第七章彎曲變形

§7-1

工程中的彎曲變形問(wèn)題§7-2

梁的撓曲線近似微分方程§7-3

用積分法求彎曲變形§7-6

簡(jiǎn)單靜不定梁§7-5

梁的剛度校核

§7-4

用疊加法求彎曲變形第七章彎曲變形7.1工程中的彎曲變形問(wèn)題

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過(guò)大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無(wú)法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過(guò)大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。一、梁的變形二、工程實(shí)例實(shí)例一：起重機(jī)大梁實(shí)例二、機(jī)床搖臂7.2梁的撓曲線近似微分方程

梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁軸線從原來(lái)沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內(nèi)的曲線，該曲線稱(chēng)為撓曲線。

某截面的豎向位移，稱(chēng)為該截面的撓度。

某截面的法線方向與x軸的夾角稱(chēng)為該截面的轉(zhuǎn)角。

撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程一、撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定在圖示的坐標(biāo)系中，撓度w

向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與x

軸夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角q為正。撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程

橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)公式在梁小變形情況下，7.3用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過(guò)邊界條件或者連續(xù)條件來(lái)確定其大小。一、邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定二、連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。例題7-1

如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。

解：（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程

（2）撓曲線近似微分方程（3）積分（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端，x

=l例題7-2

如圖所示，簡(jiǎn)支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B

端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。解：（1）求約束力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算AC段CB段利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。即得：得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若7.4用疊加法求梁的彎曲變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無(wú)關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。例題7-3

求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

用疊加法求等截面梁的變形時(shí)，每個(gè)載荷作用下的變形可查表。查表時(shí)應(yīng)注意載荷的方向、跨長(zhǎng)及字符一一對(duì)應(yīng)。解：=+例題7-4

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B

端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI

為常數(shù)?？紤]其變形:

由于CB段梁上沒(méi)有載荷，各截面的彎矩均為零，說(shuō)明在彎曲過(guò)程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計(jì)算式解：例題7-5求圖所示外伸梁的C截面的撓度轉(zhuǎn)角。EI為常數(shù)。怎樣應(yīng)用表7-1中已有的結(jié)果？

對(duì)梁進(jìn)行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來(lái)處理

首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個(gè)懸臂梁來(lái)研究，

再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡(jiǎn)化到B支座，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶

力F直接作用于支座，對(duì)梁的變形沒(méi)有影響，力偶M引起簡(jiǎn)支梁AB的變形，同樣，段上的均布載荷也將引起AB段變形，一、梁的剛度條件

對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件(stiffnesscondition)：式中，l為跨長(zhǎng)，為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比(簡(jiǎn)稱(chēng)許可撓跨比)，[q]為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱(chēng)之為梁的剛度條件。7.5梁的剛度校核二提高梁的剛度的措施(1)增大梁的彎曲剛度EI

由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E≈210GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來(lái)說(shuō)采用高強(qiáng)度鋼并無(wú)明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。

跨長(zhǎng)為l的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為(2)

調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系

如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為而且跨中撓度減小為(a)而此時(shí)外伸端D和E的撓度也僅為

所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來(lái)提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個(gè)鉸支座，又例如在簡(jiǎn)支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座。7-6

簡(jiǎn)單靜不定梁一、基本概念超靜定梁：梁的約束力數(shù)大于有效平衡方程數(shù)。多余約束：多余維持平衡所必須的約束。超靜定次數(shù)：等于多余約束或多余約束力的數(shù)目。二、求解方法1.解除多余約束，選取靜定基，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。3.由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程。4.利用靜力平衡條件求其它約束力。靜定基：將超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)時(shí)的相當(dāng)系統(tǒng)。解求梁的約束力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)，選取靜定基

在梁的A和B處各有3個(gè)和1個(gè)約束力，獨(dú)立平衡方程數(shù)等于3，所以是一次超靜定問(wèn)題。選取靜定基如圖(b)