統(tǒng)計(jì)學(xué)第4章假設(shè)檢驗(yàn)

第4章假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是推斷統(tǒng)計(jì)方法的兩個(gè)重要組成部分。

◆共同點(diǎn)：都是利用樣本信息對總體數(shù)量特征進(jìn)行推斷。

◆不同點(diǎn)：推斷的角度不同。參數(shù)估計(jì)——是用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，總體參數(shù)在估計(jì)前是未知的。假設(shè)檢驗(yàn)——是先對總體參數(shù)的值提出一個(gè)原假設(shè)，然后利用樣本信息來檢驗(yàn)和判斷這個(gè)原假設(shè)是否成立（即判斷樣本信息與原假設(shè)之間是否存在顯著差異）。若成立，我們就接受原假設(shè)；不成立，就拒絕原假設(shè)。

【例1】某牙膏廠用自動包裝機(jī)裝牙膏，正常情況下，每支牙膏內(nèi)裝入的牙膏量（單位：g）X~N(50,1.22)，某日從生產(chǎn)中隨機(jī)地抽取16支牙膏，測得平均每支牙膏的凈重為50.72g，問這天包裝機(jī)是否正常？

【分析】如果包裝機(jī)工作正常，那么牙膏量X~N(50,1.22)，現(xiàn)在問包裝機(jī)工作是否正常，在假定方差不變的情況下，實(shí)際上就是要通過樣本均值來檢驗(yàn)總體均值50是否正確。這就是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題。

【例2】某種裝袋食品，按規(guī)定每袋重量不得少于250g。從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋重量低于250g。若規(guī)定不符合標(biāo)準(zhǔn)的比例達(dá)到5%，食品就不得出廠，問該批食品能否出廠？

【分析】對于該批食品的不合格率我們事先并不知道，要根據(jù)樣本的不合格率估計(jì)該批食品的不合格率，然后與規(guī)定的不合格率標(biāo)準(zhǔn)5%進(jìn)行比較，作出該批食品能否出廠的決策。也就是說，我們先假設(shè)該批食品的合格率不超過5%，然后用樣本不合格率來檢驗(yàn)假設(shè)是否正確？這也是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題。4.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念什么是假設(shè)檢驗(yàn)?

假設(shè)檢驗(yàn)——是指先對總體的參數(shù)或分布形式提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過程；

◆包括參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)；

◆邏輯上運(yùn)用的是概率反證法；

◆統(tǒng)計(jì)依據(jù)為小概率原理。小概率原理小概率事件——若事件A發(fā)生的概率P(A)很小很小或接近于0。一般在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常要求P(A)≤0.05。嚴(yán)格說來，小概率事件并非不可能事件，但是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，實(shí)踐中可以將其看作是不可能事件。小概率原理是假設(shè)檢驗(yàn)的靈魂。任何假設(shè)檢驗(yàn)都是根據(jù)這一基本原理、基本思想為基礎(chǔ)的。

總體假設(shè)檢驗(yàn)的過程抽取隨機(jī)樣本均值

x

=20我認(rèn)為人口的平均年齡是50歲提出假設(shè)

拒絕假設(shè)別無選擇!

作出決策二、原假設(shè)與備擇假設(shè)什么是假設(shè)?

對總體參數(shù)的具體數(shù)值所作的陳述總體參數(shù)包括總體均值、總體比率、總體方差等分析之前必須陳述我認(rèn)為這種新藥的療效比原有的藥物更有效!原假設(shè)原假設(shè)——又稱零假設(shè)，是指研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)，表示為

H0?？偸怯蟹?/p>

、或，例如，H0：

10cm

H0

：

10cm

H0：

10cm備擇假設(shè)——也稱研究假設(shè)，是指研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)，表示為H1。總是有符號

、或例如，H1：10cm

H1：<10cm

H1：10cm備擇假設(shè)

一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為15mm，為對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制，質(zhì)量監(jiān)測人員定期對一臺加工機(jī)床檢查，確定這臺機(jī)床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于15mm，則表明生產(chǎn)過程不正常，必須進(jìn)行調(diào)整。試陳述用來檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否正常的原假設(shè)和備擇假設(shè)提出假設(shè)例1【解】研究者想收集證據(jù)予以證明的假設(shè)應(yīng)該是生產(chǎn)過程不正常。因此，建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：μ=15mm

H1：μ≠15mm

某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過抽檢其中的一批產(chǎn)品來驗(yàn)證該產(chǎn)品制造商的說明是否屬實(shí)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。500g提出假設(shè)例2【解】研究者抽檢的意圖是傾向于證實(shí)這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說明書中的陳述。因此，建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：μ≥500

H1：μ<500

一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，某城市中家庭擁有汽車的比率超過30%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)提出假設(shè)例3【解】研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是該城市中家庭擁有汽車的比率超過30%。因此，建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：μ≤30%

H1：μ>30%

◆原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個(gè)完備事件組，而且相互對立。在一項(xiàng)假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)和備擇假設(shè)必有一個(gè)成立，而且只有一個(gè)成立；

◆先確定備擇假設(shè)，再確定原假設(shè)。因?yàn)閭鋼窦僭O(shè)大多是人們關(guān)心并想予以支持和證實(shí)的，一般比較清楚和容易確定；

◆等號“=”總是放在原假設(shè)上；

◆因研究目的不同，對同一問題可能提出不同的假設(shè)，也可能得出不同的結(jié)論。

◆假設(shè)檢驗(yàn)主要是搜集證據(jù)來推翻和拒絕原假設(shè)。結(jié)論與建議三、雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)——是指備擇假設(shè)沒有特定的方向性，并含有符號的假設(shè)檢驗(yàn)，又稱為雙尾檢驗(yàn)。單側(cè)檢驗(yàn)——是指備擇假設(shè)具有特定的方向性，并含有符號>或<的假設(shè)檢驗(yàn)，又稱為單尾檢驗(yàn)。

◆備擇假設(shè)的方向?yàn)?lt;，稱為左側(cè)檢驗(yàn)

◆備擇假設(shè)的方向?yàn)?gt;，稱為右側(cè)檢驗(yàn)

概念假設(shè)的形式假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設(shè)H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0四、兩類錯(cuò)誤與顯著性水平假設(shè)檢驗(yàn)的目的是要根據(jù)樣本信息作出最終決策。研究者總想作出正確的決策，但由于決策是建立在樣本信息的基礎(chǔ)之上的，而樣本又是隨機(jī)的，因而就有可能犯錯(cuò)誤。經(jīng)常犯的錯(cuò)誤有以下兩種：

◆當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，拒絕它；

◆當(dāng)原假設(shè)錯(cuò)誤時(shí)，沒有拒絕它。概念第Ⅰ類錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤)原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)。第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率記為α，又被稱為顯著性水平。第Ⅱ類錯(cuò)誤(取偽錯(cuò)誤)原假設(shè)為假時(shí)未拒絕原假設(shè)。第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率記為β。

和

的關(guān)系你不能同時(shí)減少兩類錯(cuò)誤!和的關(guān)系就像翹翹板，小就大，大就小

◆理想地，只有增加樣本容量，能同時(shí)減小犯兩類錯(cuò)誤的概率，但增加樣本容量又受到很多因素的限制；

◆通常，只能在兩類錯(cuò)誤的發(fā)生概率之間進(jìn)行平衡，發(fā)生哪一類錯(cuò)誤的后果更為嚴(yán)重，就首要控制哪類錯(cuò)誤發(fā)生的概率；

◆在假設(shè)檢驗(yàn)中，一般先控制第Ⅰ類錯(cuò)誤的發(fā)生概率。因?yàn)榉傅冖耦愬e(cuò)誤的概率是可以由研究者控制的。第Ⅰ類錯(cuò)誤

◆又稱為顯著性水平，常被用于檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性度量；

◆既是一個(gè)概率值；又是抽樣分布拒絕域面積的大小（表示犯第Ⅰ類錯(cuò)誤概率的最大允許值）；

◆常用的

值有0.01，0.05，0.10；

◆由研究者事先確定。第Ⅱ類錯(cuò)誤確定了顯著性水平就等于控制了第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率，但犯第Ⅱ類錯(cuò)誤概率的具體數(shù)值卻很難確定，其受影響因素包括：◆隨假設(shè)總體參數(shù)的減少而增大；

◆當(dāng)

減少時(shí)增大；

◆當(dāng)

增大時(shí)增大；

◆當(dāng)

n減少時(shí)增大。五、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量——是指根據(jù)樣本觀測結(jié)果計(jì)算得到的，并據(jù)以對原假設(shè)和備擇假設(shè)作出決策的某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上是總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，只有將其標(biāo)準(zhǔn)化后，才能用于度量它與原假設(shè)的參數(shù)之間的差異程度。

標(biāo)準(zhǔn)化的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可表示為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域——是指能夠拒絕原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值構(gòu)成的集合。

◆大小等于顯著性水平。

◆位置取決于檢驗(yàn)是單側(cè)還是雙側(cè)。雙側(cè)拒絕域在分布兩側(cè)；單側(cè)拒絕域在左側(cè)或右側(cè)。臨界值——根據(jù)給定的顯著性水平確定的拒絕域的邊界值。拒絕域與臨界值雙側(cè)檢驗(yàn)圖示0臨界值臨界值a/2a/2

拒絕域拒絕域1-置信水平左側(cè)檢驗(yàn)圖示0臨界值a拒絕域1-置信水平右側(cè)檢驗(yàn)圖示0臨界值a拒絕域1-a置信水平?jīng)Q策步驟①給定顯著性水平，查表得出相應(yīng)的臨界值z或z/2，t或t/2

②將計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較

③作出決策雙側(cè)檢驗(yàn)：|統(tǒng)計(jì)量|>臨界值，拒絕H0左側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量<-臨界值，拒絕H0右側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量>臨界值，拒絕H0六、利用p值進(jìn)行決策顯著性水平α是在檢驗(yàn)之前確定的，這也就意味著事先確定了拒絕域。這樣，不論檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值是大是小，只要它落入拒絕域就拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。這種固定的顯著性水平對檢驗(yàn)結(jié)果可靠性的度量有兩個(gè)不足之處：

◆它只是一個(gè)大致的范圍；

◆對不同的檢驗(yàn)，當(dāng)α相同時(shí)，所有結(jié)論的可靠性都一樣。要想得出觀測數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致程度的精確度量，就需要計(jì)算p值。關(guān)于p值

p值——又稱為觀察到的顯著性水平，在原假設(shè)為真的條件下，所得到的樣本結(jié)果會像實(shí)際觀測結(jié)果那么極端或更極端的概率。

◆α是指原假設(shè)正確時(shí)被拒絕的概率，或拒絕原假設(shè)犯錯(cuò)誤的最大允許值；

◆p值與原假設(shè)的對或錯(cuò)的概率無關(guān)，它是關(guān)于數(shù)據(jù)的概率。如果原假設(shè)正確，p值表示這樣的觀測數(shù)據(jù)會有多么的不可能得到?；蚴欠稿e(cuò)誤的實(shí)際概率?！舨徽撌菃蝹?cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，用p值進(jìn)行決策的規(guī)則：若p值<，拒絕

H0若p值>，不拒絕

H0◆p值反映實(shí)際觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)H0之間不一致的程度的一個(gè)概率值。

p值越小，說明實(shí)際觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)H0之間不一致的程度就越大，檢驗(yàn)的結(jié)果也就越顯著。雙側(cè)檢驗(yàn)/

2/

2Z0臨界值計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量臨界值1/2p值1/2p值左側(cè)檢驗(yàn)0臨界值a1-置信水平計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量p值右側(cè)檢驗(yàn)0臨界值a1-置信水平計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量p值假設(shè)檢驗(yàn)步驟1、提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；2、確定一個(gè)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并利用樣本數(shù)據(jù)算出其具體數(shù)值；3、根據(jù)顯著性水平，計(jì)算出其臨界值，指定拒絕域；4、將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值進(jìn)行比較，作出決策。統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域，拒絕H0，否則不拒絕H0也可以直接利用p值作出決策4.2一個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn)一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)z檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)z

檢驗(yàn)

2檢驗(yàn)均值一個(gè)總體比例方差一、總體均值的檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)(作出判斷)樣本容量大小未知總體方差是否已知已知無論樣本容量大小小t檢驗(yàn)z檢驗(yàn)

大z檢驗(yàn)1、總體方差已知的檢驗(yàn)根據(jù)抽樣分布的知識，對于正態(tài)總體，當(dāng)總體方差已知的情況，無論樣本是大樣本，還是小樣本時(shí)，都使用z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

【例1】某廠生產(chǎn)銅絲，其主要質(zhì)量指標(biāo)為折斷力X，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計(jì)，可假定X～N(570,82)。今新?lián)Q材料生產(chǎn)，抽取30個(gè)樣本值為：577、578、579、569、565、577、568、587、578、572、570、568、572、581、582、569、570、570、572、596、584，598、588、563、577、587、567、587欲檢驗(yàn)新材料生產(chǎn)的銅絲的折斷力X有無明顯變化。假定方差σ2=82保持不變，α=0.05

【解】此題為正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

H0:μ=570

H1：μ≠570由于銅絲折斷力X為大樣本且總體方差已知，故可以采用Z檢驗(yàn)法。依題意，樣本均值為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量α=0.05，查表得Zα/2=1.96檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量|Z|=21.64>Zα/2=1.96所以應(yīng)拒絕H0，表明新材料生產(chǎn)的銅絲的折斷力X有明顯的變化。雙側(cè)檢驗(yàn)01.96-1.960.025

0.025

拒絕H0拒絕H00.95置信水平

【練習(xí)1】完成生產(chǎn)線上某件工作所需的平均時(shí)間不少于15.5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘，對隨機(jī)抽選的36名職工講授一種新方法，訓(xùn)練期結(jié)束后這36名職工完成此項(xiàng)工作所需的平均時(shí)間為13.5分鐘，這個(gè)結(jié)果是否提供了充分證據(jù)，說明用新方法所需的時(shí)間短？設(shè)α=0.05，并假定完成這件工作的時(shí)間服從正態(tài)分布。H0：μ≥15.5H1:μ<15.5

由于大樣本且總體方差已知，故采用Z檢驗(yàn)法。依題意已知：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量α=0.05，臨界值Zα=1.645Z=-4<-Zα=-1.645，所以拒絕原假設(shè)H0，表明有充分的證據(jù)說明用新方法所需的時(shí)間更短。左側(cè)檢驗(yàn)0-1.6450.05拒絕H00.95置信水平【練習(xí)2】設(shè)香煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，按規(guī)定香煙的尼古丁平均含量不得超過18.3毫克，標(biāo)準(zhǔn)差為5毫克，現(xiàn)從產(chǎn)品中抽得容量為30的樣本，測得其尼古丁含量分別為：20、17、21、22、15、13、24、19、15、23、18、20、17、21、19、22、21、20、16、14、19、22、15、17、24、21、16、18、13、25。（其均值為18.9）試檢驗(yàn)?zāi)峁哦『渴欠裨黾恿耍é?0.05）？所檢驗(yàn)的假設(shè)可以歸結(jié)為：H0：μ≤18.3H1：μ>18.3由于大樣本且總體方差已知，故可用Z檢驗(yàn)法依題意樣本均值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：當(dāng)α=0.05時(shí)，查表得Zα=1.645因?yàn)閆=0.659<Zα=1.645所以不拒絕原假設(shè)H0，即沒有充分的理由相信尼古丁含量增加了。右側(cè)檢驗(yàn)01.6450.05拒絕H00.95置信水平總體方差已知，檢驗(yàn)方法的總結(jié)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0：m=m0H1：

mm0H0：mm0H1：m<m0H0：

m

m0

H1：

m>m0統(tǒng)計(jì)量無論樣本容量大小拒絕域P值決策拒絕H02、總體方差未知的檢驗(yàn)根據(jù)抽樣分布知識，當(dāng)總體服從正態(tài)分布，但總體方差未知時(shí)，樣本容量的大小決定了所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，大樣本小樣本

【例2】某車床加工一種零件，要求其長度為150mm，現(xiàn)從一批加工后的這種零件中隨機(jī)抽取9個(gè)，測得其長度為：147、150、149、154、152、153、148、151、155如果零件長度服從正態(tài)分布，問這批零件是否合格？（α=0.05）

【解】所要檢驗(yàn)的假設(shè)為：H0：μ=150H1：μ≠150根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為：又知n=9<30，屬于小樣本，故應(yīng)采用t檢驗(yàn)法當(dāng)α=0.05時(shí)，查表得因?yàn)椋?/p>

所以不拒絕原假設(shè)H0，可以認(rèn)為該批零件是合格的。雙側(cè)檢驗(yàn)02.306-2.3060.025

0.025

拒絕H0拒絕H00.95接受域【練習(xí)3】某公司年度報(bào)表指出其應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差不超過50元，審計(jì)師從該公司年度應(yīng)收賬款賬戶中隨機(jī)抽取16筆進(jìn)行調(diào)查，測得應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差為56元，標(biāo)準(zhǔn)差為8元。假定應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差服從正態(tài)分布。問：當(dāng)檢驗(yàn)水平α=0.01時(shí)，該公司應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差是否超過50元？所要檢驗(yàn)的假設(shè)為：H0:μ≤50H1:μ>50

依題意：

又知總體服從正態(tài)分布，總體方差σ2未知，且n=16<30屬于小樣本，故采用t檢驗(yàn)法。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)α=0.01時(shí)，查t分布表得因?yàn)椋核詰?yīng)拒絕H0，可以認(rèn)為該公司應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差超過50元。右側(cè)檢驗(yàn)02.60250.010.99置信水平拒絕H0

【練習(xí)4】某番茄罐頭中，維生素C的含量X服從正態(tài)分布，按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，維生素C的含量不得少于21mg?，F(xiàn)從一批罐頭中隨機(jī)抽取49罐，測得樣本均值為23mg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3.98，試問該批罐頭中維生素C的含量是否合乎標(biāo)準(zhǔn)？（α=0.05）

【解】此題屬于正態(tài)總體、總體方差未知且大樣本（n=49>30)，故采用Z檢驗(yàn)法。

所要檢驗(yàn)的假設(shè)為：H0：μ≥21H1：μ<21檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的計(jì)算如下：當(dāng)α=0.05時(shí)，查Z分布表得出臨界值為：因?yàn)椋核圆痪芙^H0，可以認(rèn)為該批罐頭中維生素C的含量合乎標(biāo)準(zhǔn)。左側(cè)檢驗(yàn)0-1.6450.05拒絕H00.95置信水平樣本統(tǒng)計(jì)量總體方差未知檢驗(yàn)方法小結(jié)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0：m=m0H1：

mm0H0：mm0H1：

m<m0H0：

mm0

H1：

m>m0統(tǒng)計(jì)量大樣本小樣本拒絕域P值決策拒絕H0二、總體比率的檢驗(yàn)我們只研究在大樣本情況下的總體比例的檢驗(yàn)。根據(jù)抽樣分布知識，在大樣本情況下，總體比例可用正態(tài)分布來近似。檢驗(yàn)可用z統(tǒng)計(jì)量【例3】某公司經(jīng)理希望估計(jì)一下其所在城市居民參加財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的比例。業(yè)務(wù)科長認(rèn)為大約有80%的居民參加了財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，而統(tǒng)計(jì)科統(tǒng)計(jì)人員隨機(jī)調(diào)查了150戶居民了解到有70%的居民參加了財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)。經(jīng)理希望在α=0.05的顯著性水平下檢驗(yàn)一下業(yè)務(wù)科長的說法是否可信？依題意，可建立如下假設(shè)H0:π=0.8H1:π≠0.8

又知樣本比例p=0.7，n=105>30，屬于大樣本，故采用Z檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：α=0.05，查表得出臨界值因?yàn)樗詰?yīng)拒絕H0，由此可以判定業(yè)務(wù)科長的說法不可信，即參加保險(xiǎn)的戶數(shù)不足80%?！揪毩?xí)5】某生產(chǎn)商向供應(yīng)商購一批西紅柿，雙方規(guī)定若優(yōu)質(zhì)西紅柿的比例在40%及以上按一般市場價(jià)格收購，否則按低于市場價(jià)格收購?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了100個(gè)西紅柿，只有34個(gè)為優(yōu)質(zhì)品。于是，生產(chǎn)商欲按低于市場價(jià)格收購，而供應(yīng)商則認(rèn)為樣本比例不足40%是由隨機(jī)因素引起的。請用α=0.05進(jìn)行檢驗(yàn)并加以說明。依題意，可建立如下假設(shè)H0:P≥0.4H1:P<0.4

又知樣本比例p=0.7，n=150>30，屬于大樣本，故采用Z檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：當(dāng)α=0.05時(shí)，查表得出左側(cè)檢驗(yàn)臨界值：因?yàn)椋核圆痪芙^原假設(shè)H0，即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)還不能認(rèn)為優(yōu)質(zhì)西紅柿的比例顯著地低于40%，故而生產(chǎn)商仍應(yīng)按一般市場價(jià)格收購。大樣本總體比例的檢驗(yàn)小結(jié)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0：=0H1：

0H0：0H1：

<0H0

：

0

H1：

>0統(tǒng)計(jì)量拒絕域P值決策拒絕H0三、總體方差的檢驗(yàn)根據(jù)抽樣分布知識，檢驗(yàn)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差，通常假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布，使用2分布。其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：【例4】已知某種零件的尺寸服從N(23.02，1.52)現(xiàn)從這批零件中任取7件進(jìn)行測量，測得尺寸數(shù)據(jù)（單位：mm）如下：21.0022.0422.3224.0124.6825.0221.63能否認(rèn)為該批零件的方差是否和以往一樣？（α=0.05）依題意可歸結(jié)為以下假設(shè)：

H0：σ2=1.52H1：σ2≠1.52，由于總體服從正態(tài)分布，采用χ2檢驗(yàn)。又知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：α=0.05，查χ2分布表得：χ2α/2(n-1)=14.449χ21-α/2(n-1)=1.237因?yàn)棣?1-α/2=1.237<χ2=6.7549<χ2α/2=16.013所以不拒絕原假設(shè)H0，可以認(rèn)為該批零件的方差和以往是一樣的?！揪毩?xí)6】某車間生產(chǎn)的金屬絲，質(zhì)量一貫穩(wěn)定，折斷力服從正態(tài)分布，方差σ2=64，今從一批金屬銅絲中隨機(jī)抽取10根作折斷力試驗(yàn)，結(jié)果為：578、572、570、568、572、570、596、584、570、572。（樣本均值約為575）問：這批金屬絲折斷力的方差為64是否可信？（α=0.05）待檢驗(yàn)假設(shè)為：H0:σ2=64H1:σ2≠64

由于總體服從正態(tài)分布，故采用χ2檢驗(yàn)。

又知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：當(dāng)α=0.05，查χ2分布表得：χ2α/2(n-1)=χ20.025(9)=19.023χ21-α/2(n-1)=χ20.975(9)=2.700因?yàn)椋害?1-α/2=2.700<χ2=10.65<χ2α/2=19.023所以不拒絕H0，可以認(rèn)為這批金屬銅絲的折斷力的方差為64可信。單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)小結(jié)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0：2=02H1：

202H0：202H1：2<02H0：

202H1：2>02統(tǒng)計(jì)量拒絕域或P值決策拒絕H04.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)z檢驗(yàn)(大樣本)t檢驗(yàn)(小樣本)t檢驗(yàn)(小樣本)z檢驗(yàn)F檢驗(yàn)獨(dú)立樣本成對樣本均值之差比例之差方差之比一、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)

1、兩個(gè)獨(dú)立總體，方差都已知兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本，且兩個(gè)正態(tài)總體的方差均已知時(shí)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量【例1】某公司對男女職員的平均小時(shí)工資進(jìn)行了調(diào)查，獨(dú)立抽取了男女職員的兩個(gè)隨機(jī)樣本，并記錄兩個(gè)樣本的均值、容量如下表。在顯著性水平為0.05的條件下，能否認(rèn)為男職員與女職員的平均小時(shí)工資存在顯著差異？已知兩總體服從正態(tài)分布，且方差分別為64和42.25男性職員女性職員n1=44n1=32x1=75x2=70H0：1-2=0H1：1-20=0.05n1=44，n2=32臨界值(c):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:決策:拒絕H0結(jié)論:該公司男女職員的平均小時(shí)工資之間存在顯著異

z01.96-1.960.025拒絕H0拒絕H00.025【練習(xí)1】甲、乙兩臺機(jī)床同時(shí)加工某種同類型的零件，已知兩臺機(jī)床加工的零件直徑分別服從正態(tài)分布，且有12=40，22=28。為比較兩臺機(jī)床的加工精度有無顯著差異，分別獨(dú)立抽取了甲機(jī)床加工的8個(gè)零件和乙機(jī)床加工的7個(gè)零件，通過測量得到如下數(shù)據(jù)。在=0.05的顯著性水平下，樣本數(shù)據(jù)是否提供證據(jù)支持兩臺機(jī)床加工的零件直徑不一致的看法？兩臺機(jī)床加工零件的樣本數(shù)據(jù)

(cm)甲2019172421201918乙21191520241620H0：-