《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案-設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)之歐陽(yáng)光明創(chuàng)編

33227*陽(yáng)光明*編33227《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案

（2021.03.07習(xí)題三1.一硬幣拋擲三次，以X示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值試寫出和Y的合分布律.【解】Y的聯(lián)合分布律如表：

1C28

1C3/2

1122.子里裝有只球、2只球只球，在其中任取4球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y示取到紅球的只數(shù)求X和的聯(lián)合分布律.【解】Y的聯(lián)合分布律如表：

P黑2紅2白)=1C2/435

CC32C7CC632C7

C233C7C2C1C132C47C233C7

C123C47C123C47設(shè)二維機(jī)變量（，）聯(lián)分函數(shù)為*陽(yáng)光明*編

（xyF*陽(yáng)光明*編（xyF

ππy0,0y其他求二維隨機(jī)變量（X，）長(zhǎng)方形域

πxy6

內(nèi)的概率.【解】圖

P{0X

πππ,}公式463題圖說(shuō)明：也可先求出密度函，再求概率。設(shè)隨機(jī)量（）的分布密度f(wàn)xy=求：（1數(shù)A

e)

x0,0,他（2機(jī)變量（，Y的布函數(shù)；（3{0X，≤<2}.【解】）由

f(x)dxy

0

e

xy)

dxdy12得（2由定義，有(3)

P{01,0設(shè)隨機(jī)量（）的概率密度為fxy=

k(6),2,2y他（1定常數(shù)k（2{1Y3}；*陽(yáng)光明*編

130,其他*陽(yáng)光明*編（3{<1.5}130,其他（4{+Y【解】）由性質(zhì)有

故

R

（2

P{Y

f(x,ydP{1.5}

f(x)dxdy如

f(x)dxdy(3)

x

DP{

f(xd如圖b)dxy(4)

X

D題圖設(shè)和是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X（00.2上服從均勻分布，的度函數(shù)為yf（y求：（1與Y的合布密度；2{≤X}.題圖【解】）因X在00.2上從均勻分布，所以X的度函數(shù)為而所以

f(x)dx圖

25e

xdy(2)

y

D設(shè)二維機(jī)變量（，）聯(lián)分函數(shù)為F（xy=

),x*陽(yáng)光明*編

0,*陽(yáng)光明0,求（X）聯(lián)分密

【解】

(y)f(,y)

x0,他設(shè)二維機(jī)變量（，）概密為fxy=求邊緣概率密度

4.8(20xy,0,他.【解】

fx)f(yy題

題設(shè)二維機(jī)變量（，）概密為fxy求邊緣概率密度

x其他【解】

fx)

f(xy題10.二隨機(jī)變量（，Y的率密度為fxy=（1確定常數(shù)c（2邊緣概率密度

2y,y0,其【解】）得

.

f(x,yx如D

f(yxy(2)

fx)

f(x)dy11.隨變量（，Y的概率密度為*陽(yáng)光明*編

YY*陽(yáng)光明*編YYfxy=

yx,其他.求條件概率密度f(wàn)

（yx，f｜y.｜｜題11圖【解】

fx)

f(xy所以12.袋中有五個(gè)號(hào)碼12，45從中任取三個(gè)，記這個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為，大的號(hào)碼為（1與Y的合概率分布；（2Y是相互獨(dú)立？【解】）X與聯(lián)分布律如下表X

Y

5

P{x}iP{Yy}i

11C3105110

22C310515310

33C31052511C2105610

310(2)因

P{{

61{Y3},101010010故X與Y獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布律為Y0.40.8

5X0.300.12（1求關(guān)于關(guān)于的緣分布；（2Y是否互獨(dú)立？*陽(yáng)光明*編

ieY*陽(yáng)光明*編ieY【解】）X和Y的緣布如下表

2

5

8

{Y=y}0.40.8P{}i

0.2

0.80.2(2)因

P{P{Y0.4}0.20.80.160.15(X故X與Y獨(dú)立14.和Y是兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在01上服從均勻分布，Y概率密度為/2f（y=

,

其他.（1求Y的合率密度；（2設(shè)有的次方程為a2

=0試求a實(shí)根的概率.【解】）因

xf(x)X0,其他

yeyf(y)0,他.故

f(x,)X,Y獨(dú)立(x)f(y)XY

0,

/2

y0,其(2)方a

題14圖有實(shí)根的條件是故

X

2從而方程有實(shí)根的概率為15.和Y別表示兩個(gè)不同電子器件壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)XY相互獨(dú)立，且服從一分布，其概率密度為*陽(yáng)光明*編

ii*陽(yáng)光明*編ii

fx=求ZX/Y的率密度

1000,x1000,x20,其他.【解】圖Z的分函數(shù)

F(){}{}Z(1)當(dāng)z≤0時(shí)

(z)Z（20<<1時(shí)（這時(shí)當(dāng)x=1000,=）如圖a)題15圖(3)當(dāng)z≥1時(shí)（時(shí)=10時(shí)，xz（如圖）zf(),0其他即

1zz2f(),0他故

設(shè)某種型號(hào)電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N160，20）分布.機(jī)地選取4概率.

只，求其中沒(méi)有一只壽命于的【解】這只壽命為(i=1,2,3,4)則X（，20），從而17.X是互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其布律分別為P{=}=pk，k，1，，…，*陽(yáng)光明*編

12n1n1n12n12n1n1n12n1nn

P{=r}=qr，r，2，….證明隨機(jī)變量=+Y的布為P{=i}=

ik

pk)q(i

，i，，2….【證明】XY所可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.X是互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們服從參數(shù)為np的項(xiàng)分布證明Z=服參為2n的項(xiàng)分布.【證明】法一：+Y可取值為，12…，2n方法二：設(shè),,μ;μ，均從點(diǎn)分布（參數(shù)為p，則X=++μY=μ′+μ′,X+Y=++…++μ′+μ′,所以，X+服參為np)二項(xiàng)分布.19.隨變量（，Y的分布律為

X

50.010.030.070.09

0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{｜Y=2}，P{=3X=0}；（2=maxXY的分布律；（3U（，）的分布律；（4WX+Y的布律*陽(yáng)光明*編

*陽(yáng)光明*編

【解】）

P{

P{2}P{Y2}（2

P{}{max(,}{}{X}所以分布律為VX)0P0

(3)

PU}{min(,Y}于是U=min(,)P

類上過(guò)，=+0P

20.達(dá)圓形屏幕半徑，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，）在屏幕上服從均勻分布（1{＞｜＞}（2）=max{X}求{＞0}.題20圖【解】（，Y的合概率密度為（1

P{|YX}

P{YX}P{X}(2)

P{M{max(X)0}{max(X)設(shè)面區(qū)域D由曲線y=1/及線y，x=1,x=e2所成，二維隨機(jī)變量（X，Y）區(qū)域D上從均勻分布，求（X）關(guān)于X邊緣概率密度在x=2的值為多少？題21圖【解】域D的面積為

S0

1

1x

d

1

2.

（X）聯(lián)合密度函*陽(yáng)光明*編

X12i12j111111,3222*陽(yáng)光明*編X12i12j111111,3222

數(shù)為（X）于X的緣度數(shù)所以

1f.4設(shè)隨機(jī)變量X和互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（，）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和的緣分布律的部分?jǐn)?shù).將其余數(shù)值填入表中的空白.X

y

P{=}=p

ixxP{=}=p

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xY}jjiji

故

P{Yy}{xYy}{X,},11從而

1P{Yy}.6824而Y獨(dú)立，故

{x}P{y}P{XY}ijii

從而

11P{}{Yy}624即：

P{}1

1/2464又

P{x}{Xx}{Xxy}{X,Y},111{x},即48從而

P{,Yy}13

112

.同理

13PY}P{Yy}28*陽(yáng)光明*編

0.*陽(yáng)光明*編0.

又

3j

P{y}j

故

11P{y}63.同理從而故

3P{x}.

y1

y

2

y3

{X}ii

14x

2

18

38

14

34P{}pj

j

12

23.某車起點(diǎn)站上客數(shù)服參數(shù)為λ(>0)泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為（<1且途下車與否相互獨(dú)立，以Y示中途下車的人數(shù)，求：（1）發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人車的概率；（2二維隨機(jī)變量（X）概分【解】(1)

P{|X}pm(1)n

,0,

(2)

P{Y}P{}{mX}124.隨變量和Y獨(dú)，中X的概分布為的率密度為f()求隨機(jī)變量的率密度(u

，而【解】Fy是的布函數(shù)，則由全概率公式，知UX+Y的分布函數(shù)為由于獨(dú)立，可見由此，得U的率度為*陽(yáng)光明*編

*陽(yáng)光明*編

設(shè)隨機(jī)變量X與相獨(dú)立，且均服從區(qū)間[上的均勻分布，求{max{X,Y}1}.解因隨變服[03]的均勻布，于是有因?yàn)閄相獨(dú)立，所以推得

P{max{}

19二隨機(jī)變量（X）概分為

X

01a00.20.10.200.1其中

a,bc

為常數(shù)，且

X

的數(shù)學(xué)期望E()=0.2,{≤0|X，=求：（1）abc值；（2）的率布（3）{Z}.解(1)由率布性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1

即a+b+c0.4.由

(X)

，可得

再由

PYX0}

P{0}P{

a0.1