new2-3+4線性關(guān)系和矩陣秩

二、線性相關(guān)性的判定一、線性相關(guān)性的概念§2.3向量組的線性相關(guān)性六、向量空間的基與向量的坐標(biāo)三、向量組的等價(jià)四、向量組的最大無(wú)關(guān)組五、向量組的秩由r維線性無(wú)關(guān)向量，添加n-r個(gè)分量，無(wú)論加在什么位置，得到的n維向量都是線性無(wú)關(guān)的.定理2.3.1向量組1,2,…,m(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量是其余m－1個(gè)向量的線性組合.二、線性相關(guān)的等價(jià)命題和相關(guān)定理三、向量組的等價(jià)1.定義2.3.3設(shè)有兩個(gè)n維向量組若向量組(I)中每個(gè)向量都可由向量組(II)線性表示,則稱向量組(I)可由向量組(II)線性表示；若向量組(I)能由向量組(II)線性表示，若向量組能由向量組(I)線性表示,則稱向量組(I)與向量組(II)等價(jià).(1)反身性：A與A等價(jià)；(2)對(duì)稱性：若A與B等價(jià)，則B與A等價(jià)；(3)傳遞性：若A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià).等價(jià)向量組的性質(zhì)

注意：在數(shù)學(xué)上，凡具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系都稱為等價(jià)關(guān)系.如前面已遇到過(guò)的方程組的等價(jià)，矩陣的等價(jià)，等等.證：要證r≤s，用反證法.假設(shè)r>s于是與已知矛盾，因此r≤s.推論1兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.證：設(shè)T是一個(gè)n維向量組，我們希望從中選出一個(gè)與之等價(jià)的，并且含有盡可能多個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)的部分組來(lái).具有這樣性質(zhì)的部分組對(duì)于許多問(wèn)題的討論是十分必要的.為此，我們引入以下定義.四、向量組的最大線性無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組的含義有兩層：1.無(wú)關(guān)性;2.最大性.注:1.線性無(wú)關(guān)向量組的最大無(wú)關(guān)組就是其本身;2.向量組與其最大無(wú)關(guān)組等價(jià);3.同一個(gè)向量組的最大無(wú)關(guān)組不惟一,但它們之間是等價(jià)的.解:線推論3：等價(jià)的向量組的最大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.特別地，一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.2.定義2.3.5：向量組T的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組的秩，記為R(T)，即R(T)=r.該結(jié)論表明，雖然一個(gè)向量組的最大無(wú)關(guān)組可以不唯一，但最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一確定的.規(guī)定:只含零向量的向量組的秩為零.推論5：等價(jià)的向量組的秩相等.必須注意：有相同秩的兩個(gè)向量組不一定等價(jià).向量組的秩從數(shù)量上刻畫(huà)了向量組的線性相關(guān)性.把向量空間V看作一個(gè)向量組，那么，V的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組1,2,…,r稱為向量空間的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間.

五、向量空間的基與向量的坐標(biāo)記作注2：若將向量空間V看成向量組，其基底就是其最大無(wú)關(guān)組，其維數(shù)就是其秩注1：零空間{0}沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0注3：一般情況下，一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)是不同的.§2.4矩陣的秩一、矩陣的行(列)秩、秩二、矩陣秩與向量組的極大無(wú)關(guān)組、秩的求法三、矩陣秩的第二定義四、小結(jié)1.定義2.4.1設(shè)m×n矩陣A，稱A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.一、矩陣的行(列)秩、秩解：同樣方法可以求出A的列秩等于2.解：4個(gè)三維向量必線性相關(guān)，而其中β1β2β4線性無(wú)關(guān)，因?yàn)樗訟的列秩也等于3.例1和例2中矩陣的行秩等于列秩并非是偶然的.為了證明這一點(diǎn)，我們有以下兩個(gè)定理.定理2.4.1初等行(列)變換不改變矩陣的行(列)秩.證明：此處只就第三種初等行變換不改變矩陣的行秩證明之，其余兩種課下自己來(lái)完成.可知，矩陣A的行向量組可由B的行向量組線性表示.顯然，矩陣B的行向量組可由A的行向量組線性表示.所以，矩陣A、B的行向量組等價(jià).從而矩陣A、B的行向量組的秩相同.定理2.4.1亦可作為初等變換不改變線性方程組中獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)的理論依據(jù)

定理2.4.2初等行(列)變換不改變矩陣列(行)向量間的線性關(guān)系.即有當(dāng)且僅當(dāng)解：對(duì)矩陣A作初等行變換如下：實(shí)際上，如果把以上每作一次初等行變換所得到的矩陣叫做B的話,B的列向量間同樣存在上述線性關(guān)系.推論初等行(列)變換不改變矩陣的列(行)秩.定理2.4.3矩陣的行秩等于列秩.證：由于m×n矩陣A總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形而矩陣I的行秩和列秩都等于r，根據(jù)定理2.4.1及定理2.4.2的推論知，對(duì)A進(jìn)行初等行變換和初等列變換，它的行秩和列秩都不改變，所以A的行秩和列秩都應(yīng)等于r，即A的行秩等于列秩.3.定義2.4.2矩陣A的行秩和列秩，統(tǒng)稱為矩陣A的秩，記為R(A).二、矩陣秩,向量組的最大無(wú)關(guān)組,秩的求法用初等變換求矩陣秩的方法：將已知矩陣A化為階梯形矩陣后，階梯形矩陣的非零行數(shù)就是A的秩.例4求下列矩陣A的秩A2.用矩陣的初等變換求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組.

具體做法是：將已知向量為列向量排成矩陣，并用初等行變換將其轉(zhuǎn)化為行階梯形矩陣.此時(shí)，階梯形矩陣的非零行數(shù)就是向量組的秩；而階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零數(shù)所在的列在原向量組構(gòu)成的矩陣中對(duì)應(yīng)序號(hào)的列向量即構(gòu)成了此向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.解：解：(1)當(dāng)t-5=0,即t=5時(shí),R(A)=2<3,所以1,23線性相關(guān).

(2)t=5時(shí)，繼續(xù)對(duì)A實(shí)施初等行變換，得矩陣B的列向量間有線性關(guān)系取A的第1，2行和2，4列三、矩陣秩的第二定義矩陣秩的第二定義：矩陣A的秩等于矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)。例7求例4中矩陣A的秩.于是R(A)=3.解：2.用向量組的線性關(guān)系解釋Cramer法則的推論則方程組(2-12)等價(jià)于向量方程若方程組(2-12)的系數(shù)行列式等于零，則其系數(shù)矩陣的秩小于n，從而A的列向量組1,2,…,n線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)x1,x2,…,xn使(2-13)式成立.因此，齊次線性方程組(2-12)有非零解.這表明，系數(shù)行列式等于零也是齊次線性方程組(2-12)有非零解的充分條件.至此，第一章第四節(jié)定理1.4.2便得到證明.以矩陣不為零的子式的最高階數(shù)給出的矩陣秩的定義，在矩陣?yán)碚撝芯哂兄匾饔?但以此來(lái)求矩陣的秩時(shí)，一般