概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 13-4節(jié)

第三節(jié)概率的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則概率的公理化定義指出了概率的本質(zhì).對(duì)于任意可列個(gè)互不相容事件A1，A2，…，An…，有即概率具有1.非負(fù)性:2.規(guī)范性:3.完全可加性(也叫可列可加性）：性質(zhì)1不可能事件Φ的概率等于0，即證：又性質(zhì)2

任意有限個(gè)互不相容事件之和的概率，等于它們概率的和：（概率的有限可加性)證：即有限個(gè)互不相容事件和的概率等于它們概率的和推論3

若，則證：ΩABB-A推論2推論1

當(dāng)A、B互斥時(shí)，而A與B－A互斥，性質(zhì)3

對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B，有證：加法公式ＡＢAB而A與B－AB互斥又加法公式可推廣到任意有限個(gè)事件(加奇減偶定理)P(A+B+C+D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)+P(D)－P(AB)－P(AC)－P(AD)－P(BC)－

P(BD)－P(CD)

＋P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)－P(ABCD)性質(zhì)4

如果可列個(gè)事件A1，A2，…，An…構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則有.證對(duì)于有限個(gè)事件構(gòu)成的完備事件組，有同樣的結(jié)果完備事件組的概率和等于1性質(zhì)1

P（Φ）=0性質(zhì)2

互不相容事件和的概率等于概率的和性質(zhì)3

加法公式：P(A+B)＝P(A)＋P(B)－(AB)性質(zhì)4

完備事件組的概率和為1.推論1

A、B互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)推論2推論3

AB，則P（B-A）=P（B）-P（A）

互斥對(duì)立包含例解:設(shè)A1=“一等品”,A2=“二等品”,合格品率為廢品率為

一批產(chǎn)品分一等品,二等品和廢品,若一等品的概率為0.74,二等品的概率為0.21,求這批產(chǎn)品的合格品的概率與廢品的概率(即合格品率與廢品率).（A1與A2互斥）P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.74+0.21=0.95

例如圖所示的線路中,元件a發(fā)生故障的概率為0.08,元件b發(fā)生故障的概率為0.05,而元件a與b同時(shí)發(fā)生故障的概率為0.004,求線路中斷的概率.解:設(shè)A=“元件a發(fā)生故障”,B=“元件b發(fā)生故障”.則AB=“元件a與b同時(shí)發(fā)生故障”,A+B=“元件a與b至少一個(gè)發(fā)生故障”=“線路中斷”.∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.08+0.05-0.004=0.126ab例設(shè)某單位訂有甲乙丙三種報(bào)紙,據(jù)估計(jì),該單位職工中,有20%讀甲報(bào),16%讀乙報(bào),14%讀丙報(bào);其中8%兼讀甲乙報(bào),5%兼讀甲丙報(bào),4%兼讀乙丙報(bào);又有2%兼讀三種報(bào),求該單位職工至少讀一種報(bào)紙的概率.解:設(shè)A1=“讀甲報(bào)”,A2=“讀乙報(bào)”,A3=“讀丙報(bào)”,P(A1+A2+A3)=則A1A2=“兼讀甲乙報(bào)”,A1A3=“兼讀甲丙報(bào)”,A2A3=“兼讀乙丙報(bào)”,A1A2A3=“兼讀甲乙丙報(bào)”,P(A1)+P(A2)+P(A3)

-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.35AAB

例

假設(shè)A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15,求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率.(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率.(3)A與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率.BA-B=A-AB解:已知=0.4–0.15=0.25(3)事件“A和B至少有一個(gè)發(fā)生”的概率:注此題也可以先求(3),再利用P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求出P(B)=0.85-0.6＋0.1＝0.35從而P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.35-0.1=0.25(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率:已知或例(補(bǔ)充）有r個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同生日”的概率.

為求P(A),先求P()解：令A(yù)={至少有兩人同生日}={r個(gè)人的生日都不同}則

美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)別開生面的實(shí)驗(yàn):在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.

用上面的公式可以計(jì)算出22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.趣例r個(gè)人中至少有兩人同生日

這個(gè)概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁表所示：

人數(shù)至少有兩人同生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

當(dāng)人數(shù)超過23時(shí)，打賭說至少有兩人同生日是有利的.討論:(配對(duì)問題）n對(duì)夫妻參加假面舞會(huì)，男女帶不同的面具,男人從女人中找一個(gè)舞伴,問“至少有兩人恰為夫妻”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：比我們想像中的要小!設(shè)表示第個(gè)男人挑到自己的妻子共n個(gè)式子共個(gè)式子加法公式小結(jié)本節(jié)要重點(diǎn)掌握的是加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)A、B互斥時(shí)，有P(A+B)=P(A)+P(B)對(duì)任意事件A，公式有助于求較復(fù)雜事件的概率。當(dāng)AB時(shí)，P(B－A)＝P(B)－P(A)可用來求差的概率。長(zhǎng)江三峽之巫峽課間休息第四節(jié)條件概率

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念例如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，這個(gè)概率記作P(A|B)，稱為A對(duì)B的條件概率.

一般P(A|B)≠P(A)

而P(A)稱為無條件概率或原概率.例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，求P(A)和P(A|B)．?dāng)S骰子B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減的樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)P(A)

又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，求它是一等品的概率；如果已知取到的是正品，求它是一等品的概率。

B={取到正品}設(shè)A={取到一等品}，P(A|B)B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)

在縮減的樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

以上兩例中，計(jì)算P(A)是以整個(gè)樣本空間為考慮背景的．

而在計(jì)算P(A|B)時(shí)，大背景沒變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.

這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.

由此,我們得出求條件概率的第一種方法，即:根據(jù)事件的具體含義，在縮減了的樣本空間中計(jì)算.例

某種動(dòng)物活到10歲的概率為0.7，而活到12歲的概率為0.56.求現(xiàn)在年齡為10歲的這種動(dòng)物活到12歲的概率．解設(shè)A={活到10歲}，B={活到12歲}所求為P(B|A).下面我們給出求條件概率的公式定理1.1證：僅以古典概型的情況證明（1）式設(shè)試驗(yàn)E的基本事件總數(shù)為n，事件B包含m個(gè)基本事件，事件AB包含r個(gè)基本事件，

ABABrmn例

某種動(dòng)物活到10歲的概率為0.7，而活到12歲的概率為0.56.求現(xiàn)在年齡為10歲的這種動(dòng)物活到12歲的概率．解設(shè)A={活到10歲}，B={活到12歲}所求為P(B|A).1、無條件概率P(A)實(shí)際上也是一種特殊的條件概率，它的條件是Ω．即P(A)=P(A|Ω).注：２、條件概率具有無條件概率所具有的所有性質(zhì).比如第三節(jié)學(xué)習(xí)的一些性質(zhì)：推論2推論1

當(dāng)A、B互斥時(shí)，1、無條件概率P(A)實(shí)際上也是一種特殊的條件概率，它的條件是Ω．即P(A)=P(A|Ω).注：２、條件概率具有無條件概率所具有的所有性質(zhì).①非負(fù)性：0≤P(A|B)≤1;②規(guī)范性：P(?|B)=1；③可列可加性：比如公理化定義中的三條公理：對(duì)于任意可列個(gè)互不相容事件A1，A2，…，An…，有再如第三節(jié)學(xué)習(xí)的一些性質(zhì)：推論2推論1

當(dāng)A、B互斥時(shí)，３、條件概率P(A|B)與無條件概率P(A)之間的大小關(guān)系一般地，P(A|B)和P(A)不相等。但到底誰大誰小呢？下面分情況討論。若P(AB)=0.38若P(AB)=0.20若P(AB)=0.10結(jié)論不確定，且無包含關(guān)系．設(shè)P(A)=0.4,P(B)=0.5,讓P(AB)取不同值二、乘法公式注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子例3

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)推廣到多個(gè)事件的乘法公式:例4(P22)

一批零件共100件，其中次品10件，每次任取一件，無放回地取三次，求“第一、二次取到次品，第三次取到正品”的概率.解設(shè)表示第一次取得廢品，表示第二次取得廢品，表示第三次取得正品，則所求概率為乘法公式應(yīng)用舉例

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球所求概率為P(W1W2R3R4)

解:設(shè)Wi={第i次取到白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取到紅球}，j=1,2,3,4b個(gè)白球,r個(gè)紅球求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

當(dāng)c>0時(shí)，每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W1W2R3R4)P(W2|W1)

P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)例5(P22)假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開火，則擊落乙機(jī)的概率為0.2，若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)亦未被擊落，再次進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.4，在這幾個(gè)回合中，分別計(jì)算甲、乙被擊落的概率。解甲0.2乙0.30.4已知甲0.2乙0.30.4已知一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場(chǎng)券5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒寫.將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！焙蟪榈拇_比先抽吃虧嗎？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下。

我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說，則表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒抽到.由于由乘法公式=(4/5)(1/4)=1/5即第二個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率也是1/5.

這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.

同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到.因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后.也就是說，

監(jiān)獄看守通知三個(gè)囚犯,在他們中要隨機(jī)地選出一個(gè)處決,而把另外兩個(gè)釋放.囚犯甲請(qǐng)求看守秘密地告訴他,另外兩個(gè)囚犯中誰將獲得自由.NO！因?yàn)槲乙呀?jīng)知道他們兩人中至少有一人要獲得自由，所以你泄露這點(diǎn)消息是無妨的.趣例如果你知道了你的同伙中誰將獲釋，那么，你自己被處決的概率就由1/3增加到1/2,因?yàn)槟憔统闪耸Ｏ碌膬蓚€(gè)囚犯中的一個(gè)了.

對(duì)于看守的上述理由,你是怎么想的?解：看守說得不對(duì).理由如下：

在這個(gè)問題里,在三個(gè)囚犯中要隨機(jī)地選出一個(gè)處決,而把另外兩個(gè)釋放，由于隨機(jī)性，每人被處決的概率是相同的。均為1/3,這是客觀存在的事實(shí)。不論看守泄露消息與否，囚犯甲被處決的概率不變?？词厮f的實(shí)際上是一個(gè)條件概率。

請(qǐng)回答.

條件概率:1.用定義計(jì)算2.在縮減后的樣本空間中計(jì)算計(jì)算方法：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2…An)=多個(gè)事件的乘法公式:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)…P(An|A1A2…An-1)

總結(jié)顯然P(A|B)=P(A)這就是說,事件B的發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率1、兩個(gè)事件的獨(dú)立性B={第一次擲出6點(diǎn)}，A={第二次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)(三)事件的獨(dú)立性則P(A)=P(A|B)=,這時(shí)稱事件A對(duì)事件B獨(dú)立.

定義1.5

如果事件B的發(fā)生，不影響事件A發(fā)生的概率，即

P(A|B)=P(A)則稱事件A對(duì)B獨(dú)立。

事件A對(duì)事件B獨(dú)立:

P(A|B)=P(A)事件B對(duì)事件A獨(dú)立:

P(B|A)=P(B)如果A對(duì)B獨(dú)立，那么反過來B對(duì)A是否也獨(dú)立呢？即B對(duì)A也獨(dú)立。因此，事件A與事件B是相互獨(dú)立的。P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)定理1.4

若兩事件A、B具有正概率，則A、B相互獨(dú)立的充要條件是

P(AB)=P(A)P(B)

當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)

刻劃獨(dú)立性，比用P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更方便。

在更多的教科書上,用P(AB)=P(A)P(B)定義獨(dú)立性.由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.例如甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記

A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否相互獨(dú)立.

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.

因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.例(補(bǔ)充)

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,說明事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2也可以通過計(jì)算條件概率去判斷:

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}P(A)=1/13P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B)說明事件A、B獨(dú)立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)故A與獨(dú)立.=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨(dú)立：推論若兩事件A、B獨(dú)立，則

也相互獨(dú)立.例2（P24）甲乙兩射手同時(shí)獨(dú)立地向某一目標(biāo)各射擊一次,命中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8,求下列事件的概率:(1)兩人同時(shí)命中;(2)甲中乙不中;(3)甲與乙恰有一人命中;(4)至少有一人命中.解設(shè)A=“甲命中目標(biāo)”,B=“乙命中目標(biāo)”則P(A)=0.9P(B)=0.8（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98甲中乙不中乙中甲不中甲乙都中甲乙都不中

一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經(jīng)驗(yàn)；“當(dāng)敵人向我們的陣地打炮時(shí)，你最好滾到新彈坑里藏身.因?yàn)槎虝r(shí)間內(nèi)不大可能有兩發(fā)炮彈落到同一個(gè)地點(diǎn)！”他說得對(duì)嗎？不對(duì)！

因?yàn)樗麤]有認(rèn)識(shí)到獨(dú)立事件的“獨(dú)立”性.一發(fā)炮彈落在什么地方，和另一發(fā)炮彈之間沒有關(guān)系，它們是相互獨(dú)立的.

條件概率:1.用定義式計(jì)算2.在縮減后的樣本空間中計(jì)算計(jì)算方法：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2…An)=多個(gè)事件的乘法公式:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)…P(An|A1A2…An-1)

復(fù)習(xí)兩個(gè)事件的獨(dú)立性：P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)

定義1.6如果n個(gè)事件A1、A2、…、An中的任一事件發(fā)生的概率，都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生的影響，那么就稱事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立.1、n個(gè)事件中任意兩個(gè)相互獨(dú)立,即兩兩獨(dú)立；二、n個(gè)事件的獨(dú)立性n個(gè)事件相互獨(dú)立≠n個(gè)事件兩兩獨(dú)立。定義1.6包含兩層涵義：2、n個(gè)事件中任意一個(gè)與其余事件中任意k個(gè)事件的積事件都相互獨(dú)立；

n個(gè)事件的獨(dú)立性的等價(jià)定義：

設(shè)A1,A2,…,An是

n個(gè)事件，如果對(duì)于其中的任意k(1<k

n)個(gè)不同事件,等式

都成立，則稱n個(gè)事件相互獨(dú)立.

即任意k個(gè)不同事件的乘積的概率等于其概率的乘積4個(gè)事件相互獨(dú)立：4個(gè)事件兩兩獨(dú)立：兩兩獨(dú)立是相互獨(dú)立的必要但不充分條件相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立定理1.5

三個(gè)事件A、B、C相互獨(dú)立的充要條件是

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立

多個(gè)事件相互獨(dú)立常由其具體意義來判斷。例3（P25）

一個(gè)袋內(nèi)裝有4個(gè)球，其中全紅全黑全白色的球各一個(gè)，另一個(gè)是涂有紅、黑、白三色的彩球，從中任取一球，記事件A、B、C分別表示取到的球上涂有紅色、黑色、白色，判斷三事件的獨(dú)立性..解:P(A)=P(B)=P(C)=1/2

P(AB)=1/4=P(A)P(B)所以，不能認(rèn)為這三事件相互獨(dú)立.

P(AC)