知識(shí)講解-等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-基礎(chǔ)

等比數(shù)列及其前 n項(xiàng)和編稿：張希勇 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握等比數(shù)列的定義，理解等比中項(xiàng)的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)；2.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)和前 n項(xiàng)和公式及公式證明思路；會(huì)用它們靈活解決有關(guān)等比數(shù)列的問題；3.能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 .【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：an1q(q0).an要點(diǎn)詮釋：①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)q”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè)；③隱含條件：任一項(xiàng)an0且q0an0”是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要非充分條件；；“④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列。不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)an1q(nN*，q0).利用這種形式來判定，就便于操作了.an要點(diǎn)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a、G、b成等比數(shù)列，那么稱數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).其中Gab。要點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)a與b同號(hào)即ab0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)，且a與b有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng).當(dāng)a與b異號(hào)或有一個(gè)為零即ab0時(shí)，a與b沒有等比中項(xiàng)。②任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)a與bab確定時(shí)，等差中項(xiàng)c唯一.但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a2與b不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)a與b有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一。③當(dāng)ab0時(shí)，a、G、b成等比數(shù)列GbG2abGab。aG④G2ab是a、G、b成等比數(shù)列的必要不充分條件。要點(diǎn)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an a1qn1(n N*，a1q 0)推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義anq可得anan1q(n2)：an1a2a1qa1q21；a3

a2q

(a1

q)q

a1q2

a1q31；a4

a3q

(a1

2q)q

a1q3

a1q41；??an

an1q

a1qn1(n

2)當(dāng)n=1

時(shí)，上式也成立∴歸納得出：

an

a1

qn1

(n

N*，a1

q

0)（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義 an q可得：an1a2q，a1a3q，a2a4q，a3??anq，an1把以上n1個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得：anqn1，即ana1qn1(n2)a1又a1也符合上式∴ana1qn1(nN*，a1q0).(3)迭代法：anan1qan2q2a2qn2a1qn1∴ana1qn1(nN*，a1q0).要點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng) a1和公比q完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了.②通項(xiàng)公式中共涉及 a1、n、q、an四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程，便可求出第四個(gè)量 .等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣已知等比數(shù)列{an}中，第m項(xiàng)為am，公比為q，則：an amqnm證明：∵aaqn1，aaqm1n1m1ana1qn1qnm∴aqm1am1anamqnm由上可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公比來表示，通項(xiàng)公式an a1qn1(n N*，a1q 0)可以看成是m 1時(shí)的特殊情況。要點(diǎn)四、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式1等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式na1(q1)Sna(1qn)a1anq1(q1)1q1q推導(dǎo)過程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有a2a3anqa1a2an1a2a3anSna1q(1q)Sna1anq根據(jù)等比性質(zhì)，有a2an1Snana1∴當(dāng)q1時(shí)，Sna1anq或Sna1(1qn).1q1q（2）錯(cuò)位相減法等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和Saaaa，nn123n①當(dāng)q1時(shí)，aa，Sna1a2a3anna1；n1②當(dāng)q1時(shí)，由ana1qn1得：Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1qSaqaq2aq3aqn1aqnn11111(1q)Sna1nna1qa1anqa（11q）∴Sna1anq或Sna1(1qn).1q1qna1(q1)即Sna1(1qn)a1anq1)1q1q(q要點(diǎn)詮釋：①錯(cuò)位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法 .②在求等比數(shù)列前 n項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分 q 1和q 1.③當(dāng)q 1時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式，共涉及 a1、n、q、an、Sn五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量 .要點(diǎn)五、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列

{an}的公比為

q①若

m,n,p,q

N

，且

m

n

p q,則am

an

ap

aq，特別地，當(dāng)

m

n

2p

時(shí)am

an

ap

2.②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為

m的項(xiàng)

ak

,akm,ak2m,?組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為

qm.③若

{an}

，{bn}

是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則

a2n

、

a2n1

、

kan

（k

是常數(shù)且

k

0）、{

1}an

、{anm}(mN,m是常數(shù))、anbn、{an}也是等比數(shù)列；bn④連續(xù)k項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列.即S,S2kSk,S3kS2k，?成等比數(shù)列.k要點(diǎn)六、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列{an}中，ana1qn1a1qn，若設(shè)ca1,則：ancqnqq（1）當(dāng)q1時(shí)，anc，等比數(shù)列{a}是非零常數(shù)列。它的圖象是在直線yc上均勻排列的一群n孤立的點(diǎn).（2）當(dāng)q0且q時(shí)，等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式ancn1q是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線ya1qx（q0且q1）上的一些孤立的點(diǎn).q①當(dāng)q1且a10時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；②當(dāng)q1且a10時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；③當(dāng)0q1且a10時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；④當(dāng)0q1且a10時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。（3）當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列。要點(diǎn)詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列.【典型例題】類型一：等比數(shù)列的定義【高清課堂：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和381054典型例題例1】例1．設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，q1，令bnan1n1,2,，若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53,23,19,37,82中，則6q【答案】9【解析】由題知an有連續(xù)的四項(xiàng)在集合54,24,18,36,81中，則必有-54，-24為相隔兩項(xiàng)，又∵q1∴q2549，q324426q9【總結(jié)升華】此例中要注意等比數(shù)列項(xiàng)的特征，找到關(guān)鍵的兩項(xiàng)54,24，問題就可迎刃而解了.舉一反三：【變式】如果1,a,b,c,9成等比數(shù)列，那么（）A.b3,ac9B.b3,ac9C.b3,ac9D.b3,ac9【答案】B例2.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a12,an12an,n1,2,3,??，3an1【思路點(diǎn)撥】本題的變形中要有極強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)。證明：數(shù)列{11}是等比數(shù)列.an【解析】由an12an,得，1an1111.an1an12an22an∴111(11),又a12,112an12an3a13∴數(shù)列{11}是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列.an22【總結(jié)升華】證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，要緊扣定義，這里是采用了轉(zhuǎn)化與化歸的策略.舉一反三：【變式】已知數(shù)列{an}中a11,an2an130(n2).判斷數(shù)列{an1}【答案】{an1}

是等比數(shù)列，并說明理由是等比數(shù)列∵a11,an2an130(n2).∴an12(an11)，∴數(shù)列{an1}是首項(xiàng)為2，公比為-2的等比數(shù)列類型二：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例3．已知等比數(shù)列{a}，若a1a2a37，aaa8，求a.n123n【思路點(diǎn)撥】等比數(shù)列的計(jì)算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，使計(jì)算簡捷?！窘馕觥縜n2n1或an23n；法一：∵a1a3a22，∴a1a2a3a238，∴a22a1a351，a34或a14，a31從而a1a34,解之得a1當(dāng)a11時(shí)，q2；當(dāng)a14時(shí)，q1。2故an2n1或an23n。法二：由等比數(shù)列的定義知a2a1q，a3a1q2代入已知得a1a1qa1q27a1a1qa1q28a1(1qq2)7,a1(1qq2)7,(1)a13q38a1q2(2)將a12代入（1）得2q25q20，q解得q2或q12a1a14由（2）得11，以下同方法一q2或q2【總結(jié)升華】①列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；②解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】{an}為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6?！敬鸢浮俊?6法一：設(shè)公比為88，∴q=±2，∴a6=±96；q，則768=a1q，q=256法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【變式2】{an}為等比數(shù)列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4；∵a1a89a45216，又an＞0，∴a45=4∴a44a45a46a45364。類型三：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例4．求等比數(shù)列1,1,1,的前6項(xiàng)和。364；39【答案】2431【解析】∵a1，q，n61316113316∴S6364121243133【總結(jié)升華】等比數(shù)列中a1,n,q,Sn,an中的“知三求二”主要還是運(yùn)用方程的思想解決.舉一反三：【變式1】（2015安徽卷）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4＝9，a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________．【答案】a1a1q39①a12q38②由②式得q3 8代入①式a12得a1＝1，q＝2∴Sn12n2n112【變式2】在等比數(shù)列{an}中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q?！敬鸢浮縬1或2，n6；2∵a2an1a1an，∴a1an128解方程組a1an128a164a12，得或a1 an 66 an 2 an 64①將a164代入Sna1anq1an21，得q，q2由ana1qn1，解得n6；②將a12代入Sna1anq，得q2，an641q由ana1qn1，解得n6?！鄎1?；?，n62【變式3】（2016新課標(biāo)Ⅰ文）已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=1，anbn1bn1nbn.3（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{bn}的前n項(xiàng)和.【答案】（1）由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b21，得a1=2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)3列，通項(xiàng)公式為an=3n－1。bn（2）由（1）和anbn+1+bn+1=nbn得bn13

，因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為 1，公比為1的等比數(shù)列。記 {bn}的前31(1)n31n項(xiàng)和為Sn，則S3。n1223n113類型四：靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)例5.在8和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為________。32【答案】216；【思路點(diǎn)撥】等比數(shù)列的計(jì)算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，如果不宜用性質(zhì)，則回歸為基本量a1、q的問題，列出a1、q的方程組?！窘馕觥糠ㄒ唬涸O(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{an}，其公比為q，∵a18，a527a1q48q4，∴q481，q2932316433∴a2a3a4a1qa1q2a1q3a13q68963216。34法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{an}，公比為q，則a18，a527，32加入的三項(xiàng)分別為a2，a3，a4，由題意a，a，a也成等比數(shù)列，∴a3282736，故a6，135323∴a2a3a4a32a3a33216【總結(jié)升華】法一注重了等比數(shù)列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中項(xiàng)的特征.舉一反三：【變式1】等比數(shù)列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2...log3a10.【答案】10∵{an}是等比數(shù)列，∴a1a10a2a9a3a8a4a7a5a69∴l(xiāng)og3a1log3a2log3alog(aaaa)log(aa)5log9510103123103563【變式2】若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為（）（A）2（B）4（C）8（D）16【答案】B類型五：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例6．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【思路點(diǎn)撥】等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，??，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。【答案】130；【解析】2法一：S10，S20-S10，S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S20-S10)=S10·(S30-S20)即302=10(S30-40),∴S30=130.法二：∵2S10≠S20，∴q1,∵Sa1(1q10)10,S20a1(1q20)40,101q1q∴1q101,∴q103,∴a1q51q2041∴S30a(1q30)(5)(133)130.1q1【總結(jié)升華】性質(zhì)的應(yīng)用有些時(shí)候會(huì)更方便快捷 .舉一反三：【變式1】等比數(shù)列{an}中，公比 q=2,S4=1,則S8=___________.【答案】17；44444444S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q+a2q+a3q+a4q=S4+q(a1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1+q)=1×(1+2)=17【變式2】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn48，S2n60，求S3n?！敬鸢浮?3【變式3】等比數(shù)列{an}中，若a1+a2=324,a3+a4=36,則a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比數(shù)列，∴b3=b22362=4,即a5+a6=4.=324b1【變式4】等比數(shù)列{an}123456789的值。中，若a+a+a=7,a+a+a=56,求a+a+a【答案】448；3{an}是等比數(shù)列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q,∴q=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例7．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè)數(shù).【思路點(diǎn)撥】恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提【解析】法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為

.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式a-d,a,a+d.

.則a-d,a,a+d+32成等比數(shù)列，a-d,a-4,a+d成等比數(shù)列.a2(ad)(ad32)..........(1)∴4)2(a(ad)(ad)..........(2)由(2)得a=d216...........(3)8由(1)得32a=d2+32d..........(4)(3)代(4)消a，解得d8或d=8.8263∴當(dāng)d；當(dāng)d=8時(shí),a=10時(shí),a93∴原來三個(gè)數(shù)為2,26,338或2,10,50.999法二：設(shè)原來三個(gè)數(shù)為a,aq,aq2，則a,aq,aq2-32成等差數(shù)列，a,aq-4,aq2-32成等比數(shù)列2aqaaq232........(1)∴4)2a(aq2(aq32)......(2)2由(2)得aq 4

，代入(1)解得q=5或q=132當(dāng)q=5時(shí)a=2；當(dāng)q=13時(shí)a.9∴原來三個(gè)數(shù)為2，10，50或2，26,338.999【總結(jié)升華】選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為x，x,xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來解y決問題反而簡便。舉一反三：【變式 1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上 4，，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上 32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列 .【答案】為 2，6，18或2, 10,50；9 9 9【變式2】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù).【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；設(shè)四個(gè)數(shù)分別是x,y,12-y,16-x2yx12y.......(1)∴y)2y(16x).......(2)(12由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,∴4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,∴y=4或9，x=0或15，∴四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.【高清課堂：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和381054典型例題例2】【變式3】已知a是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a22(