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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年湖南工商職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.拋物線x=14ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(116a,0)B.(a,0)C.(0,116a)D.(0,a)答案:拋物線x=14ay2可化為:y2=4ax,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(a,0)故選B.2.(難線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算)已知0<x<1,0<y<1,求M=x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2的最小值.答案:設(shè)A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|.而AC=(1,1),BD=(-1,1),得|AC|+|BD|=2+2=22.∴M≥22,當(dāng)AP與PC同向,BP與PD同向時(shí)取等號(hào),設(shè)PC=λAP,PD=μBP,則1-x=λx,1-y=λy,-x=μx-μ,1-y=μy,解得λ=μ=1,x=y=12.所以,當(dāng)x=y=12時(shí),M的最小值為22.3.圓心既在直線x-y=0上,又在直線x+y-4=0上,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是______.答案:∵圓心既在直線x-y=0上,又在直線x+y-4=0上,∴由x-y=0x+y-4=0,得x=2y=2.∴圓心坐標(biāo)為(2,2),∵圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),∴半徑r=22,故所求圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=8.4.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.
B.(-2,0)
C.(-2,1)
D.(0,1)答案:C5.集合{1,2,3}的真子集的個(gè)數(shù)為()A.5B.6C.7D.8答案:集合的真子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7個(gè).故選C.6.設(shè)a=20.3,b=0.32,c=log20.3,則用“>”表示a,b,c的大小關(guān)系式是______.答案:∵0<0.32<1,log20.3<0,20.3>1∴0.32<20.3<log20.3故為:a>b>c7.用反證法證明“a+b=1”時(shí)的反設(shè)為()
A.a(chǎn)+b>1且a+b<1
B.a(chǎn)+b>1
C.a(chǎn)+b>1或a+b<1
D.a(chǎn)+b<1答案:C8.若直線l過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn),并且與y軸垂直,若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則a=______.答案:拋物線方程整理得x2=1ay,焦點(diǎn)(0,14a)l被拋物線截得的線段長(zhǎng)即為通徑長(zhǎng)1a,故1a=4,a=14;故為14.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù))和直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),則直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)等于______.答案:∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù)),∴(x+1)2+(y-2)2=25,∴圓心為(-1,2),半徑為5,∵直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),∴3x+4y-10=0,∴圓心到直線l的距離d=|-3+8-10|5=1,∴直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)=2×52-1=46.故為46.10.下列四個(gè)函數(shù)中,與y=x表示同一函數(shù)的是()A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x答案:選項(xiàng)A中的函數(shù)的定義域與已知函數(shù)不同,故排除選項(xiàng)A.選項(xiàng)B中的函數(shù)與已知函數(shù)具有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系,故是同一個(gè)函數(shù),故選項(xiàng)B滿足條件.選項(xiàng)C中的函數(shù)與已知函數(shù)的值域不同,故不是同一個(gè)函數(shù),故排除選項(xiàng)C.選項(xiàng)D中的函數(shù)與與已知函數(shù)的定義域不同,故不是同一個(gè)函數(shù),故排除選項(xiàng)D,故選B.11.直線l1到l2的角為α,直線l2到l1的角為β,則cos=()
A.
B.
C.0
D.1答案:A12.拋物線y=ax2(其中a>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(
)
A.(,0)
B.(0,)
C.(,0)
D.(0,)答案:D13.對(duì)變量x,y
有觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1,y1)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖1;對(duì)變量u,v
有觀測(cè)數(shù)據(jù)(v1,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖2.下列說(shuō)法正確的是()
A.變量x
與y
正相關(guān),u
與v
正相關(guān)
B.變量x
與y
負(fù)相關(guān),u
與v
正相關(guān)
C.變量x
與y
正相關(guān),u
與v
負(fù)相關(guān)
D.變量x
與y
負(fù)相關(guān),u
與v
負(fù)相關(guān)答案:B14.已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí),量得水面寬8米.當(dāng)水面升高1米后,水面寬度是______米.答案:由題意,建立如圖所示的坐標(biāo)系,拋物線的開(kāi)口向下,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0)∵頂點(diǎn)距水面2米時(shí),量得水面寬8米∴點(diǎn)(4,-2)在拋物線上,代入方程得,p=4∴x2=-8y當(dāng)水面升高1米后,y=-1代入方程得:x=±22∴水面寬度是42米故為:4215.若矩陣A=
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是表示我校2011屆學(xué)生高二上學(xué)期的期中成績(jī)矩陣,A中元素aij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5,6)的含義如下:i=1表示語(yǔ)文成績(jī),i=2表示數(shù)學(xué)成績(jī),i=3表示英語(yǔ)成績(jī),i=4表示語(yǔ)數(shù)外三門總分成績(jī)j=k,k∈N*表示第50k名分?jǐn)?shù).若經(jīng)過(guò)一定量的努力,各科能前進(jìn)的名次是一樣的.現(xiàn)小明的各科排名均在250左右,他想盡量提高三門總分分?jǐn)?shù),那么他應(yīng)把努力方向主要放在哪一門學(xué)科上()
A.語(yǔ)文
B.?dāng)?shù)學(xué)
C.外語(yǔ)
D.都一樣答案:B16.一個(gè)口袋中有紅球3個(gè),白球4個(gè).
(Ⅰ)從中不放回地摸球,每次摸2個(gè),摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng),求恰好第2次中獎(jiǎng)的概率;
(Ⅱ)從中有放回地摸球,每次摸2個(gè),摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng),連續(xù)摸4次,求中獎(jiǎng)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X).答案:(I)“恰好第2次中獎(jiǎng)“即為“第一次摸到的2個(gè)白球,第二次至少有1個(gè)紅球”,其概率為C24C27×C23+C13C12C25=935;(II)摸一次中獎(jiǎng)的概率為p=C23+C13C14C27=57,由條件知X~B(4,p),∴EX=np=4×57=207.17.如圖為△ABC和一圓的重迭情形,此圓與直線BC相切于C點(diǎn),且與AC交于另一點(diǎn)D.若∠A=70°,∠B=60°,則的度數(shù)為何()
A.50°
B.60°
C.100°
D.120°
答案:C18.已知圓M的方程為:(x+3)2+y2=100及定點(diǎn)N(3,0),動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng),線段PN的垂直平分線交圓M的半徑MP于Q點(diǎn),設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,則曲線C的方程是______.答案:連接QN,如圖由已知,得|QN|=|QP|,所以|QM|+|QN|=|QM|+|QN|=|MP|=10又|MN|=6,10>6,根據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)Q的軌跡是M,N為焦點(diǎn),以10為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,所以2a=10,2c=6,所以b=4,所以,點(diǎn)Q的軌跡方程為:x225+y216=1故為:x225+y216=119.某程序框圖如圖所示,若a=3,則該程序運(yùn)行后,輸出的x值為_(kāi)_____.答案:由題意,x的初值為1,每次進(jìn)行循環(huán)體則執(zhí)行乘二加一的運(yùn)算,執(zhí)行4次后所得的結(jié)果是:1×2+1=3,3×2+1=7,7×2+1=15,15×2+1=31,故為:31.20.設(shè)d1與d2都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于d1與d2的敘述正確的是()A.d1=d2B.d1與d2同向C.d1∥d2D.d1與d2有相同的位置向量答案:根據(jù)直線的方向向量定義,把直線上的非零向量以及與之共線的非零向量叫做直線的方向向量.因此,線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量都應(yīng)該是共線的故選C.21.給出一個(gè)程序框圖,輸出的結(jié)果為s=132,則判斷框中應(yīng)填()
A.i≥11
B.i≥10
C.i≤11
D.i≤12
答案:A22.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率是(
)
A.0.216
B.0.36
C.0.432
D.0.648答案:D23.已知向量a=(3,4),b=(8,6),c=(2,k),其中k為常數(shù),如果<a,c>=<b,c>,則k=______.答案:由題意可得cos<a,c>=cos<b,c>,∴a?c|a|?|c|=b?c|b|?|c|,∴6+4k54+k
2=16+6k104+k
2.解得k=2,故為2.24.春天到了,曲曲折折的荷塘上面,彌望的是田田的葉子,已知每一天荷葉覆蓋水面的面積是前一天的2倍,若荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面,當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積的一半時(shí),荷葉已生長(zhǎng)了()A.10天B.15天C.19天D.20天答案:設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為a,則x天后荷葉覆蓋水面的面積y=a?2x(x∈N+),根據(jù)題意,令2(a?2x)=a?220,解得x=19,故選C.25.數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x對(duì)x>0成立,證明:an<e2(n≥1),其中無(wú)理數(shù)e=2.71828….答案:(Ⅰ)證明:①當(dāng)n=2時(shí),a2=2≥2,不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=(1+1k(k+1))ak+12k≥2.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.根據(jù)(1)、(2)可知:ak≥2對(duì)所有n≥2成立.(Ⅱ)由遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1)兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan≤lnan+1n2+n+12n故lnan+1-lnan≤1n(n+1)+12n(n≥1).上式從1到n-1求和可得lnan-lna1≤11×2+12×3+…+1(n-1)n+12+122+…+12n-1=1-12+(12-13)+…+1n-1-1n+12?1-12n1-12=1-1n+1-12n<2即lnan<2,故an<e2(n≥1).26.讀下面的程序:
上面的程序在執(zhí)行時(shí)如果輸入6,那么輸出的結(jié)果為()
A.6
B.720
C.120
D.1答案:B27.從集合M={1,2,3,…,10}選出5個(gè)數(shù)組成的子集,使得這5個(gè)數(shù)的任兩個(gè)數(shù)之和都不等于11,則這樣的子集有______個(gè).答案:集合{1,2,…,10}中和是11的有:1+10,2+9,3+8,4+7,5+6,選出5個(gè)不同的數(shù)組成子集,就是從這5組中分別取一個(gè)數(shù),而每組的取法有2種,所以這樣的子集有:2×2×2×2×2=32故這樣的子集有32個(gè)故為:3228.“a2+b2≠0”的含義為()A.a(chǎn)和b都不為0B.a(chǎn)和b至少有一個(gè)為0C.a(chǎn)和b至少有一個(gè)不為0D.a(chǎn)不為0且b為0,或b不為0且a為0答案:a2+b2≠0的等價(jià)條件是a≠0或b≠0,即兩者中至少有一個(gè)不為0,對(duì)照四個(gè)選項(xiàng),只有C與此意思同,C正確;A中a和b都不為0,是a2+b2≠0充分不必要條件;B中a和b至少有一個(gè)為0包括了兩個(gè)數(shù)都是0,故不對(duì);D中只是兩個(gè)數(shù)僅有一個(gè)為0,概括不全面,故不對(duì);故選C29.用反證法證明命題“若a、b∈N,ab能被2整除,則a,b中至少有一個(gè)能被2整除”,那么反設(shè)的內(nèi)容是______.答案:根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立,而要證命題的否定為:“a,b都不能被2整除”,故為:a、b都不能被2整除.30.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中同時(shí)取出2個(gè)球,則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是
______.答案:設(shè)含紅球個(gè)數(shù)為ξ,ξ的可能取值是0、1、2,當(dāng)ξ=0時(shí),表示從中取出2個(gè)球,其中不含紅球,當(dāng)ξ=1時(shí),表示從中取出2個(gè)球,其中1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,當(dāng)ξ=2時(shí),表示從中取出2個(gè)球,其中2個(gè)紅球,∴P(ξ=0)=C22C25=0.1,P(ξ=1)=C12C13C25=0.6P(ξ=2)=C23C25=0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故為:1.2.31.已知正三角形的外接圓半徑為63cm,求它的邊長(zhǎng).答案:設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a,則12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm).它的邊長(zhǎng)為18cm.32.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,3)、B(-1,-1)、C(-3,5),求這個(gè)三角形外接圓的方程.答案:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則(1-a)2+(3-b)2=r2(-1-a)2+(-1-b)2=r2(-3-a)2+(5-b)2=r2,整理得a+2b-2=02a-b+6=0,解之得a=-2,b=2,可得r2=10,因此,這個(gè)三角形外接圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=10.33.點(diǎn)(1,2)到原點(diǎn)的距離為()
A.1
B.5
C.
D.2答案:C34.拋擲甲、乙兩骰子,記事件A:“甲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”;事件B:“乙骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則P(B|A)的值等于()
A.
B.
C.
D.答案:B35.如圖,圓與圓內(nèi)切于點(diǎn),其半徑分別為與,圓的弦交圓于點(diǎn)(不在上),求證:為定值。
答案:見(jiàn)解析解析:考察圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì),容易題。證明:由弦切角定理可得36.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根據(jù)柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13時(shí),(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值為18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值為18=3237.四面體ABCD中,設(shè)M是CD的中點(diǎn),則化簡(jiǎn)的結(jié)果是()
A.
B.
C.
D.答案:A38.復(fù)數(shù)z=(2+i)(1+i)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:因?yàn)閦=(2+i)(1+i)=2+3i+i2=1+3i,所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3),所以位于第一象限.故選A.39.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn),在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()
A.直線
B.橢圓
C.拋物線
D.雙曲線答案:D40.已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)為兩平行平面的法向量,則λ=______.答案:∵a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)為兩平行平面的法向量,∴a∥b.∴存在實(shí)數(shù)k,使得a=kb,∴3λ=k(λ+1)6=3kλ+6=2λk,解得k=2λ=2,故為241.將參數(shù)方程化為普通方程為(
)
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)答案:C42.已知|a|=1,|b|=2,向量a與b的夾角為60°,則|a+b|=______.答案:∵已知|a|=1,|b|=2,向量a與b的夾角為60°,∴a2=1,b2=4,a?b=1×2×cos60°=1,.∴|.a+b|2=a2+b2+2a?b=1+4+2=7,∴|.a+b|
=7,故為7.43.執(zhí)行下列程序后,輸出的i的值是()
A.5
B.6
C.10
D.11答案:D44.設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合,定義集合P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是______.答案:∵a∈P,b∈Q,∴a可以為0,2,5三個(gè)數(shù),b可以為1,2,6三個(gè)數(shù),∴x=0+1=1,x=0+2=2,x=0+6=6,x=2+1=3,x=2+2=4,x=2+6=8,x=5+1=6,x=5+2=7,x=5+6=11,∴P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q}={1,2,3,4,6,7,8,11},有8個(gè)元素.故為8.45.方程組的解集是()
A.{-1,2}
B.(-1,2)
C.{(-1,2)}
D.{(x,y)|x=-1或y=2}答案:C46.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開(kāi)式中x5與x6的系數(shù)相等,則n=()A.6B.7C.8D.9答案:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=3rCnrxr∴展開(kāi)式中x5與x6的系數(shù)分別是35Cn5,36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故選B47.(不等式選講)
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明:.答案:略解析::證明:由,所以同理:
,
相加得:左3……………(10分)48.以知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為_(kāi)_____.答案:∵A點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F′(4,0),∴由雙曲線性質(zhì)|PF|-|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故為949.直線x=-2+ty=1-t(t為參數(shù))被圓x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ為參數(shù))所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____.答案:∵圓x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ為參數(shù)),消去θ可得,(x-2)2+(y+1)2=4,∵直線x=-2+ty=1-t(t為參數(shù)),∴x+y=-1,圓心為(2,-1),設(shè)圓心到直線的距離為d=|2-1+1|2=2,圓的半徑為2∴截得的弦長(zhǎng)為222-(2)2=22,故為22.50.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則m的值為_(kāi)_____.答案:方程x2+my2=1變?yōu)閤2+y21m=1∵焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,∴1m=2,解得m=14故應(yīng)填14第2卷一.綜合題(共50題)1.如圖,AB是平面a的斜線段,A為斜足,若點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)動(dòng),使得△ABP的面積為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線答案:本題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一個(gè)圓柱表面的問(wèn)題,因?yàn)槿切蚊娣e為定值,以AB為底,則底邊長(zhǎng)一定,從而可得P到直線AB的距離為定值,分析可得,點(diǎn)P的軌跡為一以AB為軸線的圓柱面,與平面α的交線,且α與圓柱的軸線斜交,由平面與圓柱面的截面的性質(zhì)判斷,可得P的軌跡為橢圓.2.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,α的法向量為n,若<a,n>=,則l與α所成的角為()
A.
B.
C.
D.答案:C3.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.答案:這兩章的內(nèi)容都是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,用代數(shù)中的函數(shù)思想來(lái)解決圖形中的幾何性質(zhì).故為用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)解析:教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.4.A、B為球面上相異兩點(diǎn),則通過(guò)A、B兩點(diǎn)可作球的大圓有()A.一個(gè)B.無(wú)窮多個(gè)C.零個(gè)D.一個(gè)或無(wú)窮多個(gè)答案:如果A,B兩點(diǎn)為球面上的兩極點(diǎn)(即球直徑的兩端點(diǎn))則通過(guò)A、B兩點(diǎn)可作球的無(wú)數(shù)個(gè)大圓如果A,B兩點(diǎn)不是球面上的兩極點(diǎn)(即球直徑的兩端點(diǎn))則通過(guò)A、B兩點(diǎn)可作球的一個(gè)大圓故選:D5.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù),將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖,下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是()
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D6.已知雙曲線x2-y22=1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,1)能否作一條直線l,使直線l與雙曲線交于A、B,且M是線段AB的中點(diǎn),若存在這樣的直線l,求出它的方程;若不存在,說(shuō)明理由.答案:設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1或x=1(1)當(dāng)k存在時(shí)有y=k(x-1)+1x2
-y22=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0
(1)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn),則必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<32
又方程(1)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)∴x1+x2=2(k-k2)2-k2
又M(1,1)為線段AB的中點(diǎn)∴x1+x22=1
即k-k22-k2=1
k=2
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0因此當(dāng)k=2時(shí),方程(1)無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)m(1,1)與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且M為線段AB中點(diǎn)的直線不存在.(2)當(dāng)x=1時(shí),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M但不滿足條件,綜上,符合條件的直線l不存在7.四面體ABCD中,設(shè)M是CD的中點(diǎn),則化簡(jiǎn)的結(jié)果是()
A.
B.
C.
D.答案:A8.設(shè)、、是三角形的邊長(zhǎng),求證:
≥答案:證明見(jiàn)解析解析:證明:由不等式的對(duì)稱性,不防設(shè)≥≥,則≥左式-右式≥≥≥09.位于直角坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位,移動(dòng)的方向向左或向右,并且向左移動(dòng)的概率為,向右移動(dòng)的概率為,則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(1,0)的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D10.4名學(xué)生參加3項(xiàng)不同的競(jìng)賽,則不同參賽方法有()A.34B.A43C.3!D.43答案:由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題,首先第一名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有三種不同的結(jié)果,第二名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有3種結(jié)果,同理第三個(gè)和第四個(gè)同學(xué)從三種競(jìng)賽中選都有3種結(jié)果,∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有3×3×3×3=34故選A.11.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,其正視圖.側(cè)視圖.俯視圖均為直角三角形,面積分別是1,2,4,則這個(gè)幾何體的體積為()A.83B.43C.8D.4答案:由三視圖知幾何體是一個(gè)三棱錐,設(shè)出三棱錐的三條兩兩垂直的棱分別是x,y,z∴xy=2
①xz=4
②yz=8
③由①②得z=2y
④∴y=2∴以y為高的底面面積是2,∴三棱錐的體積是13×2×2=43故選B.12.下列圖形中不一定是平面圖形的是(
)
A.三角形
B.四邊相等的四邊形
C.梯形
D.平行四邊形答案:B13.已知關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。答案:解:令,為使方程f(x)=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,只需或,即或,解得k>0或k<-4,故k的取值范圍是k>0或k<-4.14.如圖,I表示南北方向的公路,A地在公路的正東2km處,B地在A地北偏東60°方向2km處,河流沿岸PQ(曲線)上任一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等,現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭,向A,B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物,經(jīng)測(cè)算從M到A,B修建公路的費(fèi)用均為a萬(wàn)元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是(單位萬(wàn)元)()
A.(2+)a
B.5a
C.2(+1)a
D.6a
答案:B15.若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,M是AB的中點(diǎn),則MC
?MD
=______.答案:在正四面體中,因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以CM=12(CA+CB),DM=12(DA+DB),所以CM?DM=12(CA+CB)?12(DA+DB)=14(CA?DA+CB?DA+CA?DB+CB?DB)=14(1×1×cos60°+0+0+1×1×cos60°)=14×1=14.所以MC
?MD
=CM?DM=14.故為:
1
4
.16.如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()
A.k1>k2>k3
B.k3>k2>k1
C.k2>k1>k3
D.k3>k1>k2
答案:C17.圓C1:x2+y2-6x+6y-48=0與圓C2:x2+y2+4x-8y-44=0公切線的條數(shù)是()
A.0條
B.1條
C.2條
D.3條答案:C18.x2+(m-3)x+m=0
一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,m的范圍是______.答案:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m,則∵x2+(m-3)x+m=0一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,∴f(1)<0∴1+(m-3)+m<0∴m<1故為m<1.19.將某班的60名學(xué)生編號(hào)為:01,02,…,60,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,且隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為04,則剩下的四個(gè)號(hào)碼依次是______.答案:用系統(tǒng)抽樣抽出的5個(gè)學(xué)生的號(hào)碼從小到大成等差數(shù)列,隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為04則剩下的四個(gè)號(hào)碼依次是16、28、40、52.故為:16、28、40、5220.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,兩頂點(diǎn)分別是(3,0),(0,2),則此橢圓的方程是______.答案:依題意,此橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,且焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)為x2a2+y2b2=1∵橢圓的兩頂點(diǎn)分別是(3,0),(0,2),∴a=3,b=2∵∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x29+y22=1.故為:x29+y22=1.21.系數(shù)矩陣為.2132.,解為xy=12的一個(gè)線性方程組是______.答案:可設(shè)線性方程組為2132xy=mn,由于方程組的解是xy=12,∴mn=47,∴所求方程組為2x+y=43x+2y=7,故為:2x+y=43x+2y=7.22.關(guān)于如圖所示幾何體的正確說(shuō)法為_(kāi)_____.
①這是一個(gè)六面體;
②這是一個(gè)四棱臺(tái);
③這是一個(gè)四棱柱;
④這是一個(gè)四棱柱和三棱柱的組合體;
⑤這是一個(gè)被截去一個(gè)三棱柱的四棱柱.答案:①因?yàn)橛辛鶄€(gè)面,屬于六面體的范圍,②這是一個(gè)很明顯的四棱柱,因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交與一點(diǎn),所以不正確.③如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱,④可以有四棱柱和三棱柱組成,⑤和④的想法一樣,割補(bǔ)方法就可以得到.故為:①③④⑤.23.已知圓O的兩弦AB和CD延長(zhǎng)相交于E,過(guò)E點(diǎn)引EF∥CB交AD的延長(zhǎng)線于F,過(guò)F點(diǎn)作圓O的切線FG,求證:EF=FG.答案:證明:∵FG為⊙O的切線,而FDA為⊙O的割線,∴FG2=FD?FA①又∵EF∥CB,∴∠1=∠2.而∠2=∠3,∴∠1=∠3,∠EFD=∠AFE為公共角∴△EFD∽△AFE,F(xiàn)DEF=EFFA,即EF2=FD?FA②由①,②可得EF2=FG2∴EF=FG.24.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=|log3x|B.y=x3C.y=e|x|D.y=cos|x|答案:對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)定義域是(0,+∞),故是非奇非偶函數(shù),不合題意,A選項(xiàng)不正確;對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)y=x3是一個(gè)奇函數(shù),故不是正確選項(xiàng);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)的定義域是R,是偶函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)是增函數(shù),故在(0,1)上單調(diào)遞增,符合題意,故C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)y=cos|x|是偶函數(shù),在(0,1)上單調(diào)遞減,不合題意綜上知,C選項(xiàng)是正確選項(xiàng)故選C25.若矩陣滿足下列條件:①每行中的四個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合均為{1,2,3,4};②四列中有且只有兩列的上下兩數(shù)是相同的.則這樣的不同矩陣的個(gè)數(shù)為()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C26.(不等式選講選做題)
已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a2+b2=1,x2+y2=3,則ax+by的最大值為_(kāi)_____.答案:因?yàn)閍2+b2=1,x2+y2=3,由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,得3≥(ax+by)2,不且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào),所以ax+by的最大值為3.故為:3.27.過(guò)點(diǎn)A(3,5)作圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線的方程為_(kāi)_____.答案:由圓的一般方程可得圓的圓心與半徑分別為:(2,3);1,當(dāng)切線的斜率存在,設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為:kx-y-3k+5=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得:|2k-3-3k+5|k2+1=1解得:k=-34,所以切線方程為:3x+4y-29=0;當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),直線為:x=3,滿足圓心(2,3)到直線x=3的距離為圓的半徑1,x=3也是切線方程;故為:3x+4y-29=0或x=3.28.為了檢測(cè)某種產(chǎn)品的直徑(單位mm),抽取了一個(gè)容量為100的樣本,其頻率分布表(不完整)如下:
分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成頻率分布表;
(Ⅱ)畫出頻率分布直方圖;
(Ⅲ)據(jù)上述圖表,估計(jì)產(chǎn)品直徑落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾?答案:解(Ⅰ)分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以產(chǎn)品直徑落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性為69%.29.已知=(1,2),=(x,1),當(dāng)(+2)⊥(2-)時(shí),實(shí)數(shù)x的值為(
)
A.6
B.2
C.-2
D.或-2答案:D30.若方程Ax2+By2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則A、B滿足的條件是()
A.A>0,且B>0
B.A>0,且B<0
C.A<0,且B>0
D.A<0,且B<0答案:C31.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于S4的概率是()A.13B.12C.34D.14答案:記事件A={△PBC的面積大于S4},基本事件空間是線段AB的長(zhǎng)度,(如圖)因?yàn)镾△PBC>S4,則有12BC?PE>14×12BC?AD;化簡(jiǎn)記得到:PEAD>14,因?yàn)镻E平行AD則由三角形的相似性PEAD>14;所以,事件A的幾何度量為線段AP的長(zhǎng)度,因?yàn)锳P=34AB,所以△PBC的面積大于S4的概率=APAB=34.故選C.32.對(duì)于函數(shù)f(x),在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值稱為函數(shù)f(x)的“上確界”則函數(shù)f(x)=(x+1)2x2+1的上確界為()A.14B.12C.2D.4答案:因?yàn)閒(x)=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因?yàn)閤2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1.∴f(x)≤2.即在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,M的最小值為2.故選C.33.若a>0,使不等式|x-4|+|x-3|<a在R上的解集不是空集的a的取值是()
A.0<a<1
B.a(chǎn)=1
C.a(chǎn)>1
D.以上均不對(duì)答案:C34.已知O、A、M、B為平面上四點(diǎn),且,則()
A.點(diǎn)M在線段AB上
B.點(diǎn)B在線段AM上
C.點(diǎn)A在線段BM上
D.O、A、M、B四點(diǎn)一定共線答案:B35.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,若兩人各投2次,則兩人都投中1次的概率為_(kāi)_____.答案:兩人都投中1次的概率為C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故為:0.201636.已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),則向量2a-3b+4c的坐標(biāo)為_(kāi)_____.答案:∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),∴向量2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(16,0,-19)故為:(16,0,-19).37.設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2,已知點(diǎn)C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0),B(1,0),則下面說(shuō)法正確的是()A.C可能是線段AB的中點(diǎn)B.D可能是線段AB的中點(diǎn)C.C,D可能同時(shí)在線段AB上D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上答案:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入1λ+1μ=2得1c+1d=2(1)若C是線段AB的中點(diǎn),則c=12,代入(1)d不存在,故C不可能是線段AB的中,A錯(cuò)誤;同理B錯(cuò)誤;若C,D同時(shí)在線段AB上,則0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此時(shí)C和D點(diǎn)重合,與條件矛盾,故C錯(cuò)誤.故選D38.(1)若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點(diǎn),則k的值為?
(2)若α∈N,又三點(diǎn)A(α,0),B(0,α+4),C(1,3)共線,求α的值.答案:(1)由2x+3y+8=0x-y-1=0解得x=-1,y=-2,∴直線2x+3y+8=0和x-y-1=0的交點(diǎn)為(-1,-2).∵三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點(diǎn),∴(-1,-2)在直線x+ky=0上,∴-1-2k=0,解得k=-12.(2)A、B、C三點(diǎn)共線,說(shuō)明直線AB與直線AC的斜率相等∴a+4-00-a=3-01-a,解得:a=239.某自動(dòng)化儀表公司組織結(jié)構(gòu)如圖所示,其中采購(gòu)部的直接領(lǐng)導(dǎo)是()
A.副總經(jīng)理(甲)
B.副總經(jīng)理(乙)
C.總經(jīng)理
D.董事會(huì)
答案:B40.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,則x+y+z等于______.答案:根據(jù)向量的加法法則可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故為:7641.設(shè)a=log
132,b=log123,c=(12)0.3,則()A.a(chǎn)<b<cB.a(chǎn)<c<bC.b<c<aD.b<a<c答案:c=(12)0.3>0,a=log
132<0,b=log123
<0并且log
132>log133,log
133>log123所以c>a>b故選D.42.滿足{1,2}∪A={1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.答案:由{1,2}∪A={1,2,3},所以A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}.所以集合A的個(gè)數(shù)為4.43.設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+3i,以原點(diǎn)為極點(diǎn),實(shí)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為()
A.(3,π)
B.(-3,π)
C.(3,π)
D.(-3,π)答案:A44.函數(shù)y=2x的值域?yàn)開(kāi)_____.答案:因?yàn)椋簒≥0,所以:y=2x≥20=1.∴函數(shù)y=2x的值域?yàn)椋篬1,+∞).故為:[1,+∞).45.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根在(-2,0)內(nèi),另一個(gè)根在(1,3)內(nèi),求a的取值范圍。答案:解:設(shè)f(x)=3x2-5x+a,則f(x)為開(kāi)口向上的拋物線,如右圖所示,∵f(x)=0的兩根分別在區(qū)間(-2,0),(1,3)內(nèi),∴,即,解得-12<a<0,故所求a的取值范圍是{a|-12<a<0}。46.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,F(xiàn)為焦點(diǎn),A,B,C為拋物線上的三點(diǎn),且滿足FA+FB+FC=0,|FA|+|FB|+|FC|=6,則拋物線的方程為_(kāi)_____.答案:設(shè)向量FA,F(xiàn)B,F(xiàn)C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2,同理XB=x2+p2,XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p,同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p,|FC|=x3+p2+p2=x3+p,又|FA|+|FB|+|FC|=6,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴拋物線方程為y2=4x.故為:y2=4x.47.設(shè)a,b∈R,ab≠0,則直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的大致圖形是()
A.
B.
C.
D.
答案:B48.在某電視歌曲大獎(jiǎng)賽中,最有六位選手爭(zhēng)奪一個(gè)特別獎(jiǎng),觀眾A,B,C,D猜測(cè)如下:A說(shuō):獲獎(jiǎng)的不是1號(hào)就是2號(hào);A說(shuō):獲獎(jiǎng)的不可能是3號(hào);C說(shuō):4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)都不可能獲獎(jiǎng);D說(shuō):獲獎(jiǎng)的是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)中的一個(gè).比賽結(jié)果表明,四個(gè)人中恰好有一個(gè)人猜對(duì),則猜對(duì)者一定是觀眾
獲特別獎(jiǎng)的是
號(hào)選手.答案:C,3.解析:推理如下:因?yàn)橹挥幸蝗瞬聦?duì),而C與D互相否定,故C、D中一人猜對(duì)。假設(shè)D對(duì),則推出B也對(duì),與題設(shè)矛盾,故D猜錯(cuò),所以猜對(duì)者一定是C;于是B一定猜錯(cuò),故獲獎(jiǎng)?wù)呤?號(hào)選手(此時(shí)A錯(cuò)).49.要從已編號(hào)(1~60)的60枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取6枚來(lái)進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn),用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導(dǎo)彈的編號(hào)可能是()
A.5、10、15、20、25、30
B.3、13、23、33、43、53
C.1、2、3、4、5、6
D.2、4、8、16、32、48答案:B50.算法的有窮性是指()A.算法必須包含輸出B.算法中每個(gè)操作步驟都是可執(zhí)行的C.算法的步驟必須有限D(zhuǎn).以上說(shuō)法均不正確答案:一個(gè)算法必須在有限步內(nèi)結(jié)束,簡(jiǎn)單的說(shuō)就是沒(méi)有死循環(huán)即算法的步驟必須有限故選C.第3卷一.綜合題(共50題)1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足3x+4y+10=0,那么x2+y2的最小值為_(kāi)_____.答案:設(shè)P(x,y),則|OP|=x2+y2,即x2+y2的幾何意義表示為直線3x+4y+10=0上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線3x+4y+10=0的距離d=|10|32+42=105=2.故為:2.2.設(shè)函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),則a的范圍為_(kāi)_____.答案:∵f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),∴2a-1<0,解得a<12.故為:a<12.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x24-y212=1上一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是______答案:MFd=e=2,d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線x=1的距離,則d=2,∴MF=4.故為44.設(shè),則之間的大小關(guān)系是
.答案:b>a>c解析:略5.設(shè),是互相垂直的單位向量,向量=(m+1)-3,=-(m-1),(+)⊥(-)則實(shí)數(shù)m為()
A.-2
B.2
C.-
D.不存在答案:A6.已知三個(gè)向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?答案:解:實(shí)數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c∵a,b,c不共面,∴∴即存在實(shí)數(shù),,使p=λq+μr,故向量p、q、r共面.7.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根在(-2,0)內(nèi),另一個(gè)根在(1,3)內(nèi),求a的取值范圍。答案:解:設(shè)f(x)=3x2-5x+a,則f(x)為開(kāi)口向上的拋物線,如右圖所示,∵f(x)=0的兩根分別在區(qū)間(-2,0),(1,3)內(nèi),∴,即,解得-12<a<0,故所求a的取值范圍是{a|-12<a<0}。8.根據(jù)如圖的框圖,寫出打印的第五個(gè)數(shù)是______.答案:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是:輸出N<35時(shí),打印A值.程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的情況如下表示:
是否繼續(xù)循環(huán)
A
N循環(huán)前
1
1
第一圈
2×1+1=3
2
是第二圈
2×3+1=7
3
是第三圈
2×7+1=15
4
是第四圈
2×15+1=31
5
是…所以這個(gè)打印的第五個(gè)數(shù)是31.故為:319.某超市推出如下優(yōu)惠方案:
(1)一次性購(gòu)物不超過(guò)100元不享受優(yōu)惠;
(2)一次性購(gòu)物超過(guò)100元但不超過(guò)300元的一律九折;
(3)一次性購(gòu)物超過(guò)300元的一律八折,有人兩次購(gòu)物分別付款80元,252元.
如果他一次性購(gòu)買與上兩次相同的商品,則應(yīng)付款______.答案:該人一次性購(gòu)物付款80元,據(jù)條件(1)、(2)知他沒(méi)有享受優(yōu)惠,故實(shí)際購(gòu)物款為80元;另一次購(gòu)物付款252元,有兩種可能,其一購(gòu)物超過(guò)300元按八折計(jì),則實(shí)際購(gòu)物款為2520.8=315元.其二購(gòu)物超過(guò)100元但不超過(guò)300元按九折計(jì)算,則實(shí)際購(gòu)物款為2520.9=280元.故該人兩次購(gòu)物總價(jià)值為395元或360元,若一次性購(gòu)買這些商品應(yīng)付款316元或288元.故為316元或288元.10.某農(nóng)科所種植的甲、乙兩種水稻,連續(xù)六年在面積相等的兩塊稻田中作對(duì)比試驗(yàn),試驗(yàn)得出平均產(chǎn)量==415㎏,方差是=794,=958,那么這兩個(gè)水稻品種中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的是()
A.甲
B.乙
C.甲、乙一樣穩(wěn)定
D.無(wú)法確定答案:A11.在空間直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),則|P1P2|=()
A.
B.3
C.
D.答案:A12.參數(shù)方程x=3cosθy=4sinθ,(θ為參數(shù))化為普通方程是______.答案:由參數(shù)方程x=3cosθy=4sinθ,得cosθ=13xsinθ=14y∵cos2θ+sin2θ=1,∴(13x)2+(14y)2=1,化簡(jiǎn)得x29+y216=1,即為橢圓的普通方程故為:x29+y216=113.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點(diǎn)P(3,2)滿足()
A.是圓心
B.在圓上
C.在圓內(nèi)
D.在圓外答案:C14.已知一種材料的最佳加入量在l000g到2000g之間,若用0.618法安排試驗(yàn),則第一次試點(diǎn)的加入量可以是(
)g。答案:1618或138215.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線變成直線的伸縮變換是()A.B.C.D.答案:A解析:解:設(shè)直線上任意一點(diǎn)(x′,y′),變換前的坐標(biāo)為(x,y),則根據(jù)直線變成直線則伸縮變換是,選A16.不等式log32x-log3x2-3>0的解集為()
A.(,27)
B.(-∞,-1)∪(27,+∞)
C.(-∞,)∪(27,+∞)
D.(0,)∪(27,+∞)答案:D17.(幾何證明選講)如圖,點(diǎn)A、B、C都在⊙O上,過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若AB=5,BC=3,CD=6,則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.答案:∵過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,∴DC是圓的切線,DBA是圓的割線,根據(jù)切割線定理得到DC2=DB?DA,∵AB=5,CD=6,∴36=DB(DB+5)∴DB=4,由題意知∠D=∠D,∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA,∴DCDA=BCCA∴AC=3×96=4.5,故為:4.518.如圖,割線PAB經(jīng)過(guò)圓心O,PC切圓O于點(diǎn)C,且PC=4,PB=8,則△PBC的外接圓的面積為_(kāi)_____.答案:∵PC切圓O于點(diǎn)C,∴根據(jù)切割線定理即可得出PC2=PA?PB,∴42=8PA,解得PA=2.∴ACCB=PAPC=12∴tanB=12∴sinB=55設(shè)△PBC的外接圓的半徑為R,則455=2R,解得R=25.∴△PBC的外接圓的面積為20π故為:20π19.在某項(xiàng)體育比賽中,七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下:
90
89
90
95
93
94
93
去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)的平均值和方差分別為()
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8答案:B20.經(jīng)過(guò)原點(diǎn),圓心在x軸的負(fù)半軸上,半徑等于2的圓的方程是______.答案:∵圓過(guò)原點(diǎn),圓心在x軸的負(fù)半軸上,∴圓心的橫坐標(biāo)的相反數(shù)等于圓的半徑,又∵半徑r=2,∴圓心坐標(biāo)為(-2,0),由此可得所求圓的方程為(x+2)2+y2=2.故為:(x+2)2+y2=221.若E,F(xiàn),G,H分別為空間四邊形ABCD四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),證明:四邊形EFGH是平行四邊形.答案:證明:∵E,F(xiàn),G,H分別為空間四邊形ABCD四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,且EF=12AC.同理可證,GH∥AC,且GH=12AC,故有
EF∥GH,且EF=GH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.22.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值點(diǎn).答案:由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=3y?1,即2x=3y時(shí)取等號(hào).由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值為12,最小值點(diǎn)為(14,16).23.設(shè)與都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于與的敘述正確的是()
A.=
B.與同向
C.∥
D.與有相同的位置向量答案:C24.已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=()
A.
B.
C.
D.4答案:C25.直線x3+y4=t被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)度為1,則t的值是
______.答案:令y=0,得:x=3t;令x=0,得:y=4t,所以被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)度為(3t)2+(4t)2=|5t|=1所以t=±15故為±1526.選修4-1:幾何證明選講
如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個(gè)根.
(Ⅰ)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.
答案:(I)連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,即ADAC=AEAB又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C,B,D,E四點(diǎn)共圓.(Ⅱ)m=4,n=6時(shí),方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.∵C,B,D,E四點(diǎn)共圓,∴C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5,DF=12(12-2)=5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5227.5顆骰子同時(shí)擲出,共擲100次則至少一次出現(xiàn)全為6點(diǎn)的概率為(
)A.B.C.D.答案:C解析:5顆骰子同時(shí)擲出,沒(méi)有全部出現(xiàn)6點(diǎn)的概率是,共擲100次至少一次出現(xiàn)全為6點(diǎn)的概率是.28.設(shè)a,b,λ都為正數(shù),且a≠b,對(duì)于函數(shù)y=x2(x>0)圖象上兩點(diǎn)A(a,a2),B(b,b2).
(1)若AC=λCB,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______;
(2)過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線,交函數(shù)y=x2(x>0)的圖象于D點(diǎn),由點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方可得不等式:______.答案:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(a,a2),B(b,b2),AC=λCB,則(x-a,y-a2)=λ(b-x,b2-y),所以:x=a+λb1+λ,y=a2+λb21+λ(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在點(diǎn)D的上方,則y>yD,所以a2+λb21+λ>(a+λb1+λ)229.已知A、B、C三點(diǎn)不共線,O是平面ABC外的任一點(diǎn),下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是()A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OCC.OM=OA+12OB+13OCD.OM=13OA+13OB+13OC答案:由共面向量定理OM=m?OA+n?OB+p?OC,m+n+p=1,說(shuō)明M、A、B、C共面,可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的,則D正確.故選D.30.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.31.拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|=4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=______.答案:∵拋物線y2=4x=2px,∴p=2,由拋物線定義可知,拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的,∴|MF|=4=x+p2=4,∴x=3,故為:3.32.如果過(guò)點(diǎn)A(x,4)和(-2,x)的直線的斜率等于1,那么x=()A.4B.1C.1或3D.1或4答案:由于直線的斜率等于1,故1=4-xx-(-2),解得x=1故選B33.圓x2+y2-6x+4y+12=0與圓x2+y2-14x-2y+14=0的位置關(guān)系是______.答案:∵圓x2+y2-6x+4y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得(x-3)2+(y+2)2=1∴圓x2+y2-6x+4y+12=0的圓心為C1(3,-2),半徑r1=1同理可得圓x2+y2-14x-2y+14=0的C2(7,1),半徑r2=6∵兩圓的圓心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5,可得兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切故為:內(nèi)切34.求證:答案:證明見(jiàn)解析解析:證明:此題采用了從第三項(xiàng)開(kāi)始拆項(xiàng)放縮的技巧,放縮拆項(xiàng)時(shí),不一定從第一項(xiàng)開(kāi)
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