波動方程初值問題與行波法

第3章波動方程與行波法、降維法

§3.1一維波動方程

一.d’Alembert公式推導(dǎo)二.d’Alembert公式物理意義

三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域四.半無界弦自由振動問題

§4.2

三維波動方程柯西問題一.三維波動方程和球?qū)ΨQ解二.三維波動方程的Poisson公式和球?qū)ΨQ解行波法——d’Alembert公式

d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，最著名的有8卷巨著《數(shù)學(xué)手冊》、力學(xué)專著《動力學(xué)》、23卷的《文集》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個要點研究》中。一維波動方程定解問題無界弦自由振動*無界弦強迫振動半無界弦自由振動*半無界弦強迫振動三維波動方程定解問題二維波動方程的定解問題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動問題§3.1

一維波動方程初始位移，初始速度

的無界弦自由振動初值問題(Cauchy問題)一.d’Alembert公式推導(dǎo)我們可以求出方程的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么？同理可得：將兩式代入原方程,可得：連續(xù)積分兩次得其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有注：

是方程

的通解,它包含兩個任意函數(shù)。對無限長的自由振動,利用初始條件,則：兩端對

x

積分，可得：由此即得原定解問題的解:無限長弦自由振動的達(dá)朗貝爾(d’Alembert)公式.行波法小結(jié)(注：行波法僅適用于雙曲型方程)3.變量替換：1.波動方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：5.利用初始條件解F、G：例1：求解無界自由振動波動方程柯西問題：解：由達(dá)朗貝爾公式：例2：解定解問題:解:

例3：求解波動方程柯西問題解：由達(dá)朗貝爾公式：例4：求二階線性偏微分方程初值問題的解解:先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：或者

它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗證，經(jīng)過變換原方程化成它的通解為其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有把這個函數(shù)代入到條件

代入到得原問題的解為：

例5求二階線性偏微分方程的通解

解：特征方程為

積分曲線為：經(jīng)過變換原方程化成所以,令為原問題的通解，其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。二.d’Alembert公式物理意義1.考慮若的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時間t

的推移，的圖形以速度a向x軸正方向平行移動,故稱齊次波動方程形如的解為右行波。2,表示一個以速度a

向x軸負(fù)方向傳播的行波，且傳播過程中，波形也不變化。

稱為左行波。

G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)考慮：的物理意義,如圖給出的特例行波速度：弦拉的越緊,波傳播速度越快;密度越小,波傳播越快P9結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a

的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時：(1)只有初始位移時，代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0依賴區(qū)間三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)間為解的依賴區(qū)間。u(x,t)

僅僅依賴于內(nèi)的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時，解的值不變。它是過（x，t）點，斜率為的直線與x

軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。1.依賴區(qū)間該區(qū)域中任一點(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c,d]內(nèi)部，因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間[c,d]上的初始條件決定。該區(qū)域稱為區(qū)間[c

,d]的決定區(qū)域。在區(qū)間[c

,d]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。決定區(qū)域2.決定區(qū)域3.影響區(qū)域如果在初始時刻t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時間t后，擾動傳到的范圍為定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。影響區(qū)域影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間小結(jié)：特征線特征變換分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為的兩族直線：對一維波動方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動方程的特征線。波動沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。自變量變換4.行波法又叫特征線法注：容易看出,一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程的解。

這個常微分方程稱為波動方程的特征方程。

一維非齊次波動方程柯西問題的Kirchihoff公式.四.無界弦受迫振動問題例：解：我們先考慮情形，即端點固定的振動。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解五.半無界弦的自由振動問題為此，我們要作奇延拓(有時也作偶延拓)：

半無界問題的解為：當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)在

x=0

處有一個自由端，即：則需要作偶延拓。例當(dāng)當(dāng)§4.2

三維波動方程柯西問題的解

一.三維波動方程和球?qū)ΨQ解r球坐標(biāo)中的Laplace運算：所謂球?qū)ΨQ是指與無關(guān)，則波動方程可化簡為球?qū)ΨQ性：得到關(guān)于ru的一維波動方程的通解：即此為三維波動方程在球?qū)ΨQ情況下的解，其中F、G為任意二次可微函數(shù)，可由初始條件確定。將上面第二式兩邊對r積分得：即:將第一式的r換為(r+at),第二式的r換為(r-at)即可。的解：則：球面波第三章：復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一．名詞解釋：

1.依賴區(qū)間，決定區(qū)域和影響區(qū)域；

2.行波速度；

3.一維波動方程的特征變換，特征線；

4.球?qū)ΨQ性，降維法；二．簡述