高中數(shù)學人教A版1本冊總復習總復習2

2023學年山東省淄博市張店六中高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）=i，則z的虛部為（） A． B．﹣ C． D．﹣2．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a3+a5=（） A．122 B．123 C．243 D．2443．下列說法不正確的是（） A．若“p且q”為假，則p，q至少有一個是假命題 B．命題“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““?x∈R，x2﹣x﹣1≥0” C．當a＜0時，冪函數(shù)y=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件4．某同學寒假期間對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表： 偏愛蔬菜 偏愛肉類 合計50歲以下 4 8 1250歲以上 16 2 18合計 20 10 30則可以說其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)的把握為（）附：參考公式和臨界值表：Χ2=K 2，.706 3，.841 6，.636 10，.828P（Χ2≥k） 0，.10 0，.05 0，.010 0，.001 A．90% B．95% C．99% D．%5．dx=（） A．2π B．π C． D．6．老張身高176cm，他爺爺、父親、兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，用回歸分析的方法得到的回歸方程為=x+，則預計老張的孫子的身高為（）cm． A．182 B．183 C．184 D．1857．函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的部分圖象大致是（） A． B． C． D．8．1名老師和5位同學站成一排照相，老師不站在兩端的排法共有（） A．450 B．460 C．480 D．5009．（x2+）6展開式的常數(shù)項是15，如圖陰影部分是由曲線y=x2和圓x2+y2=a及x軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（） A．﹣ B．+ C． D．10．在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1﹣（x﹣3）2．若f（x）圖象上所有極大值對應的點均落在同一條直線上．則c=（） A．1或 B． C．1或3 D．1或2二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．某校在一次測試中約有600人參加考試，數(shù)學考試的成績X﹣N（100，a2）（a＞0，試卷滿分150分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次測試中數(shù)學考試成績不低于120的學生約有人．12．曲線y=ln（2x﹣1）上的點到直線2x﹣y+3=0的最短距離是．13．若函數(shù)在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．14．對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”數(shù)中有一個是73，則m的值為．15．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；②；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．三、解答題：本大題共6小題，共75分.16．在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b=4，A=，面積S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），將f（x）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC1、BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點．（1）證明：DF⊥AE；（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．18．某校為了普及環(huán)保知識，增強學生的環(huán)保意識，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽．經(jīng)過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽，規(guī)定每人回答一個問題，答對為本隊贏得10分，答錯得0分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示乙隊的總得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率．19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．20．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為，橢圓C與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2=相切于點W（O為坐標原點）．（Ⅰ）求橢圓C的方程并證明：OE⊥OF；（Ⅱ）設(shè)λ=，求實數(shù)λ的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）當a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=…）上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范圍．

2023學年山東省淄博市張店六中高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）=i，則z的虛部為（） A． B．﹣ C． D．﹣考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)．分析： 把已知的等式變形，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．解答： 解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虛部為．故選：A．點評： 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a3+a5=（） A．122 B．123 C．243 D．244考點： 二項式定理的應用．專題： 計算題．分析： 在所給的等式中，分別令x=1和x=﹣1，相減可得a1+a3+a5的值．再求出常數(shù)項a0的值，即可得到a0+a1+a3+a5的值．解答： 解：令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4+a5=243①，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1②，用①減去②可得2（a1+a3+a5）=244，故有a1+a3+a5=122．再由題意可得a0==1，可得a0+a1+a3+a5=123，故選：B．點評： 本題主要考查二項式定理的應用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于中檔題．3．下列說法不正確的是（） A．若“p且q”為假，則p，q至少有一個是假命題 B．命題“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““?x∈R，x2﹣x﹣1≥0” C．當a＜0時，冪函數(shù)y=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件考點： 特稱命題．專題： 綜合題；簡易邏輯．分析： A根據(jù)復合命題的真假性，即可判斷命題是否正確；B根據(jù)特稱命題的否定是全稱命，寫出它的全稱命題即可；C根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出正確的結(jié)論；D說明充分性與必要性是否成立即可．解答： 解：對于A，當“p且q”為假時，p、q至少有一個是假命題，是正確的；對于B，命題“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正確的；對于C，a＜0時，冪函數(shù)y=xa在（0，+∞）上是減函數(shù)，命題正確；對于D，φ=時，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函數(shù)，充分性成立，y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)時，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要條件，命題錯誤．故選：D．點評： 本題考查了復合命題的真假性問題，也考查了特稱命題的否定是全稱命題的應用問題，考查了充分必要條件以及冪函數(shù)的應用問題，是基礎(chǔ)題目．4．某同學寒假期間對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表： 偏愛蔬菜 偏愛肉類 合計50歲以下 4 8 1250歲以上 16 2 18合計 20 10 30則可以說其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)的把握為（）附：參考公式和臨界值表：Χ2=K 2，.706 3，.841 6，.636 10，.828P（Χ2≥k） 0，.10 0，.05 0，.010 0，.001 A．90% B．95% C．99% D．%考點： 獨立性檢驗．專題： 應用題；概率與統(tǒng)計．分析： 計算觀測值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．解答： 解：設(shè)H0：飲食習慣與年齡無關(guān)．因為Χ2==10＞，所以有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)．故選：C．點評： 本題考查獨立性檢驗，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，利用公式計算觀測值是關(guān)鍵．5．dx=（） A．2π B．π C． D．考點： 定積分．專題： 導數(shù)的綜合應用．分析： 利用其幾何意義求定積分值．解答： 解：dx=表示以原點為圓心，為半徑的圓的面積，故dx=；故選C．點評： 本題考查了定積分的幾何意義；求定積分有時候要求出被積函數(shù)的原函數(shù)再計算，而本題是利用其本身的幾何意義求值．6．老張身高176cm，他爺爺、父親、兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，用回歸分析的方法得到的回歸方程為=x+，則預計老張的孫子的身高為（）cm． A．182 B．183 C．184 D．185考點： 線性回歸方程．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 設(shè)出解釋變量和預報變量；代入線性回歸方程公式，求出線性回歸方程，將方程中的X用182代替，求出他孫子的身高．解答： 解：設(shè)X表示父親的身高，Y表示兒子的身高則Y隨X的變化情況如下；建立這種線性模型：X 173 170 176 182Y 170 176 182 ？用線性回歸公式，==173，==176，代入回歸方程：=x+，可得=3，解得線性回歸方程y=x+3當x=182時，y=185故選：D．點評： 本題考查由樣本數(shù)據(jù)，利用線性回歸直線的公式，求回歸直線方程．7．函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的部分圖象大致是（） A． B． C． D．考點： 函數(shù)的圖象．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的值域即可判斷．解答： 解：∵f（﹣x）==f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，排除A，B，∵＞0，故排除D，故選：C．點評： 本題考查了圖象的識別，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的值域，是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．8．1名老師和5位同學站成一排照相，老師不站在兩端的排法共有（） A．450 B．460 C．480 D．500考點： 排列、組合及簡單計數(shù)問題．專題： 計算題．分析： 根據(jù)題意，先分析老師的站法，再由組合數(shù)公式計算5名學生，站剩余5個位置的排法數(shù)目，進而由分步計數(shù)原理，計算可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，1名老師和5位同學站成一排照相，共6個位置，要求老師不站在兩端，則老師有4個位置可選，即老師的站法有4種情況，對于5名學生，站5個位置，有A55=120種情況，則不同的排法有4×120=480種，故選C．點評： 本題考查排列、組合的應用，是排隊問題，對于收到限制的元素，一般要優(yōu)先分析，優(yōu)先滿足．9．（x2+）6展開式的常數(shù)項是15，如圖陰影部分是由曲線y=x2和圓x2+y2=a及x軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（） A．﹣ B．+ C． D．考點： 定積分在求面積中的應用；二項式系數(shù)的性質(zhì)．專題： 計算題；導數(shù)的綜合應用；二項式定理．分析： 用二項式定理得到中間項系數(shù)，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．解答： 解：因為（x2+）6展開式的常數(shù)項是15，所以=15，解得a=2，所以曲線y=x2和圓x2+y2=2的在第一象限的交點為（1，1）所以陰影部分的面積為==﹣．故選：A．點評： 本題考查了二項式定理以及定積分求陰影部分的面積，屬于常規(guī)題．10．在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1﹣（x﹣3）2．若f（x）圖象上所有極大值對應的點均落在同一條直線上．則c=（） A．1或 B． C．1或3 D．1或2考點： 函數(shù)與方程的綜合運用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 由已知中定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1﹣（x﹣3）2．我們可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，進而根據(jù)三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．解答： 解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1﹣（x﹣3）2．當1≤x＜2時，2≤2x＜4，則f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]，此時當x=時，函數(shù)取極大值；當2≤x≤4時，f（x）=1﹣（x﹣3）2．此時當x=3時，函數(shù)取極大值1；當4＜x≤8時，2＜≤4，則f（x）=cf（）=c[1﹣（﹣3）2]，此時當x=6時，函數(shù)取極大值c．∵函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，即點（，），（3，1），（6，c）共線，∴=，解得c=1或2．故選：D．點評： 本題考查的知識點是三點共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．某校在一次測試中約有600人參加考試，數(shù)學考試的成績X﹣N（100，a2）（a＞0，試卷滿分150分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次測試中數(shù)學考試成績不低于120的學生約有120人．考點： 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 先根據(jù)正態(tài)分布曲線的圖象特征，關(guān)注其對稱性畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象在80分到120分之間的人數(shù)概率，即可得成績不低于120分的學生人數(shù)概率，最后即可求得成績不低于120分的學生數(shù)．解答： 解：∵成績ξ～N（100，a2），∴其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=100對稱，又∵成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對稱性知：成績在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的（1﹣）=，∴此次數(shù)學考試成績不低于120分的學生約有：=120．故答案為：120．點評： 本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．12．曲線y=ln（2x﹣1）上的點到直線2x﹣y+3=0的最短距離是．考點： 導數(shù)的運算；點到直線的距離公式．專題： 計算題．分析： 直線y=2x+3在曲線y=ln（2x+1）上方，把直線平行下移到與曲線相切，切點到直線2x﹣y+3=0的距離即為所求的最短距離．由直線2x﹣y+3=0的斜率，令曲線方程的導函數(shù)等于已知直線的斜率即可求出切點的橫坐標，把求出的橫坐標代入曲線方程即可求出切點的縱坐標，然后利用點到直線的距離公式求出切點到已知直線的距離即可．解答： 解：因為直線2x﹣y+3=0的斜率為2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲線方程得：y=0，即曲線上過（1，0）的切線斜率為2，則（1，0）到直線2x﹣y+3=0的距離d==，即曲線y=ln（2x﹣1）上的點到直線2x﹣y+3=0的最短距離是．故答案為：點評： 在曲線上找出斜率和已知直線斜率相等的點的坐標是解本題的關(guān)鍵．同時要求學生掌握求導法則及點到直線的距離公式的運用．13．若函數(shù)在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是﹣1＜m≤0．考點： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．分析： 若函數(shù)變形為，只要考查函數(shù)就行了．解答： 解：∵函數(shù)變形為，設(shè)，只要g（x）是單調(diào)減函數(shù)即可．畫出g（x）的圖象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．點評： 研究函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，此函數(shù)的性質(zhì)為解決許多問題提供了幫助．14．對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”數(shù)中有一個是73，則m的值為9．考點： 等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的函數(shù)特性．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 由題意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），累加由等差數(shù)列的求和公式可得am，驗證可得．解答： 解：由題意可得m3的“分裂”數(shù)為m個連續(xù)奇數(shù)，設(shè)m3的“分裂”數(shù)中第一個數(shù)為am，則由題意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2個式子相加可得am﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴am=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴當m=9時，am=73，即73是93的“分裂”數(shù)中的第一個故答案為：9點評： 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，涉及累加法求數(shù)列的通項公式，屬中檔題．15．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是②④（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；②；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．考點： 互斥事件的概率加法公式．專題： 壓軸題．分析： 本題是概率的綜合問題，掌握基本概念，及條件概率的基本運算是解決問題的關(guān)鍵．本題在A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進行轉(zhuǎn)化P（B）=P（B|?A1）+P（B?A2）+P（B?A3），可知事件B的概率是確定的．解答： 解：易見A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，．故答案為：②④點評： 概率的綜合問題，需要對基本概念和基本運算能夠熟練掌握．三、解答題：本大題共6小題，共75分.16．在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b=4，A=，面積S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），將f（x）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．考點： 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦定理．專題： 三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形．分析： （Ⅰ）首先利用三角形的面積公式求出c邊的長，進一步利用余弦定理求出a的長．（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進一步求出B的大小和C的大小，進一步把函數(shù)關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，再利用函數(shù)圖象的變換求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b=4，A=，面積S=2．則：S=．解得：c=2．a(chǎn)2=b2+c2﹣2bccosA則：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π則：，C=．f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），將f（x）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到g（x）=2sin（2x﹣），令：（k∈Z）解得：則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[]（k∈Z）點評： 本題考查的知識要點：三角形面積公式的應用，正弦定理的應用，余弦定理的應用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)圖象的伸縮變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC1、BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點．（1）證明：DF⊥AE；（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．考點： 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應用．分析： （1）先證明AB⊥AC，然后以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則能寫出各點坐標，由與共線可得D（λ，0，1），所以?=0，即DF⊥AE；（2）通過計算，面DEF的法向量為可寫成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．解答： （1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則有A（0，0，0），E（0，1，），F(xiàn)（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），設(shè)D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），則D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴?==0，所以DF⊥AE；（2）結(jié)論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為．理由如下：設(shè)面DEF的法向量為=（x，y，z），則，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），則=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由題可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以當D為A1B1中點時滿足要求．點評： 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量及其應用，建立空間直角坐標系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．18．某校為了普及環(huán)保知識，增強學生的環(huán)保意識，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽．經(jīng)過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽，規(guī)定每人回答一個問題，答對為本隊贏得10分，答錯得0分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示乙隊的總得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率．考點： 離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量及其分布列．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （Ⅰ）由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲隊得分等于30乙隊得分等于0”，B表示“甲隊得分等于20乙隊得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率計算公式即可得出甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率．解答： 解：由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，由于乙隊中3人答對的概率分別為，，，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=10）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×==，P（ξ=20）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×==，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列為：ξ 0 10 20 30P ∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲隊得分等于30乙隊得分等于0”，B表示“甲隊得分等于20乙隊得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，則甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率為P（A+B）=P（A）+P（B）==．點評： 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用，確定隨機變量，及其概率．19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．考點： 數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項公式．專題： 綜合題．分析： （Ⅰ）當n=1時，a1=S1=2，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由錯位相減法能求出，由此能求出數(shù)列{cn}的前n項和．解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=2，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2滿足該式，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①則3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴數(shù)列{cn}的前n項和…（12分）點評： 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用．20．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為，橢圓C與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2=相切于點W（O為坐標原點）．（Ⅰ）求橢圓C的方程并證明：OE⊥OF；（Ⅱ）設(shè)λ=，求實數(shù)λ的取值范圍．考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．專題： 計算題；證明題；平面向量及應用；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析： （Ⅰ）由題意得2b=2，=，a2=b2+c2，從而求出橢圓C的方程；由直線l與圓O相切化簡可得m2=（1+k2）；由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，從而結(jié)合韋達定理及向量的數(shù)量積化簡可得?=0，從而證明．（Ⅱ）由直線l與圓O相切于W，且+=1，+=1可得λ===，再由x1x2+y1y2=0可得=；從而化簡λ=，從而求實數(shù)λ的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）由題意得，2b=2，=，a2=b2+c2，解得，a2=2，b2=1；故橢圓C的方程為+y2=1；∵直線l與圓O相切，∴圓x2+y2=的圓心到直線l的距離d==，∴m2=（1+k2）；由可得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）；則x1+x2=﹣，x1x2=，∴?=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）