2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理（一）學(xué)案1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE2.1。1合情推理（一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1。了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。2。了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.1.推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷，這種思維方式就是推理。推理一般由兩部分組成：前提和結(jié)論.2。合情推理前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理.3。歸納推理根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）.4。歸納推理具有如下的特點(diǎn)（1)歸納推理是從特殊到一般的推理；（2)由歸納推理得到的結(jié)論不一定正確；（3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.[情境導(dǎo)學(xué)］佛教《百喻經(jīng)》中有這樣一則故事.從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買(mǎi)，并告訴他：“要甜的，好吃的，你才買(mǎi)。”仆人拿好錢(qián)就去了.到了果園，園主說(shuō):“我這里樹(shù)上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的，你嘗一個(gè)看."仆人說(shuō):“我嘗一個(gè)怎能知道全體呢？我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過(guò)，嘗一個(gè)買(mǎi)一個(gè)，這樣最可靠."仆人于是自己動(dòng)手摘芒果,摘一個(gè)嘗一口，甜的就都買(mǎi)回去。帶回家去,富翁見(jiàn)了,覺(jué)得非常惡心,一齊都扔了.想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎？換作你，你會(huì)怎么做?學(xué)習(xí)了下面的知識(shí)，你將清楚是何道理.探究點(diǎn)一歸納推理的定義思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問(wèn)題：看到天空烏云密布,燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，我們會(huì)得出一個(gè)判斷——天要下雨了;張三今天沒(méi)來(lái)上課，我們會(huì)推斷-—張三生病了；諺語(yǔ)說(shuō)：“八月十五云遮月,來(lái)年正月十五雪打燈"等，像上面的思維方式就是推理，請(qǐng)問(wèn)你認(rèn)為什么是推理？答根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程就叫做推理.思考2觀察下面兩個(gè)推理,回答后面的兩個(gè)問(wèn)題：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1000＝29＋9711002＝139＋863……猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電.問(wèn)題：①以上兩個(gè)推理在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？②其結(jié)論一定正確嗎？答①共同特點(diǎn)：部分推出整體,個(gè)別推出一般。（這種推理稱(chēng)為歸納推理)②其結(jié)論不一定正確.探究點(diǎn)二歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列{an｝的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f（an，1＋an）（n＝1，2，3，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí),a2＝eq\f（1，1＋1）＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f(1，2)，1＋\f(1，2)）＝eq\f（1，3)；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f(\f（1，3），1＋\f(1，3））＝eq\f（1，4）。通過(guò)觀察可得：數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f(1，n).反思與感悟歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)。歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛，我們可以從數(shù)列的前幾項(xiàng)找出數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式或探求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3,…）(1)求a2，a3，a4，a5；（2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解（1）當(dāng)n＝1時(shí)，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3,a3＝7，a4＝15,a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1,a5＝31＝25－1,可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N＋）.例2在法國(guó)巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3，4,…堆最底層（第一層)分別按圖所示方式固定擺放,從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球,以f(n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）＝______；f（n)＝______(答案用含n的代數(shù)式表示)。答案10eq\f(nn＋1n＋2，6)解析觀察圖形可知：f(1）＝1，f(2）＝4，f（3)＝10，f（4）＝20，…，故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)＝f（1)＋3;f(3）＝f（2)＋6；f（4）＝f(3）＋10；…；f（n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1，2）。將以上(n－1）個(gè)式子相加可得f(n)＝f（1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1，2）＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋（1＋2＋3＋…＋n）]＝eq\f(1，2)［eq\f(1，6)n(n＋1)（2n＋1）＋eq\f(nn＋1,2）]＝eq\f（nn＋1n＋2，6）。反思與感悟解本例的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f（n）＝f（n－1）＋eq\f（nn＋1,2），然后用“疊加法”求通項(xiàng),而第一層的變化規(guī)律，結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前n項(xiàng)和的變化規(guī)律。跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)，凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn)，…由此猜想凸n（n≥4且n∈N＋)邊形有幾條對(duì)角線(xiàn)？解凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)，凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn),比凸五邊形多4條,……于是猜想凸n邊形比凸(n－1）邊形多（n－2)條對(duì)角線(xiàn)。因此凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f（1，2）n（n－3）(n≥4且n∈N＋)。1.已知eq\r（2＋\f（2,3））＝2eq\r（\f（2,3）),eq\r(3＋\f(3，8))＝3eq\r(\f(3,8)），eq\r（4＋\f（4,15））＝4eq\r(\f(4，15)），…,若eq\r（6＋\f（a，b)）＝6eq\r(\f（a,b)）(a、b均為實(shí)數(shù)）。請(qǐng)推測(cè)a＝______，b＝________.答案635解析由前面三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1,由此推測(cè)eq\r（6＋\f(a，b）)中，a＝6，b＝62－1＝35。2。將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.答案eq\f(n2－n＋6，2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即eq\f（n2－n，2）個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2）＋3個(gè)，即為eq\f(n2－n＋6，2).[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]歸納推理的一般步驟（1）對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；（2）從已知的