第三章 離散Fourier變換

第三章離散Fourier變換Chapter3DiscreteFourierTransform由于數(shù)字信號(hào)處理器只能處理離散信號(hào)，所以我們需要繼續(xù)將離散時(shí)間序列進(jìn)行頻域離散化（即就是要找到依賴于離散時(shí)間變量到依賴于離散頻率變量之間的一種映射關(guān)系）——這就是DFT的作用。僅此變換對(duì)適合于在數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn)總之，一個(gè)域的離散就必然造成另一個(gè)域的周期延拓，而一個(gè)域的非周期與另一個(gè)域的連續(xù)是相對(duì)應(yīng)的。3.1離散Fourier變換的定義1.定義（1）x(n)是有限長(zhǎng)序列，且長(zhǎng)度為M。與Fourier變換和z變換不同，n僅定義在[0,N-1]的整數(shù)區(qū)間上；（2）變換核為，將時(shí)域序列x(n)變換為頻域序列X(k)；（3）序列x(n)經(jīng)離散Fourier變換后得到k定義在[0,N-1]上的頻域序列X(k)，其中N稱為變換區(qū)間長(zhǎng)度，N≥M；（4）離散Fourier變換使得時(shí)域序列與頻域序列之間建立關(guān)系，使信號(hào)在微處理器上的頻域分析成為可能；（5）x(n)的離散Fourier變換的結(jié)果與變換區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)。k=0,1,…,N–1

n=0,1,…,N–1

稱為變換核例3.1.1x(n)=R4(n),求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。解：設(shè)變換區(qū)間N=8設(shè)變換區(qū)間N=16，用MATLAB實(shí)現(xiàn)DFTfunction[Xk]=dft(xn,N)%ComputesDiscreteFourierTransform%-----------------------------------%[Xk]=dft(xn,N)%Xk=DFTcoeff.arrayover0<=k<=N-1%xn=N-pointfinite-durationsequence%N=LengthofDFT%n=[0:1:N-1];%rowvectorfornk=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.^nk;%DFTmatrixXk=xn*WNnk;%rowvectorforDFT

coefficients2.DFT和Z變換的關(guān)系說(shuō)明DFT是Z變換在單位圓上等間隔采樣N個(gè)點(diǎn)的結(jié)果說(shuō)明DFT是序列Fourier變換在[0,2]區(qū)間上等間隔采樣N個(gè)點(diǎn)的結(jié)果。,0

k

N–1

,0k

N–1例：R8(n)的Fourier變換與64點(diǎn)DFT、128點(diǎn)DFT

由此例我們可以看出，對(duì)同一個(gè)序列x(n)：（1）DFT的變換區(qū)間不同，得到不同的X(k)。當(dāng)n確定后，X(k)與x(n)是一一對(duì)應(yīng)的；（2）當(dāng)N足夠大時(shí)，|X(k)|的包絡(luò)可逼近|X(ej)|曲線；（3）|X(k)|表示=(2/N）

k頻率點(diǎn)的幅度譜線。3.DFT的隱含周期性Ⅰ）∴DFT后的X(k)具周期性，周期為NX(k+mN)=X(k)∴IDFT后的x(n)具周期性，周期為Nx(n+mN)=x(n)Ⅱ）概念周期延拓序列記作主值序列k,m,N

均為整數(shù)Ⅲ）周期延拓序列的離散Fourier級(jí)數(shù)（DFS）（1）x(n)的N點(diǎn)DFTX(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的DFS的主值序列。（2）對(duì)周期序列，只要知道它的一個(gè)周期的內(nèi)容就可以完全確定這個(gè)序列，也就是說(shuō)只有一個(gè)周期承載信息，其它周期的值都是冗余的；（3）點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列和周期為N的周期序列，都是由N個(gè)值來(lái)定義。（4）與有限長(zhǎng)序列的DFT變換對(duì)相比，可以發(fā)現(xiàn)，周期序列和有限長(zhǎng)序列本質(zhì)上是一樣的；（5）有限長(zhǎng)序列及其DFT可以分別看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要注意有限長(zhǎng)序列的隱含周期性。（這個(gè)隱含周期性主要對(duì)有限長(zhǎng)序列的移位運(yùn)算產(chǎn)生較大影響，進(jìn)而使得對(duì)有限長(zhǎng)序列只能計(jì)算循環(huán)卷積）如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且，則可寫(xiě)出的離散Fourier級(jí)數(shù)表示式(DFS公式見(jiàn)P41公式(2.3.6))3.2離散Fourier變換的基本性質(zhì)線性時(shí)域循環(huán)卷積定理復(fù)共軛序列的DFT離散Fourier變換的基本性質(zhì)DFT的共軛對(duì)稱性循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位定義：將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到再將左移m得到最后取的主值序列則得到有限長(zhǎng)序列x(n)

的循環(huán)移位序列y(n).N=6時(shí)域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理若則若則2.循環(huán)卷積定理Ⅰ）時(shí)域循環(huán)卷積定理X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果X(k)=X1(k)X2(k)則或x(n)=x1(n)*x2(n)〇記作Ⅱ）頻域循環(huán)卷積定理如果

x(n)=x1(n)x2(n)則或式中X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]，0

k

N–1〇〇710循環(huán)卷積的計(jì)算（1）離散頻域的有限長(zhǎng)序列卷積（圓周卷積）與連續(xù)頻域的卷積（線性卷積）有很大的區(qū)別，這是由于FT在[-∞,∞]區(qū)間討論問(wèn)題，而DFT僅能在[0,N-1]區(qū)間上討論問(wèn)題，更重要的是有限長(zhǎng)序列的卷積本質(zhì)上是周期序列的線性卷積；（2）手工計(jì)算圓周卷積的法則依然是“翻、移、乘、加”，只是序列的翻轉(zhuǎn)是在圓周上進(jìn)行的；（3）有限長(zhǎng)序列的圓周卷積與線性卷積相等的條件是L≥L1+L2-1有限長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱的定義xep(n)=x*ep(N–n)，0

n

N–1xop(n)=–x*op(N–n)，0

n

N–1任何有限長(zhǎng)序列都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和。x(n)=xep(n)+xop(n)，0

n

N–1

DFT的共軛對(duì)稱性x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)x(n)=xep(n)+xop(n)X(k)=XR(k)+jXI(k)DFT的共軛對(duì)稱性：如果序列x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。

用MATLAB實(shí)現(xiàn)有限長(zhǎng)序列的奇偶分解function[xec,xoc]=circevod(x)%signaldecompositionintocircular-evenand%circular-oddparts%---------------------------------------%[xec,xoc]=circecod(x)%N=length(x);n=0:(N-1);xec=0.5*(x+(x(mod(-n,N)+1))'.');xoc=0.5*(x-(x(mod(-n,N)+1))'.');用MATLAB實(shí)現(xiàn)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)移位functiony=cirshftt(x,m,N)%CircularshiftofmsampleswrtsizeN%insequencex:(timedomain)%---------------------------------------%[y]=cirshftt(x,m,N)%y=outputsequencecontainingthecircularshift%x=inputsequenceoflength<=N%m=sampleshift%N=sizeofcircularbuffer%Checkforlengthofxiflength(x)>Nerror('Nmustbe>=thelengthofx')endx=[xzeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];n=mod(n-m,N);y=x(n+1);用MATLAB實(shí)現(xiàn)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積functiony=circonvt(x1,x2,N)%N-pointcircularconvolutionbetweenx1andx2:(time-domain)%-----------------------------------------------------%[y]=circonvt(x1,x2,N)%y=outputsequencecontainingthecircularconvolution%x1=inputsequenceoflengthN1<=N%x2=inputsequenceoflengthN2<=N%N=sizeofcircularbufferx1=[x1zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2zeros(1,N-length(x2))];m=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-m,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cirshftt(x2,n-1,N);endy=x1*H';X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果

X(k)=X1(k)X2(k)則3.3頻率域采樣什么條件下可以由頻率離散采樣恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)？，0

k

N–1

表示在區(qū)間[0,2p]上對(duì)x(n)的Z變換的N點(diǎn)等間隔采樣。下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系，并導(dǎo)出頻域采樣定理。X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的DFS系數(shù)的主值序列，即說(shuō)明了X(z)在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣X(jué)(k)的N點(diǎn)IDFT，為原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列所以（1）若x(n)不是有限長(zhǎng)序列，則由于頻域的采樣使得時(shí)域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象；（2）如果x(n)是有限長(zhǎng)序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)頻域采樣不夠密時(shí)，即當(dāng)N<M時(shí)，x(n)以N為周期延拓，也會(huì)造成混疊；頻率域的抽取造成時(shí)域的周期延拓如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí)，才有xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)即可由頻域采樣X(jué)(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。這就是頻域采樣定理。%一個(gè)對(duì)指數(shù)序列x(n)=a^n*u(n)進(jìn)行Z變換后%再進(jìn)行IDFT的實(shí)例，程序中a=0.85N1=5;k=0:1:(N1-1);wk1=2*pi*k/N1;zk1=exp(j*wk1);Xk1=(zk1)./(zk1-0.85);xn1=real(idft(Xk1,N1));xtilde1=xn1'*ones(1,8);xtilde1=(xtilde1(:))';subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde1);axis([0,40,-0.2,1.8]);grid;xlabel(‘n’);ylabel(‘序列x(n)');title('N=5');顯示時(shí)域混疊的MATLAB例程1.00000.85000.72250.61410.52200.44370.37710.32060.27250.23160.19690.16730.14220.12090.10280.08740.07430.06310.05360.04560.03880.03290.02800.02380.02020.01720.01460.01240.01060.00901.00770.85650.72810.61880.52600.44710.38000.32300.27460.23340.19840.16860.14330.12180.10360.08800.07480.06360.05410.04600.03910.03320.02820.02400.02040.01730.01470.01250.01060.0090當(dāng)N=30時(shí)0.85nu(n)的序列及取值當(dāng)N=30時(shí)0.85nu(n)經(jīng)Z變換并取樣后IDFT的序列及取值怎樣由X(k)恢復(fù)X(z)和X(ej)?k=0,1,2,…,

N–1

內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)z=ej時(shí)

這是用X(k)表示序列x(n)的Fourier變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式3.4DFT應(yīng)用1.用DFT計(jì)算線性卷積

DFT僅能計(jì)算兩序列的循環(huán)卷積，但實(shí)際應(yīng)用中需要計(jì)算兩序列的線性卷積，所以有必要先來(lái)討論以下兩個(gè)問(wèn)題：Ⅰ）循環(huán)卷積與線性卷積之間的關(guān)系結(jié)論：L點(diǎn)循環(huán)卷積等于線性卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。Ⅱ）循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件若L≥N1+N2-1，則L點(diǎn)循環(huán)卷積能代表線性卷積。用DFT計(jì)算線性卷積框圖兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差很大時(shí)。如選取L=N+M–1，則要求對(duì)短序列補(bǔ)充很多零點(diǎn)，長(zhǎng)序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。很難實(shí)時(shí)處理。解決這個(gè)問(wèn)題的方法是將長(zhǎng)序列分段計(jì)算，這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。2.用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析Ⅰ）用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析所謂信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。連續(xù)信號(hào)頻譜與其采樣序列頻譜間關(guān)系連續(xù)信號(hào)頻譜與其采樣序列頻譜間關(guān)系其中F為頻率分辨率，F(xiàn)=1/NT通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行DFT再乘以T，近似得到模擬信號(hào)頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個(gè)周期上的N點(diǎn)等間隔采樣Ⅱ）用DFT進(jìn)行譜分析的問(wèn)題1、混疊現(xiàn)象：如果x(t)不是帶限信號(hào)，必定產(chǎn)生頻率混疊，但可以選擇一個(gè)合理的采樣頻率fs使這種混疊可以忽略不計(jì)；如果x(t)的最高頻率為fh，雖然fs>2fh可滿足采樣定理，但工程上通常取fs=(3~5)fh以取得更好的效果。2、柵欄效應(yīng)：因?yàn)镈FT計(jì)算頻譜只限于離散點(diǎn)上頻譜，而不是連續(xù)的函數(shù)，這就像通過(guò)一個(gè)“柵欄”觀察連續(xù)頻譜一樣，因此稱這種現(xiàn)象為“柵欄”現(xiàn)象。3、截?cái)嘈?yīng)：如果x(t)是無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)，用DFT作譜分析時(shí)，必須取有限長(zhǎng)的一段，這就相當(dāng)于在時(shí)域給信號(hào)乘了一個(gè)矩形函數(shù)，結(jié)果得到的頻譜是原信號(hào)的頻譜與矩形函數(shù)頻譜的卷積，造成頻譜泄漏問(wèn)題和譜間干擾問(wèn)題。4、頻率分辨率：F=1/NT，NT的增大會(huì)提高分辨率。當(dāng)N固定時(shí)，過(guò)大的T會(huì)造成明顯的混疊現(xiàn)象，而T的減小又會(huì)使觀察時(shí)間縮短，從而增強(qiáng)截?cái)嘈?yīng)、降低分辨率。加矩形窗前后的頻譜主瓣旁瓣①取更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，也就是窗寬加寬，但數(shù)據(jù)太長(zhǎng)會(huì)使運(yùn)算量和存儲(chǔ)量都大大增加；②不要突然截?cái)鄶?shù)據(jù)，即不加矩形窗而使用緩變的窗，使窗譜的旁瓣能量更小，卷積后造成的泄漏減小。減弱截?cái)嘈?yīng)的方法Ⅲ）用DFT進(jìn)行譜分析時(shí)的參數(shù)選擇問(wèn)題用DFT作連續(xù)信號(hào)的頻譜分析時(shí)，必須選擇合理的T和N，以防止混疊現(xiàn)象發(fā)生并且盡量提高頻譜分辨率。例：對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)=e?0.1t

,t≥0用DFT進(jìn)行譜分析。①固定分辨率（意味著T

增大一倍，N

需