高中數(shù)學人教B版3第二章概率學業(yè)分層測評15

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.設隨機變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于() 【解析】∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝.故選D.【答案】D2.隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)ξ的期望為() 【解析】拋擲骰子所得點數(shù)ξ的分布列為ξ123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝.【答案】C3.設ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又設η＝2ξ＋5，則E(η)等于()\f(7,6) \f(17,6)\f(17,3) \f(32,3)【解析】E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).【答案】D4.某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時停留的時間都是2min，這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間Y的期望為()\f(1,3) \f(4,3) \f(8,3)【解析】遇到紅燈的次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，∴E(X)＝eq\f(4,3).∴E(Y)＝E(2X)＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】D5.設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，則E(X)的值為() 【解析】E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝.【答案】A二、填空題6.今有兩臺獨立工作的雷達，每臺雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別為和，設發(fā)現(xiàn)目標的雷達的臺數(shù)為X，則E(X)＝________.【導學號：62980054】【解析】X可能的取值為0,1,2，P(X＝0)＝(1－×(1－＝，P(X＝1)＝×(1－＋×(1－＝，P(X＝2)＝×＝，所以E(X)＝1×＋2×＝.【答案】7.(2023·邯鄲月考)一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標有數(shù)字0，兩個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是________.【解析】隨機變量X的取值為0,1,2,4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此E(X)＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)8.如圖2-3-2，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝________.圖2-3-2【解析】依題意得X的取值可能為0,1,2,3，且P(X＝0)＝eq\f(33,125)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(9×6,125)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(3×12,125)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125).故E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)三、解答題9.某俱樂部共有客戶3000人，若俱樂部準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領取.假設任一客戶去領獎的概率為4%.問俱樂部能否向每一位客戶都發(fā)出領獎邀請？【解】設來領獎的人數(shù)ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3000)k(1－3000－k，則ξ～B(3000,，那么E(ξ)＝3000×＝120(人)>100(人).∴俱樂部不能向每一位客戶都發(fā)送領獎邀請.10.(2023·重慶高考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.【解】(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(個).[能力提升]1.甲、乙兩臺自動車床生產同種標準件，X表示甲車床生產1000件產品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產1000件產品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時間考察，X，Y的分布列分別是：X0123PX0123P0據(jù)此判定()A.甲比乙質量好 B.乙比甲質量好C.甲與乙質量相同 D.無法判定【解析】E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質量好.【答案】A2.某船隊若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元.根據(jù)預測知天氣好的概率為，則出海的期望效益是()000元 200元400元 600元【解析】出海的期望效益E(ξ)＝5000×＋(1－×(－2000)＝3000－800＝2200(元).【答案】B3.某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________.【解析】∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2).隨機變量X的可能值為0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).【答案】eq\f(5,3)4.(2023·山東高考)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E(X).【解】(1)個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，隨機變量X的取值為：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－