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文檔簡介
1第八章假設(shè)檢驗
關(guān)鍵詞: 假設(shè)檢驗 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗擬合優(yōu)度檢驗
28.1假設(shè)檢驗
統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗問題。它包括(1)已知總體分布的形式,需對其中的未知參數(shù)給出假設(shè)檢驗.—參數(shù)檢驗(2)總體的分布形式完全未知的情況下,對總體的分布或數(shù)字特征進行假設(shè)檢驗.—非參數(shù)檢驗例1
設(shè)某種清漆的9個樣品,其干燥時間(以小時計)分別為:
6.05.75.56.57.05.85.26.15.0
根據(jù)以往經(jīng)驗,干燥時間的總體服從正態(tài)分布N(6.0,0.36),現(xiàn)根據(jù)樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異?(一)問題的提出例2
一種攝影藥品被其制造商聲稱其貯藏壽命是均值180天、標(biāo)準差不多于10天的正態(tài)分布。某位使用者擔(dān)心標(biāo)準差可能超過10天。他隨機選取12個樣品并測試,得到樣本標(biāo)準差為14天。根據(jù)樣本有充分證據(jù)證明標(biāo)準差大于10天嗎?5例3
孟德爾遺傳理論斷言,當(dāng)兩個品種的豆雜交時,圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例9:3:3:1發(fā)生。在檢驗這個理論時,孟德爾分別得到頻數(shù)315、101、108、32、這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎?假設(shè):(二)檢驗統(tǒng)計量和拒絕域?qū)?的統(tǒng)計分析(三)兩類錯誤由于樣本的隨機性,任一檢驗規(guī)則在應(yīng)用時,都有可能發(fā)生錯誤的判斷。第I類錯誤:拒絕真實的原假設(shè)(棄真)第II類錯誤:接受錯誤的原假設(shè)(取偽)原假設(shè)為真原假設(shè)不真根據(jù)樣本拒絕原假設(shè)第I類錯誤正確根據(jù)樣本接受原假設(shè)正確第II類錯誤171920處理假設(shè)檢驗問題的基本步驟
8.2單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗293031323334思考題:比較與你能寫出右邊假設(shè)問題檢驗的拒絕域嗎?363738394041424344例
某種元件的壽命X(以小時記)服從正態(tài)分布均未知。現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:
280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時)?(取顯著性水平為0.05)沒有落在拒絕域內(nèi),故不能拒絕原假設(shè),認為元件的平均壽命不大于225小時。問:若將原假設(shè)和備擇假設(shè)互換,即考慮左邊檢驗檢驗結(jié)果怎么樣?請給出合理的解釋。一般地,在有關(guān)參數(shù)的假設(shè)檢驗中,備擇假設(shè)是我們根據(jù)樣本資料希望得到支持的假設(shè)。49例3
要求某種元件的平均使用壽命不得低于1000小時,生產(chǎn)者從一批這種元件中隨機抽取25件,測得其平均壽命為950小時,標(biāo)準差為100小時。已知這批元件的壽命服從正態(tài)分布。試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格?50t落在拒絕域內(nèi),故拒絕原假設(shè),認為這批元件的平均壽命小于1000小時,不合格。525355例4:為了試驗兩種不同谷物種子的優(yōu)劣,選取了十塊土質(zhì)不同的土地,并將每塊土地分為面積相同的兩部分,分別種植這兩種種子。設(shè)在每塊土地的兩部分人工管理等條件完全一樣。下面給出各塊土地上的產(chǎn)量。
土地12345678910種子A(xi)23352942392937343528種子B(yi)26393540382436274127di=xi-yi-3-4-621517-61問:以這兩種種子種植的谷物產(chǎn)量是否有顯著的差異(取顯著性水平為0.05)?5657在Excel中的實現(xiàn)-------TTEST函數(shù)本例的分析步驟如下:(1)
將兩品種種子的產(chǎn)量數(shù)據(jù)輸入Excel表中,設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域分別為A1:A10和B1:B10;(2)下拉菜單“插入”選項卡═>單擊“函數(shù)”═>在類別的下拉式菜單中選擇“統(tǒng)計”═>選“TTEST”;(3)
在“Array1”文本框中輸入“A1:A10”,在“Array2”文本框中輸入“B1:B10”,“Tails”文本框中輸入”2”(“1”代表單尾概率,”2”代表雙尾概率),“Type”文本框中輸入“1”(“1”代表成對數(shù)據(jù)的t檢驗,“2”代表方差齊性的兩樣本t檢驗,“3”代表異方差的兩樣本t檢驗);(4)點擊Enter鍵,即顯示P_值為“0.889921”,因此認為兩品種種子產(chǎn)量沒有顯著差異。60616263656667從資料來看想要支持的結(jié)論是:新品種蘋果的重量差異小68例2
一種攝影藥品被其制造商聲稱其貯藏壽命是均值180天、標(biāo)準差不多于10天的正態(tài)分布。某位使用者擔(dān)心標(biāo)準差可能超過10天。他隨機選取12個樣品并測試,得到樣本標(biāo)準差為14天。根據(jù)樣本有充分證據(jù)證明標(biāo)準差大于10天嗎?(取顯著水平為0.05)70717273747576777879808182838485
例7:某廠使用兩種不同的原料A,B生產(chǎn)同一類型產(chǎn)品。各在一周的產(chǎn)品中取樣分析。取用原料A生產(chǎn)的樣品220件,測得平均重量為2.46(公斤),樣本標(biāo)準差s=0.57(公斤)。取用原料B生產(chǎn)的樣品205件,測得平均重量為2.55(公斤),樣本標(biāo)準差為0.48(公斤)。設(shè)兩樣本獨立,來自兩個方差相同的獨立正態(tài)總體。問在水平0.05下能否認為用原料B的產(chǎn)品平均重量μ2較用原料A的產(chǎn)品平均重量μ1為大。
8687(二)比較兩個正態(tài)總體方差的檢驗888990
例7:兩臺機床生產(chǎn)同一個型號的滾珠,從甲機床生產(chǎn)的滾珠中抽取8個,從乙機床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個,測得這些滾珠的直徑(毫米)如下:甲機床15.014.815.215.414.915.115.214.8乙機床15.215.014.815.114.614.815.114.515.091929394在Excel中的實現(xiàn)----FTSET函數(shù)和TTEST函數(shù)
利用FTSET函數(shù)作方差齊性檢驗,再利用TTEST函數(shù)進行兩樣本的均值比較。本例的分析步驟如下:(1)
將兩組數(shù)據(jù)輸入Excel表中,設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域分別為A1:A8和B1:B9;(2)下拉菜單“插入”選項卡═>單擊“函數(shù)”═>在類別的下拉式菜單中選擇“統(tǒng)計”═>選“FTEST”;(3)
在“Array1”文本框中輸入“A1:A8”,在“Array2”文本框中輸入“B1:B9”,并點擊Enter鍵,即顯示P_值為“0.7752”,因此認為兩總體方差相同.(4)重新下拉菜單“插入”選項卡═>單擊“函數(shù)”═>在類別的下拉式菜單中選擇“統(tǒng)計”═>選“TTEST”;(5)
在“Array1”文本框中輸入“A1:A8”,在“Array2”文本框中輸入“B1:B9”,“Tails”文本框中輸入”1”(“1”代表單尾概率,”2”代表雙尾概率),“Type”文本框中輸入“2”(“1”代表成對數(shù)據(jù)的t檢驗,“2”代表方差齊性的兩樣本t檢驗,“3”代表異方差的兩樣本t檢驗);(6)點擊Enter鍵,即顯示P_值為“0.0979”,因此在顯著水平為0.1下,拒絕原假設(shè)(7)
若在步驟(5)中的“Tails”文本框中輸入”2”,并點擊Enter鍵,即顯示P_值為“0.19587”,因此在顯著水平0.1下,接受原假設(shè)1008.4假設(shè)檢驗與區(qū)間估計作假設(shè)檢驗時,對參數(shù)有一個先驗的認識(例如μ=μ0),但由于某種情形的出現(xiàn)(如工藝改良等),猜測真實參數(shù)值可能發(fā)生了變化,所以假設(shè)檢驗的目的是:根據(jù)樣本確認參數(shù)是否真的發(fā)生了改變。作區(qū)間估計時,對參數(shù)沒有先驗的認識,但確定參數(shù)是固定不變的,只是未知,所以區(qū)間估計的目的是:根據(jù)樣本對參數(shù)進行估計;但置信區(qū)間與假設(shè)檢驗的拒絕域之間又有密切的關(guān)系。101102103104105106107108109110待估參數(shù)
原假設(shè)樞軸量
檢驗統(tǒng)計量
分布置信區(qū)間拒絕域
一個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗1128.5擬合優(yōu)度檢驗
前面介紹的各種檢驗都是在總體服從正態(tài)分布前提下,對參數(shù)進行假設(shè)檢驗的。實際中可能遇到這樣的情形,總體服從何種理論分布并不知道,要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè)。113
例如,要檢驗在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)的一個程序。指令該程序產(chǎn)生0到9之間的100個單個數(shù)字。觀察整數(shù)的頻數(shù)如下表。那么以0.05的顯著性水平,有充分的理由相信該批整數(shù)不是均勻產(chǎn)生的嗎?整數(shù)0123456789頻數(shù)1187710108111414114
例如,從1500到1931年的432年間,每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量,據(jù)統(tǒng)計,這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭,具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)22314248154通常假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布假設(shè)?115注意:在擬合優(yōu)度檢驗中,一般地,把想要支持結(jié)論放在原假設(shè)。116117118119120121
例:從1500到1931年的432年間,每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量,據(jù)統(tǒng)計,這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭,具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)22314248154通常假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布假設(shè)?122戰(zhàn)爭次數(shù)x01234實測頻數(shù)22314248154概率估計0.5020.3460.1190.0270.006理論頻數(shù)21714951123124例2
孟德爾遺傳理論斷言,當(dāng)兩個品種的豆雜交時,圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例9:3:3:1發(fā)生。在檢驗這個理論時,孟德爾分別得到頻數(shù)315、101、108、32、這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎?125126豆子狀態(tài)x1234實測頻數(shù)31510110832
概率9/163/163/161/16理論頻數(shù)312.75104.25104.2534.75127141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145例3
下面列出了84個伊特拉斯坎(Etruscan)人男子的頭顱的最大寬度(mm),試檢驗這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體(取α=0.1)128解為粗略了解數(shù)據(jù)的分布情況,先畫出直方圖。步驟如下:1.找出數(shù)據(jù)的最小值、最大值為126、158,取區(qū)間[124.5,159.5],它能覆蓋[126,158];2.將區(qū)間[124.5,159.5]等分為7個小區(qū)間,小區(qū)間的長度Δ=(159.5-124.5)/7=5,Δ稱為組距,小區(qū)間的端點稱為組限,建立下
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