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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i2.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米3.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i4.曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.15.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③7.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.38.已知x,y滿足不等式,且目標函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]9.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.10.若,則()A. B. C. D.11.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.12.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則________,________.14.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則15.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.16.已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當時,求證:.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當時,的最大值為,求證:.19.(12分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,判斷直線為參數(shù))與圓的位置關(guān)系.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.22.(10分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為2、B【解析】
由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.3、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當且僅當?shù)忍柍闪?,所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值,考查計算能力.5、B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.6、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因為,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運算能力,是一道容易題.8、B【解析】
作出可行域,對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.9、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點,確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,,當且僅當時等號成立,即時取得最小值.故選:A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉(zhuǎn)化與變形,基本計算能力,屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意二項分布的靈活運用.12、D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】,故.故答案為:;.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式,屬于簡單題.14、-5【解析】
畫出x,y滿足的可行域,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時,z最小,求解即可?!驹斀狻慨嫵鰔,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。15、【解析】
依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對于任意恒成立,即,又因為,,對任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當時等號成立,又因為在內(nèi)有解,,則,即:,所以實數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】
(1)對求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無極大值.(2)當時,要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當時,,所以,即.因為時,,所以當時,,所以當時,不等式成立.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18、(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當時,在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當時,令,即,令,即(i)當,即時,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當時,令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因為函數(shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因為函數(shù),所以(1)當時,,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當時,令,即,所以令,即,所以(i)當,即時,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調(diào)遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是(Ⅲ)因為函數(shù),所以所以當時,令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即所以當時,;當時,即當時,;當時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以因為,所以所以19、直線與圓C相切.【解析】
首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程,進一步利用點到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系.【詳解】直線為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為,轉(zhuǎn)換為標準形式為,所以圓心到直線,的距離.直線與圓C相切.【點睛】本題考查的知識要點:參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用,點到直線的距離公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,易得,進而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系,進而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點,連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點,中點,連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因為,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正
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