第6章 符號運算

第6章符號運算科學計算可分為兩類：一類是純數(shù)值的計算，例如求函數(shù)的值，以及方程的數(shù)值解等等；另一類計算是符號運算，又稱代數(shù)運算，這是一種智能化的計算，處理的是符號。符號可以代表整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復數(shù)，也可以代表多項式、函數(shù)，還可以代表數(shù)學結(jié)構(gòu)，如集合、群的表示等等。我們在數(shù)學的教學和研究中進行的數(shù)學運算多為符號運算。MATLAB中的符號數(shù)學工具箱（SymbolicMathToolbox）集成了豐富的符號運算功能?；镜姆枖?shù)學工具箱包含100多個MATLAB函數(shù)，包括的內(nèi)容有：微積分、線性代數(shù)、化簡代數(shù)表達式、方程求解、特殊的數(shù)學函數(shù)、變量精度算法和數(shù)學變換等等?！緦W習目標】掌握對符號變量的定義和基本操作。掌握對符號表達式的定義和基本操作。掌握符號矩陣的生成和運算方法。了解符號微分、符號積分運算方法。掌握符號方程的求解方法。6.1符號變量、符號表達式和符號方程的生成符號數(shù)學工具箱定義了MATLAB的一個新的數(shù)據(jù)類型：符號對象（symbolicobject），其類型名標識為“sym”。符號對象內(nèi)部的儲存內(nèi)容是字符串，用來表示符號變量、符號表達式以及矩陣等等。生成符號變量和符號表達式的函數(shù)是sym和syms。6.1.1使用sym函數(shù)生成符號變量和符號表達式sym函數(shù)可以生成單個的符號數(shù)值、符號變量和符號表達式。格式為：S=sym(x)它生成了一個符號對象S。x可以是字符、字符串、表達式或字符表達式等等。如果x是一個數(shù)值，則得到該數(shù)值的符號表示。如果x是一個字符串，則可生成一個符號變量或符號表達式。例如，>>sqrt(2)ans=1.4142>>aa=sqrt(sym(2))ans=2^(1/2)sqrt(2)是對數(shù)值2進行開方運算；而在式aa=sqrt(sym(2))中，將2用sym命令轉(zhuǎn)化為符號對象，這樣，就得到了使用字符串形式表示的“根號2”。可使用double命令獲取符號對象aa對應(yīng)的數(shù)值運算結(jié)果。>>double(aa)ans=1.4142如果表達式里面的元素都定義為符號對象，則表達式之間還可以按代數(shù)規(guī)則進行運算。比如：>>sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)ans=11/15【例6-1】使用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量和符號表達式。分別輸入以下語句：x=sym('x')y=sym('hello')z=sym('(1+sqrt(5))/2')f=sym('a*x^2+b*x+c')f-a返回結(jié)果依次為：x=xy=helloz=(1+sqrt(5))/2f=a*x^2+b*x+c???Undefinedfunctionorvariable'a'.本例中，雖然符號表達式a*x^2+b*x+c創(chuàng)建成功并將其賦予變量f，但并沒有定義符號變量a，因此系統(tǒng)不能進行f-a運算，給出了錯誤信息。6.1.2使用syms函數(shù)定義符號變量和符號表達式syms函數(shù)可以一次創(chuàng)建多個符號變量，調(diào)用格式為：symsvar1,var2,var3...

，變量名之間的間隔也可以是空格?！纠?-2】使用syms函數(shù)定義符號變量和符號表達式。輸入以下語句：symsabcxf=a*x^2+b*x+cf-a返回結(jié)果為：f=a*x^2+b*x+cans=a*x^2+b*x+c-a與例6-1相比，本例中f-a運算成功。6.1.3符號方程的生成方程與函數(shù)的區(qū)別在于函數(shù)是由數(shù)字和變量組成的代數(shù)式，而方程則是包含了函數(shù)的等式，在MATLAB中，生成符號方程的方法與使用sym函數(shù)生成符號表達式類似。【例6-3】用sym生成符號方程：

a*x^2+b*x+c=0。>>e1=sym('a*x^2+b*x+c=0')結(jié)果為：

e1=a*x^2+b*x+c=06.3符號表達式的基本操作用戶可以對符號表達式進行各種操作，包括四則運算、合并同類項、多項式分解和簡化等。6.3.1四則運算符號表達式也與通常的算術(shù)表達式一樣，可以進行加、減、乘、除等四則運算?！纠?-7】符號表達式的四則運算輸入以下語句：symsxyabfun1=sin(x)+cos(y)fun2=a+bfun3=fun1*fun2轉(zhuǎn)換結(jié)果為：fun1=sin(x)+cos(y)fun2=a+bfun3=(sin(x)+cos(y))*(a+b)6.3.2符號多項式的因式分解與展開MATLAB提供了對符號多項式進行因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(S)：對符號多項式S分解因式。expand(S)：對符號多項式S進行展開。collect(S)：對符號多項式S按照默認變量x合并同類項。collect(S,v)：對符號多項式S按變量v合并同類項。horner(f)：將一般的符號多項式f轉(zhuǎn)換成嵌套形式?！纠?-8】對表達式f=a^3-1進行因式分解。輸入：f=sym('a^3-1');factor(f)結(jié)果為：ans=(a-1)*(a^2+a+1)如果用syms命令如何定義函數(shù)?【例6-9】展開表達式f=(x+1)^5和f=sin(x-y)輸入：>>symsxy>>f=(x+1)^5;>>expand(f)返回結(jié)果為：ans=x^5+5*x^4+10*x^3+10*x^2+5*x+1>>f=sin(x-y);>>expand(f)返回結(jié)果為：ans=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)【例6-10】符號多項式的同類項合并。(自學)輸入：f=sym('(exp(x)+x)*(x+2)*(y+1)');c1=collect(f)c2=collect(f,y)c3=collect(f,exp(x))返回結(jié)果為：c1=(y+1)*x^2+(exp(x)+2)*(y+1)*x+2*exp(x)*(y+1)c2=(exp(x)+x)*(x+2)*y+(exp(x)+x)*(x+2)c3=(x+2)*(y+1)*exp(x)+x*(x+2)*(y+1)我們分別按不同的變量進行同類項合并，得到了不同的結(jié)果。6.3.3提取有理式的分子和分母(自學)如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達式S中的分子和分母。其一般調(diào)用格式為：[n,d]=numden(S)該函數(shù)提取符號表達式S的分子（numerator）和分母（denominator），分別將它們存放在n與d中。【例6-12】求有理式f=x/y+y/x分子和分母。輸入：symsxyf=x/y+y/x;[n,d]=numden(f)返回結(jié)果為：n=x^2+y^2d=y*x6.3.4符號表達式的化簡在MATLAB中，使用simplify函數(shù)和simple函數(shù)對符號表達式進行化簡。下面對它們進行分別介紹。1.simplify函數(shù)simplify函數(shù)利用Maple的化簡規(guī)則對符號表達式進行化簡。其中用到大量的代數(shù)恒等式以及大量的函數(shù)恒等式，包括求和、整數(shù)冪、開方、分數(shù)冪、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、超幾何分布函數(shù)、伽馬函數(shù)等等，力求得到最簡結(jié)果?！纠?-13】用simplify函數(shù)化簡符號表達式。輸入：f=sym('sin(x)^2+cos(x)^2');S=sym('exp(c*log(sqrt(a+b)))');simplify(f)simplify(S)返回結(jié)果為：ans=1ans=(a+b)^(1/2*c)2.simple函數(shù)的使用simple(f)也是一種化簡的函數(shù)，它嘗試用多種不同的化簡算法對符號表達式進行化簡，以找到對應(yīng)的最簡形式，其格式如下：[r,how]=simple(f)返回的r為化簡后的符號表達式，how為所采用的簡化方法。如果不指定輸出項r和how，則會輸出嘗試的所有化簡方法名稱及對應(yīng)的化簡結(jié)果。【例6-14】用simple(f)函數(shù)化簡符號表達式14*x^2/(22*x*y)輸入：S=sym('14*x^2/(22*x*y)');[r,how]=simple(S)返回結(jié)果為：r=7/11*x/yhow=simplify6.4符號矩陣的生成和運算6.4.1符號矩陣的生成在MATLAB中，符號矩陣的生成與數(shù)值矩陣的相關(guān)操作很相似。創(chuàng)建符號矩陣的方法有以下幾種：用sym命令直接創(chuàng)建符號矩陣；用類似創(chuàng)建普通數(shù)值矩陣的方法創(chuàng)建符號矩陣；由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣。符號矩陣的輸出格式與數(shù)值矩陣有所不同，其每一行用“[]”標記。1.用sym命令直接創(chuàng)建符號矩陣這時sym命令的使用方法與前面創(chuàng)建符號表達式及方程的用法類似。所創(chuàng)建的符號矩陣的元素可以是任何符號對象，且元素的長度允許不同。在輸入格式上，矩陣行之間以“；”分割，各矩陣元素之間用“，”或空格分隔?！纠?-18】用sym函數(shù)創(chuàng)建符號矩陣。>>A=sym('[a,b;c,d]')A=[a,b][c,d]>>B=sym(‘[x+3*x,5*z+6*z;y-y,z/z]’)B=[x+3*x,5*z+6*z][y-y,z/z]2.以數(shù)值矩陣生成方法創(chuàng)建符號矩陣用這種方法創(chuàng)建符號矩陣之前，需要預(yù)先定義所有需要的符號變量?！纠?-19】用生成數(shù)值矩陣的方法創(chuàng)建符號矩陣>>symsxyz>>B=[x+3*x,5*z+6*z;y-y,z/z]B=[4*x,11*z][0,1]3.由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣由于數(shù)值型對象和符號型對象分屬于兩個不同的數(shù)據(jù)類型，它們之間不能直接運算，但卻可以相互轉(zhuǎn)換。將數(shù)值對象M轉(zhuǎn)化為符號對象S時，可以應(yīng)用sym函數(shù)，格式為：S=sym(M)【例6-20】使用sym函數(shù)將3階Hilbert矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣。>>h=hilb(3)h=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>h1=sym(h)h1=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]>>S=rand(2)S=0.81470.12700.90580.9134>>S1=sym(S)S1=[7338378580900475*2^(-53),4575182228323196*2^(-55)][8158648460577917*2^(-53),8226958330713791*2^(-53)]從本例可以看出，不管原來數(shù)值矩陣M是以分數(shù)還是浮點數(shù)形式賦值的，但當它被轉(zhuǎn)化為符號矩陣后，都將以最接近原數(shù)的精確有理式給出。6.4.2符號矩陣的運算(自學）符號矩陣的運算方法與數(shù)值矩陣類似，我們將常見的運算類型概述如下（設(shè)A和B是已存在的兩個符號矩陣）：1.A+B、A-B符號陣列的加法與減法。若A與B為同型陣列時，A+B、A-B分別對對應(yīng)元素進行加減；若A與B中至少有一個為標量，則把標量擴大為與另外一個同型的陣列，再按對應(yīng)的元素進行加減。2.A*B，符號矩陣乘法。為線性代數(shù)中定義的矩陣乘法。按乘法定義要求必須有矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，或者至少有一個為標量時，方可進行乘法操作，否則將返回一出錯信息。3.A.*B，對應(yīng)元素相乘。A.*B為按參量A與B對應(yīng)的元素進行相乘。A與B必須為同型陣列，或至少有一個為標量。6.5符號微積分微積分是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，MATLAB的符號數(shù)學工具箱提供了許多關(guān)于微積分計算的功能。6.5.1符號極限limit函數(shù)用來求符號函數(shù)的極限。其格式如下：limit(F,x,a)計算符號表達式F在x→a條件下的極限；limit(F,a)計算符號表達式F中由默認自變量趨向于a條件下的極限；limit(F)計算符號表達式F在默認自變量趨向于0條件下的極限；limit(F,x,a,‘right’)和limit(F,x,a,’left’)計算符號表達式F在x→a條件下的右極限和左極限?！纠?-22】分別計算表達式,,分別輸入下列語句：symsxlimit(sin(x)/x)limit(1/x,x,0,'right')limit(1/x,x,0,'left')返回結(jié)果依次為：ans=1ans=infans=-inf6.5.2符號微分(自學)diff函數(shù)用來求符號微分，其格式如下：diff(S)，求符號表達式S對于默認自變量的微分；diff(S,‘v’)，求符號表達式S對于自變量v的微分；diff(S,n)，求符號表達式S對于默認自變量的n次微分；diff(S,‘v’,n)，求符號表達式S對自變量v的n次微分。【例6-23】符號表達式的微分運算。>>S1=sym('6*x^3-4*x^2+b*x-5');>>S2=sym('sin(a)');>>S3=sym('(1-t^3)/(1+t^4)');>>diff(S1)ans=18*x^2-8*x+b

>>diff(S1,2)

ans=36*x-8>>diff(S1,'b')ans=x>>diff(S2)ans=cos(a)>>diff(S3)ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3>>simplify(diff(S3))ans=t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^26.5.3符號積分(自學)int函數(shù)用來求解符號積分，其格式如下：int(S)，求符號表達式S對于默認自變量的不定積分；int(S,’v’)，求符號表達式S對于自變量v的不定積分；int(S,a,b)，求符號表達式S對于默認自變量從a到b的定積分；int(S,’v’,a,b)，求符號表達式S中自變量v計算從a到b的定積分。6.6符號積分變換(自學)在科學計算和各種工程實際中，常常要用到各種積分變換，比較常見的有Fourier變換、Laplace變換和z變換等。下面分別對他們進行介紹。6.7符號方程的求解6.7.1代數(shù)方程求解MATLAB的符號數(shù)學工具箱提供了solve函數(shù)對代數(shù)方程求解。其格式如下：g=solve(eq)，求解代數(shù)方程eq=0，自變量為默認自變量；g=solve(eq,var)，求解代數(shù)方程eq=0，自變量為var；g=solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn))，求解符號表達式eq1,eq2,…eqn組成的代數(shù)方程組，自變量分別為var1,var2,…varn。方程組的解將存入結(jié)構(gòu)變量g。【例6-31】求一元二次方程a*x^2+b*x+c=0的根．>>f=sym('a*x^2+b*x+c');>>solve(f)%以x為自變量，求解方程f=0ans=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))>>solve(f,a)%以a為自變量，求解方程f=0ans=-(b*x+c)/x^2【例6-32】求解由方程x^2-y^2+z=10,x+y-5z=0,2x-4y+z=0構(gòu)成的線性方程組。依次輸入以下語句：sym