正交表構(gòu)造方法

正交表的構(gòu)造2/4/2023正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計：講

當(dāng)析因設(shè)計要求的實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多時，一個非常自然的想法就是從析因設(shè)計的水平組合中，選擇一部分有代表性水平組合進(jìn)行試驗(yàn)。因此就出現(xiàn)了分式析因設(shè)計(fractionalfactorialdesigns)，但是對于試驗(yàn)設(shè)計知識較少的實(shí)際工作者來說，選擇適當(dāng)?shù)姆质轿鲆蛟O(shè)計還是比較困難的。2/4/2023正交試驗(yàn)設(shè)計(Orthogonalexperimentaldesign)是研究多因素多水平的又一種設(shè)計方法，它是根據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中挑選出部分有代表性的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，這些有代表性的點(diǎn)具備了“均勻分散，齊整可比”的特點(diǎn)，正交試驗(yàn)設(shè)計是分式析因設(shè)計的主要方法。是一種高效率、快速、經(jīng)濟(jì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法。日本著名的統(tǒng)計學(xué)家田口玄一將正交試驗(yàn)選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實(shí)驗(yàn)，按全面實(shí)驗(yàn)要求，須進(jìn)行33=27種組合的實(shí)驗(yàn)，且尚未考慮每一組合的重復(fù)數(shù)。若按L9(3)3正交表按排實(shí)驗(yàn)，只需作9次，按L18(3)7正交表進(jìn)行18次實(shí)驗(yàn)，顯然大大減少了工作量。因而正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計在很多領(lǐng)域的研究中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。2/4/2023二、正交表1、正交表的符號：正交表是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論在正交拉丁名的基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種規(guī)格化的表格。符號：Ln(ji)其中：L—正交表的符號n—正交表的行數(shù)(試驗(yàn)次數(shù)，試驗(yàn)方案數(shù))j—正交表中的數(shù)碼(因素的位級數(shù))i—正交表的列數(shù)(試驗(yàn)因素的個數(shù))N=ji—全部試驗(yàn)次數(shù)(完全因素位級組合數(shù))2/4/20232、正交表的結(jié)構(gòu)L8(27)L9(34)L8(4124)L18(2137)3、正交表的正交性(1)整齊可比性：每個字碼出現(xiàn)的機(jī)會是完全相等的。(2)均衡分散性：任意兩列間橫向組合的數(shù)字對搭配是均衡的。2/4/20231．正交表講

正交表是一整套規(guī)則的設(shè)計表格，用L為正交表的代號，n為試驗(yàn)的次數(shù)，t為水平數(shù)，c為列數(shù)，也就是可能安排最多的因素個數(shù)。例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次實(shí)驗(yàn)，最多可觀察4個因素，每個因素均為3水平。一個正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正交表，如L8(4×24)(表12)，此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看出，正交表是一個n行c列的表，其中第j列由數(shù)碼1，2，…Sj

組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)N/S次，例如表11中，第二列的數(shù)碼個數(shù)為3，S=3，即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn)次。2/4/2023正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計的基本工具。我們只介紹它的記號、特點(diǎn)和使用方法。正交表的記號及含義講記號及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗(yàn)次數(shù)）各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）q正交表的代號2/4/2023如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗(yàn)，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。講2/4/2023正交表的特點(diǎn)1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；表示：在試驗(yàn)安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）——均衡分散性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)相等——整齊可比性這是設(shè)計正交試驗(yàn)表的基本準(zhǔn)則2/4/2023例：例1－1為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個有關(guān)的因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反應(yīng)溫度（A），反應(yīng)時間（B），用堿量（C），并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150MinC：5-7%試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蛩谹、B、C對轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗(yàn)方案。2/4/2023這里，對因素A、B、C在試驗(yàn)范圍內(nèi)分別選取三個水平A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150MinC：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%正交試驗(yàn)設(shè)計中，因素可以定量的，也可以定性的。而定量因素各水平間的距離可以相等也可以不等。2/4/2023取三因素三水平，通常有兩種試驗(yàn)方法：（1）全面實(shí)驗(yàn)法：

A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3共有33=27次試驗(yàn)，如圖所示，立方體包含了27個節(jié)點(diǎn)，分別表示27次試驗(yàn)。2/4/2023A1A2A3B3B2B1C1C2C32/4/2023全面試驗(yàn)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對各因素于試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系剖析得比較清楚缺點(diǎn)：(1)試驗(yàn)次數(shù)太多，費(fèi)時、費(fèi)事，當(dāng)因素水平比較多時，試驗(yàn)無法完成。

(2)不做重復(fù)試驗(yàn)無法估計誤差。

(3)無法區(qū)分因素的主次。例如選六個因素，每個因素選五個水平時，全面試驗(yàn)的數(shù)目是56

＝15625次。又如緒言里所提到的，1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計的要求，提出了一個五因素的試驗(yàn)，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，此時靠全面試驗(yàn)法是無法完成的。2/4/2023（2）簡單比較法

變化一個因素而固定其它因素，如首先固定B、C于B1、C1，使A變化之，則：如果得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3，C還是C1，使B變化，則：得出結(jié)果B2最好，則固定B于B2，A于A3，使C變化，則：試驗(yàn)結(jié)果以C3最好。于是得出最佳工藝條件為A3B2C2。A1B1C1A2A3(好結(jié)果)B1A3C1B2(好結(jié)果)B3C1A3B2C2(好結(jié)果)C32/4/2023A1A2A3B3B2B1C1C2C3簡單比較法的試驗(yàn)點(diǎn)2/4/2023簡單比較法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：試驗(yàn)次數(shù)少缺點(diǎn)：（1）試驗(yàn)點(diǎn)不具代表性?？疾斓囊蛩厮絻H局限于局部區(qū)域，不能全面地反映因素的全面情況。（2）無法分清因素的主次。（3）如果不進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)誤差就估計不出來，因此無法確定最佳分析條件的精度。（4）無法利用數(shù)理統(tǒng)計方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，提出展望好條件。

2/4/2023正交試驗(yàn)的提出：考慮兼顧全面試驗(yàn)法和簡單比較法的優(yōu)點(diǎn)，利用根據(jù)數(shù)學(xué)原理制作好的規(guī)格化表－－正交表來設(shè)計試驗(yàn)不失為一種上策。用正交表來安排試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫做正交試驗(yàn)法。事實(shí)上，正交最優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)不僅表現(xiàn)在試驗(yàn)的設(shè)計上，更表現(xiàn)在對試驗(yàn)結(jié)果的處理上。2/4/2023正交試驗(yàn)法優(yōu)點(diǎn)：（1）試驗(yàn)點(diǎn)代表性強(qiáng)，試驗(yàn)次數(shù)少。（2）不需做重復(fù)試驗(yàn)，就可以估計試驗(yàn)誤差。（3）可以分清因素的主次。（4）可以使用數(shù)理統(tǒng)計的方法處理試驗(yàn)結(jié)果，提出展望好條件。正交試驗(yàn)（表）法的特點(diǎn)：（1）均衡分散性－－代表性。（2）整齊可比性－－可以用數(shù)理統(tǒng)計方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理。2/4/2023用正交表安排試驗(yàn)時，對于例1－1：A1A2A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交試驗(yàn)法安排試驗(yàn)只需要9次試驗(yàn)2/4/2023正交試驗(yàn)設(shè)計的基本步驟確定目標(biāo)、選定因素（包括交互作用）、確定水平；2.選用合適的正交表；3.按選定的正交表設(shè)計表頭，確定試驗(yàn)方案；4.組織實(shí)施試驗(yàn)；5.試驗(yàn)結(jié)果分析。2/4/20232/4/20232/4/2023正交表具有以下兩項(xiàng)性質(zhì)：

(1)每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1”與“2”，且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。

(2)任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列(同一橫行內(nèi))有序?qū)ψ庸灿?種：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每種對數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列(同一橫行內(nèi))有序?qū)灿?種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每對出現(xiàn)數(shù)也均相等2/4/2023以上兩點(diǎn)充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即“均勻分散性，整齊可比”。通俗的說，每個因素的每個水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。

2.交互作用表每一張正交表后都附有相應(yīng)的交互作用表，它是專門用來安排交互作用試驗(yàn)。表14就是L8(27)表的交互作用表。2/4/20232/4/2023安排交互作用的試驗(yàn)時，是將兩個因素的交互作用當(dāng)作一個新的因素，占用一列，為交互作用列，從表14中可查出L8(27)正交表中的任何兩列的交互作用列。表中帶()的為主因素的列號，它與另一主因素的交互列為第一個列號從左向右，第二個列號順次由下向上，二者相交的號為二者的交互作用列。例如將A因素排為第(1)列，B因素排為第(2)列，兩數(shù)字相交為3，則第3列為A×B交互作用列。又如可以看到第4列與第6列的交互列是第2列，等等。2/4/20233．正交實(shí)驗(yàn)的表頭設(shè)計表頭設(shè)計是正交設(shè)計的關(guān)鍵，它承擔(dān)著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任務(wù)，因此一個表頭設(shè)計就是一個設(shè)計方案。

表頭設(shè)計的主要步驟如下：

(1)確定列數(shù)

根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康模x擇處理因素與不可忽略的交互作用，明確其共有多少個數(shù)，如果對研究中的某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。當(dāng)每個試驗(yàn)號無重復(fù)，只有1個試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，可設(shè)2個或多個空白列，作為計算誤差項(xiàng)之用。

(2)確定各因素的水平數(shù)

根據(jù)研究目的，一般二水平(有、無)可作因素篩選用；也可適用于試驗(yàn)次數(shù)少、分批進(jìn)行的研究。三水平可觀察變化趨勢，選擇最佳搭配；多水平能以一次滿足試驗(yàn)要求。2/4/2023(3)選定正交表

根據(jù)確定的列數(shù)(c)與水平數(shù)(t)選擇相應(yīng)的正交表。例如觀察5個因素8個一級交互作用，留兩個空白列，且每個因素取2水平，則適宜選L16(215)表。由于同水平的正交表有多個，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列數(shù)比考慮需要觀察的個數(shù)稍多一點(diǎn)即可，這樣省工省時。

2/4/2023(4)表頭安排

應(yīng)優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在表頭排妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項(xiàng)目考察4個因素A、B、C、D及A×B交互作用，各因素均為2水平，現(xiàn)選取L8(27)表，由于AB兩因素需要觀察其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第1、2列，根據(jù)交互作用表查得A×B應(yīng)排在第3列，于是C排在第4列，由于A×C交互在第5列，B×C交互作用在第6列，雖然未考查A×C與B×C，為避免混雜之嫌，D就排在第7列。2/4/2023

(5)組織實(shí)施方案

根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平數(shù)列，構(gòu)成實(shí)施方案表，按實(shí)驗(yàn)號依次進(jìn)行，共作n次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)按表中橫行的各水平組合進(jìn)行。例如L9(34)表，若安排四個因素，第一次實(shí)驗(yàn)A、B、C、D四因素均取1水平，第二次實(shí)驗(yàn)A因素1水平，B、C、D取2水平，……第九次實(shí)驗(yàn)A、B因素取3水平，C因素取2水平，D因素取1水平。實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因