等。因此，等可能假設(shè)不是人為的，而是人們根據(jù)對(duì)事物的認(rèn)識(shí)---對(duì)稱(chēng)性特征而確認(rèn)的.53古典概型中事件概率的計(jì)算公式法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義.事實(shí)上它只適用于古典概型場(chǎng)合.54求解古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是:弄清基本事件空間的樣本點(diǎn)總數(shù)和所求概率事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).在理清事件數(shù)的時(shí)候，必須分清研究的問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題.55例4一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球.從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：(a)第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率；(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.56解以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球中至少有一只是白球”.易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即為AB，而C＝.(a)放回抽樣的情況57(b)不放回抽樣的情況58解[放回抽樣]把a(bǔ)+b個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為例5如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回與不放回抽樣方式從中抽n件產(chǎn)品，問(wèn)正好有k件是次品的概率各是多少?故所求概率為其中有利場(chǎng)合(即次品正好出現(xiàn)k次)的數(shù)目是59[不放回抽樣]從a+b個(gè)產(chǎn)品中取出n個(gè)產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為有利場(chǎng)合數(shù)為故所求概率為這個(gè)概率稱(chēng)為超幾何分布.60例6袋中有a只白球，b只紅球，k個(gè)人依次在袋中取一只球.(1)作放回抽樣；(2)作不放回抽樣，求第i(i=1，2，…，k)人取到白球(記為事件B)的概率(k≤a+b).解(1)放回抽樣的情況，顯然有(2)不放回抽樣的情況，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)個(gè)基本事件，每個(gè)基本61事件發(fā)生的可能性相同.當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，B中包含a(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-l-(k-1)+1]個(gè)基本事件，故值得注意的是:P(B)與i無(wú)關(guān)，即k個(gè)人取球，盡管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一樣的，大家機(jī)會(huì)相同(例如在購(gòu)買(mǎi)福利彩票時(shí)，各人得獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)是一樣的).另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.62例7將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問(wèn)(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的概率是多少?

解15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為每一種分配法為一基本事件，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.(1)將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí),使每個(gè)班級(jí)都有63一名優(yōu)秀生的分法共3!種.對(duì)于這每一種分法，其余12名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法共有12!／(4!4!4!)種.因此，每一班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)種.于是所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有3種.對(duì)于這每一種分法，其余12名新生的分法(一個(gè)班級(jí)2名，另兩個(gè)班級(jí)各5名)有12!／(2!5!5!)種.64因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有(312!)／(2!5!5!)種，于是，所求概率為65例8664.幾何概型676869707172例1.10⑵P(A1A2…An)≥P(A1)+P(A2)+…+P(An)-(n-1).證⑴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，故

P(AB)≥P(A)+P(B)-1.⑵應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，n=2已成立.設(shè)對(duì)n-1不等式也成立，則P(A1A2…An)=P[(A1A2…An-1)An]≥P(A1A2…An-1)+P(An)-1≥P(A1)+…+P(An-1)-(n-2)+P(An)-1=P(A1)+…+P(An)-(n-1).證明:⑴P(AB)≥P(A)+P(B)-1;73練習(xí)1.從52張撲克牌中任意取出13張,問(wèn)有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？2.一個(gè)袋內(nèi)有大小相同的7只球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是紅球，從中一次抽3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.7475作業(yè)P164，676條件概率條件概率的定義與性質(zhì)乘法定理全概率公式貝葉斯公式77引例對(duì)概率的討論總是在一組固定的條件限制下進(jìn)行的.以前的討論總是假定除此之外再無(wú)別的信息可供使用.可是，有時(shí)卻會(huì)碰到這樣的情況，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率.例如考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個(gè)孩子(依大小排列)的性別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一樣的.若以A記隨機(jī)選取的這樣一個(gè)家庭中有一男一女這一事件，則顯然P(A)=1/2，但是,如果預(yù)先知道這個(gè)家庭至少有一個(gè)女孩，那么，上述事件的78概率便應(yīng)是2/3.樣本點(diǎn)總數(shù)n=4，事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)mA=2,因此,P(A)=1/2；事件B包含的樣本點(diǎn)數(shù)mB=3，而兩種情況下算出的概率不同.這是因?yàn)樵诘诙N情況下，我們多知道了一個(gè)條件：事件B(這一家庭至少有一女孩)發(fā)生，因此我們算得的概率事實(shí)上是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”，這個(gè)概率記為P(A︱B).79mAB=2，因此80條件概率的定義與性質(zhì)設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，稱(chēng)為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.81⑴非負(fù)性：對(duì)于任何事件A，有P(A∣B)≥0；⑵規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S∣B)=1；⑶可列可加性：設(shè)A1

，A2

，…兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,則有8283例9一盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”.試求條件概率P(B∣A).84例某種動(dòng)物出生后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年20歲的動(dòng)物活到25歲的概率。85乘法定理乘法公式:設(shè)P(A)>0，則有

P(AB)=P(A)P(B∣A).若P(B)>0，則有

P(AB)=P(B)P(A∣B).可以把乘法定理推廣到任意n個(gè)事件之交的場(chǎng)合：設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，n≥2,且P(A1A2…An-1）>0，則有

P(A1A2…An)=P(An∣A1A2…An-1)P(An-1∣A1A2…An-2)…P(A2∣A1)P(A1).86例10設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球.每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解以Ai(i=l,2,3,4)表示事件“第i次取到紅球”，則分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為8788例11設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7／10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9／10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.899091全概率公式樣本空間劃分的定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2，…,Bn為E的一組事件.若⑴BiBj=,i≠j,i,j=1,2,…,n;⑵B1∪B2∪…∪Bn=S,則稱(chēng)B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分.全概率公式：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件，B1,B2，…,Bn為S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則92證明因?yàn)槭录﨎1,B2，…,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分，即Bi兩兩互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，而且

B1∪B2∪…∪Bn=S.于是有AB1∪AB2∪…∪ABn=A.其中ABi也是兩兩互不相容.B1AB5B4B3B2由概率的可列可加性P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn).利用乘法定理即得93例12考卷中一道選擇題有4個(gè)答案，僅有一個(gè)是正確的，設(shè)一個(gè)學(xué)生知道正確答案或不知道而亂猜是等可能的.如果這個(gè)學(xué)生答對(duì)了，求它確實(shí)知道正確答案的概率.解樣本空間可以劃分為事件A:知道正確答案與:不知道.以B表示事件:學(xué)生答對(duì)，則AB，P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4.由全概率公式P(B)＝P(A)P(B∣A)+P()P(B∣)=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．94貝葉斯公式設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S.A為E的事件，B1,B2，…,Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…,n，則上式稱(chēng)為貝葉斯(Bayes)公式.95貝葉斯定理往往與全概率公式同時(shí)使用.全概率公式——用于“由因求果”問(wèn)題，而貝葉斯定理一般用于“執(zhí)果尋因”問(wèn)題，在使用時(shí)要分清是什么問(wèn)題，確定應(yīng)用哪個(gè)公式.貝葉斯公式在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著多方面的應(yīng)用.假定B1,B2,…,B是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的“原因”，P(Bi)稱(chēng)為先驗(yàn)概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小，一般是以往經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，在這次試驗(yàn)前已經(jīng)知道.現(xiàn)在若試驗(yàn)產(chǎn)生了事件A,這個(gè)信息將有助于探討事件發(fā)生的“原因”.96條件概率P(Bi∣A)稱(chēng)為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)之后對(duì)各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新知識(shí).例如在醫(yī)療診斷中，為了診斷病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一種，對(duì)病人進(jìn)行觀察與檢查，確定了某個(gè)指標(biāo)A(譬如是體溫、脈搏血液中轉(zhuǎn)氨酶含量等等)，醫(yī)生想用這類(lèi)指標(biāo)來(lái)幫助診斷.這時(shí)就可以用貝葉斯公式來(lái)計(jì)算有關(guān)概率.首先必須確定先驗(yàn)概率P(Bi)，這實(shí)際上是確定人97患各種毛病的可能性大小，以往的資料可以給出一些初步數(shù)據(jù)；其次是要確定P(A∣Bi)，這里當(dāng)然主要依靠醫(yī)學(xué)知識(shí).有了它們，利用貝葉斯公式就可算出P(Bi∣A)，顯然，對(duì)應(yīng)于較大P(Bi∣A)的“病因”Bi，應(yīng)多加考慮.在實(shí)際工作中，檢查的指標(biāo)A一般有多個(gè)，綜合所有的后驗(yàn)概率，當(dāng)然會(huì)對(duì)診斷有很大幫助.在實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)診斷或輔助診斷中，這方法是有實(shí)用價(jià)值的.98先驗(yàn)概率是指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率，如全概率公式中的P(Bi)，它往往作為“由因求果”問(wèn)題中的“因”出現(xiàn).后驗(yàn)概率是指在得到“結(jié)果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式

P(Bi∣A)＝P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)中的P(Bi∣A)，是“執(zhí)果尋因”問(wèn)題中的“因”.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率有不可分割的聯(lián)系，后驗(yàn)概率的計(jì)算要以先驗(yàn)概率為基礎(chǔ).99例13某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10．020．1520．010．8030．030．05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志.(1)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件,若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?試求這些概率.100解設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l,2,3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”.易知，Bl，B2，B3是樣本空間S的一個(gè)劃分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)＝0.05，P(A∣B1)=0.02，P(A∣B2)=0.01，P(A∣B3)=0.03.⑴由全概率公式P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125.101以上結(jié)果表明，這只次品來(lái)自第2家工廠的可能性最大.⑵由貝葉斯公式102例14根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A∣C)＝0.95，P(∣)＝0.95.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率0.005，即P(C)＝0.005，試求P(C∣A).解已知P(A∣C)＝0.95，P(A∣)＝1一P(∣)＝0.05，P(C)＝0.005，P()＝0．995，由貝葉斯公式103104例15對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98％，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，其合格率為55％.每天早上機(jī)器開(kāi)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95％.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”.已知P(A∣B)＝0.98，P(A∣)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05，由貝葉斯公式得105當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97.這里，概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是先驗(yàn)概率.而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)是后驗(yàn)概率.有了后驗(yàn)概率就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解.106練習(xí)107作業(yè)P178，9，13108事件的獨(dú)立性引例一箱子里裝有a只黑球和b只紅球，采用有放回摸球，求：(1)在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率；(2)第二次摸出黑球的概率.解以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得黑球，則

109而所以因此110

設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則A,B相互獨(dú)立的充分必要條件是事件獨(dú)立性

設(shè)A,B是兩個(gè)事件，如果滿(mǎn)足等式

P(AB)=P(A)P(B)，

則稱(chēng)事件A,B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)A,B獨(dú)立.定義與性質(zhì)若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立.111P13例1.20投擲兩枚骰子，A---第一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)，B---第二枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)，則A，B相互獨(dú)立。P13例1.21112獨(dú)立與互不相容若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立！若A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容能同時(shí)成立,則由A,B相互獨(dú)立有

P(AB)=P(A)P(B),由A,B互不相容得P(AB)=0.從而P(A)P(B)=0.即P(A)=0或P(B)=0,矛盾.所以，A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立.113三個(gè)事件獨(dú)立性的定義設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足等式:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).P(ABC)=P(A)P(B)P(C).則稱(chēng)事件A,B,C相互獨(dú)立.稱(chēng)事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立.114例16一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅，白，黑三種顏色.現(xiàn)在我們以A，B，C分別記投一次四面體的底面出現(xiàn)紅,白，黑顏色的事件.由于在四面體中有兩面有紅色，因此P(A)=1/2.同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4.所以A,B,C兩兩獨(dú)立，但是

P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C).115例17若有一個(gè)均勻正八面體，其第1，2，3，4面染紅色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，現(xiàn)在以A,B,C分別表示投擲一次正八面體底面出現(xiàn)紅，白，黑的事件.由題意得：P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2，

P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C).但是

P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B).116n個(gè)事件的獨(dú)立性定義：設(shè)A1,A2,…An是n(n≥2)個(gè)事件，如果其中任意k(n≥k≥2)個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱(chēng)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.定義與性質(zhì)性質(zhì)：⑴若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨(dú)立，則其中任意k(2≤k≤n)個(gè)事件也是相互獨(dú)立的.⑵若n個(gè)事件(n≥2)相互獨(dú)立，則將A1,A2,…,An中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.117在實(shí)際應(yīng)用中，事件的獨(dú)立性往往不是由定義，而是由問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷.例如，若A,B分別表示甲、乙兩人患感冒，如果甲乙兩人的活動(dòng)范圍相距甚遠(yuǎn)，就認(rèn)為A,B相互獨(dú)立；如果甲乙兩人同是住在一個(gè)房間里的，那就不能認(rèn)為A,B相互獨(dú)立了.事件的獨(dú)立性對(duì)于計(jì)算事件的概率有很重大的作用，特別是復(fù)雜事件的概率在滿(mǎn)足事件相互獨(dú)立這一條件時(shí)，計(jì)算起來(lái)會(huì)十分簡(jiǎn)便.118例一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱(chēng)為元件(或系統(tǒng))的可靠性.如圖，設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并