第6章 函數(shù)誤差與誤差合成

第6章

函數(shù)誤差與誤差合成作者：劉兆平部門：機電設備系主菜單結(jié)束6-1教學目標

本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了微小誤差的取舍、最佳測量方案的確定等問題。通過本章的學習，讀者應掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機誤差的計算以及誤差的合成和分配。主菜單結(jié)束2教學重點和難點函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)隨機誤差函數(shù)誤差分布的模擬計算隨機誤差的合成未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成誤差分配微小誤差取舍準則最佳測量方案的確定主菜單結(jié)束3第一節(jié)函數(shù)誤差主菜單結(jié)束6-4基本概念間接測量

函數(shù)誤差

間接測得的被測量誤差也應是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差

通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關系計算出被測量

主菜單結(jié)束5一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算主菜單結(jié)束6-6間接測量數(shù)學模型間接測量的數(shù)學模型

與被測量有函數(shù)關系的各個直接測量值及其其他非測量值，又稱輸入量

間接測量值，又稱輸出量

主菜單結(jié)束7函數(shù)系統(tǒng)誤差公式函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算公式為各個輸入量在該測量點處的誤差傳播系數(shù)和的量綱或單位相同，則起到誤差放大或縮小的作用和的量綱或單位不相同，則起到誤差單位換算的作用主菜單結(jié)束8幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差

1、線性函數(shù)2、三角函數(shù)形式

系統(tǒng)誤差公式當當函數(shù)為各測量值之和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和主菜單結(jié)束9【例6-1】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果。【解】建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型

不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測量值主菜單結(jié)束10車間工人測量弓高、弦長的系統(tǒng)誤差

直徑的系統(tǒng)誤差故修正后的測量結(jié)果

計算結(jié)果誤差傳播系數(shù)為主菜單結(jié)束11二、函數(shù)隨機誤差計算主菜單結(jié)束6-12數(shù)學模型

變量中有隨機誤差，即泰勒展開，并取其一階項作為近似值，可得函數(shù)的一般形式得到主菜單結(jié)束131、函數(shù)標準差計算

或第i個直接測得量的標準差第i個測量值和第j個測量值之間的相關系數(shù)第i個測量值和第j個測量值之間的協(xié)方差第i個直接測得量對間接量在該測量點處的誤差傳播系數(shù)主菜單結(jié)束14或相互獨立的函數(shù)標準差計算

若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關項令主菜單結(jié)束15函數(shù)的極限誤差公式

當各個測量值的隨機誤差都為正態(tài)分布時，標準差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式第i個直接測得量的極限誤差主菜單結(jié)束16三角形式的函數(shù)隨機誤差公式函數(shù)形式為函數(shù)隨機誤差公式為主菜單結(jié)束17【例6-2】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長。已知車間工人測量該工件弓高的標準差，弦長的標準差，試求測量該工件直徑的標準差，并求修正后的測量結(jié)果。【解】有故修正后的測量結(jié)果

主菜單結(jié)束182、相關系數(shù)估計主菜單結(jié)束6-19相關系數(shù)對函數(shù)誤差的影響

反映了各隨機誤差分量相互間的線性關聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響函數(shù)標準差與各隨機誤差分量標準差之間具有線性的傳播關系函數(shù)隨機誤差公式當相關系數(shù)當相關系數(shù)主菜單結(jié)束20相關系數(shù)的確定－直接判斷法可判斷的情形斷定與兩分量之間沒有相互依賴關系的影響當一個分量依次增大時，引起另一個分量呈正負交替變化，反之亦然與屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量與雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計的弱相關主菜單結(jié)束21相關系數(shù)的確定－直接判斷法可判斷或的情形斷定與兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關系或負的線性關系當一個分量依次增大時，引起另一個分量依次增大或減小，反之亦然與屬于同一體系的分量，如用1m基準尺測2m尺，則各米分量間完全正相關主菜單結(jié)束22相關系數(shù)的統(tǒng)計計算公式根據(jù)的多組測量的對應值，按如下統(tǒng)計公式計算相關系數(shù)、分別為、的算術平均值主菜單結(jié)束233、函數(shù)誤差分布的模擬計算

隨機誤差的分布完整地描述了該誤差的全部特征分布密度函數(shù)

解析方法難以求得計算機數(shù)值仿真計算

主菜單結(jié)束24計算機隨機模擬法的步驟

①輸入各輸入量及其算術平均值和標準偏差②產(chǎn)生如正態(tài)分布或均勻分布等所需誤差分布等大樣本數(shù)的偽隨機數(shù)，并繪制描述各輸入直接量誤差分布的統(tǒng)計直方圖③按函數(shù)測量模型公式計算該樣本數(shù)的間接量，并繪制該函數(shù)誤差分布的統(tǒng)計直方圖；④統(tǒng)計并輸出該間接量的最佳估計值、標準差與及誤差分布區(qū)間半寬度。主菜單結(jié)束25計算機模擬測量系統(tǒng)主菜單結(jié)束26【例6-3】用相同標稱長度50mm的標準塊規(guī)校準某塊規(guī)，通過兩塊規(guī)長度的直接比較，輸出兩者的長度差有如下公式假設各個量之間的相關系數(shù)均為0。試用仿真計算的方法分析該校準的誤差分布及其標準差?！窘狻抗视兄鞑藛谓Y(jié)束27輸入量的誤差性質(zhì)輸入量名稱分布標準差數(shù)值受校塊規(guī)長度值在20oC時的校準長度兩塊規(guī)長度差值在20oC時的長度標準塊規(guī)的熱膨脹系數(shù)試驗座溫度偏離標準溫度兩塊規(guī)的熱膨脹系數(shù)

兩塊規(guī)間溫度差

00正態(tài)正態(tài)均勻均勻均勻反正弦主菜單結(jié)束28六個輸入量分布均值均值均值均值均值均值主菜單結(jié)束29輸出量分布

均值直方圖主菜單結(jié)束30第二節(jié)隨機誤差的合成

任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎上，正確地表述這些誤差的綜合影響。

標準差合成極限誤差合成解決隨機誤差的合成問題一般基于標準差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個誤差之間的相關性影響主菜單結(jié)束31一、標準差合成合成標準差

q個單項隨機誤差，標準差

誤差傳播系數(shù)

由間接測量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實際經(jīng)驗給出知道影響測量結(jié)果的誤差因素而不知道每個和主菜單結(jié)束32合成標準差的特殊情形各個誤差互不相關，相關系數(shù)合成標準差

用標準差合成有明顯的優(yōu)點，不僅簡單方便，而且無論各單項隨機誤差的概率分布如何，只要給出各個標準差，均可計算出總的標準差當誤差傳播系數(shù)、且各相關系數(shù)均可視為0的情形

視各個誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量主菜單結(jié)束33二、極限誤差合成

單項極限誤差

單項隨機誤差的標準差單項極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差合成標準差合成極限誤差的置信系數(shù)主菜單結(jié)束34合成極限誤差計算公式根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成各個置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關，而且與隨機誤差的分布有關對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)也不相同主菜單結(jié)束35合成極限誤差特殊情形當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差的數(shù)目q較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成的總誤差接近于正態(tài)分布，此時合成極限誤差若和各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關或近似線性無關，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式主菜單結(jié)束36第三節(jié)未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成主菜單結(jié)束6-37一、未定系統(tǒng)誤差的合成

對已定系統(tǒng)誤差，在處理測量結(jié)果時應先修正而不宜合成對未定系統(tǒng)誤差，估計出其可能范圍，視為隨機誤差進行合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便主菜單結(jié)束38二、未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，影響測量過程的總誤差只要考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成?？傉`差可用極限誤差來表示，也可用標準差來表示按標準差合成按極限誤差合成主菜單結(jié)束39按標準差合成測量過程中q個單項隨機誤差的標準差個單項未定系統(tǒng)誤差的標準差設各個誤差傳播系數(shù)均為1，則總的測量標準差為R為各個誤差間協(xié)方差之和當各個誤差之間互不相關主菜單結(jié)束40n次重復測量情形

單次測量最后結(jié)果的總標準差n次重復測量測量結(jié)果平均值的標準差公式主菜單結(jié)束41按極限誤差合成測量過程中q個單項隨機誤差的極限誤差個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差設各個誤差傳播系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的極限誤差為R為各個誤差間協(xié)方差之和當各個誤差之間互不相關主菜單結(jié)束42n次重復測量情形

單次測量最后結(jié)果的總誤差n次重復測量總極限誤差在單次測量的總誤差合成中，不需嚴格區(qū)分各個單項誤差為未定系統(tǒng)誤差或隨機誤差在多次重復測量中的總誤差合成中，則必須嚴格區(qū)分各個單項誤差的性質(zhì)主菜單結(jié)束43【例6-4】在萬能工具顯微鏡上用影像法測量某一平面工件的長度共兩次，測得結(jié)果分別為，，已知工件的和高度為。根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測量過程中主要的誤差見表。求測量結(jié)果及其極限誤差主菜單結(jié)束44【例6-4】測量過程中主要的誤差序號123456誤差因素極限誤差隨機誤差未定系統(tǒng)誤差備注阿貝誤差光學刻尺刻度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差瞄準誤差光學刻尺檢定誤差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正時計入總誤差修正時計入總誤差主菜單結(jié)束45【例6-4】的測量結(jié)果【解】兩次測量結(jié)果的平均值為根據(jù)萬能工具顯光學刻線尺的刻度誤差表，查得在范圍內(nèi)的誤差，此項誤差為已定系統(tǒng)誤差，應予修正則測量結(jié)果主菜單結(jié)束46【例6-4】的極限誤差計算結(jié)果設各誤差都服從正態(tài)分布且互不相關，則測量結(jié)果（兩次測量的平均值）的極限誤差為當未修正光學刻尺刻度誤差時測量結(jié)果可表示為當已修正光學刻尺刻度誤差時

主菜單結(jié)束47【例6-5】用TC328B型天平，配用三等標準砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量，求測量結(jié)果的標準差主菜單結(jié)束48【例6-5】中的主要誤差分析(1)隨機誤差

天平示值變動性所引起的誤差為隨機誤差。多次重復稱量同一球的質(zhì)量的天平標準差為

(2)未定系統(tǒng)誤差

標準砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標準差），故這兩項誤差均屬未定系統(tǒng)誤差

①砝碼誤差

天平稱量時所用的標準砝碼有三個即的一個，的兩個，標準差分別為故三個砝碼組合使用時，質(zhì)量的標準差為

②天平示值誤差該項標準差為主菜單結(jié)束49【例6-5】測量結(jié)果的標準差三項誤差互不相關，且各個誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測量結(jié)果的總標準差為

最后測量結(jié)果應表示為（１倍標準差）

主菜單結(jié)束50第四節(jié)

誤差分配主菜單結(jié)束6-51基本思想

誤差分配

給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個單項誤差。在誤差分配時，隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。假設各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，有給定，如何確定，滿足主菜單結(jié)束52一、按等影響原則分配誤差

等影響原則

各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即可得到極限誤差表示

函數(shù)的總極限誤差各單項誤差的極限誤差主菜單結(jié)束53二、按可能性調(diào)整誤差

(1)對各分項誤差平均分配的結(jié)果，會造成對部分測量誤差的需求實現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達到。這樣，勢必需要用昂貴的高準確度等級的儀器，或者以增加測量次數(shù)及測量成本為代價。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎上，根據(jù)具體情況進行適當調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。主菜單結(jié)束54三、驗算調(diào)整后的總誤差

誤差按等影響原理確定后，應按照誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。主菜單結(jié)束55【例6-6】【解】測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑及高度，根據(jù)函數(shù)式求得體積，若要求測量體積的相對誤差為1％，已知直徑和高度的公稱值分別為，試確定直徑及高度的準確度。計算體積

體積的絕對誤差

主菜單結(jié)束56按等影響分配原則分配誤差，得到測量直徑與高度的極限誤差【例6-6】極限誤差計算結(jié)果57用這兩種量具測量的體積極限誤差為

因為【例6-6】理論極限誤差查資料，可用分度值為0.1mm的游標卡尺測高，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標卡尺測直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為。主菜單結(jié)束58調(diào)整后的實際測量極限誤差為因為因此調(diào)整后用一把游標卡尺測量直徑和高度即能保證測量準確度。

顯然采用的量具準確度偏高，選得不合理，應作適當調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為。此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。調(diào)整后的測量極限誤差主菜單結(jié)束59第五節(jié)

微小誤差取舍準則主菜單結(jié)束6-60基本概念

微小誤差

測量過程包含有多種誤差時，當某個誤差對測量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計的誤差測量結(jié)果的標準差將其中的部分誤差取出后，則得

若有

則稱為微小誤差

主菜單結(jié)束61測量誤差的有效數(shù)字取一位

某項部分誤差舍去后，滿足或則對測量結(jié)果的誤差計算沒有影響。

測量誤差的有效數(shù)字取二位

或?qū)τ陔S機誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準則是被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果的十分之一到三分之一。對于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍?；救∩釡蕜t主菜單結(jié)束62第七節(jié)

最佳測量方案的確定主菜單結(jié)束6-63基本概念

最佳測量方案的確定當測量結(jié)果與多個測量因素有關時，采用什么方法確定各個因素，才能使測量結(jié)果的誤差最小。函數(shù)的標準差

欲使為最小，可從哪幾方面來考慮？

主菜單結(jié)束64一、選擇最佳函