量子力學-21一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)

第2章一維勢場中的粒子引言

本章主要是用Schr?dinger方程來處理一維粒子的能量本征態(tài)問題.

下面先討論一維粒子的能量本征態(tài)的一些共同的特點.

設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢場中(考慮定態(tài)的情況下)的能量本征方程為在上式中，（1）為能量本征值.為相應(yīng)的能量本征態(tài).2.1一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(實數(shù)值)

在求解能量本征方程(1)時，要根據(jù)具體物理問題的邊條件來定解．如束縛態(tài)條件,散射態(tài)的邊條件等.

為此先討論其一般解有關(guān)的七條基本性質(zhì)．其中前4條,不僅對一維問題成立,對于三維問題也同樣適用.

下面先對該方程的解的一般性質(zhì)進行討論．定理1也是方程(1)的一個解,對應(yīng)的能量也是,則設(shè)也是方程(1)的一個解,對應(yīng)的能量也是對應(yīng)的能量本征值為是能量本征方程(1)的一個解,設(shè)也是方程(1)的一個解,對應(yīng)的能量也是,則

假設(shè)對應(yīng)于能量的某個本征值,方程(1)解無簡并,(即只有一個獨立的解),則可取為實解(除了一個無關(guān)緊要的常數(shù)因子之外).對應(yīng)于能量的某個本征值,總可以找到方程(1)的一組實解,凡是屬于的任何解,均可表示為這一組實解的線性疊加.定理2

對于能級有簡并的情況,要用到此定理.定理3定義空間反射算符

即把空間坐標

設(shè)具有空間反射不變性，如是方程（1）的對應(yīng)于能量本征值的解，則也是方程（1）的對應(yīng)于能量的解.對于一維粒子,則為

偶宇稱解(evenparity)

奇宇稱解(oddparity)

一維諧振子和一維對稱方勢阱都是具有空間反射對稱性，它們的能量本征態(tài)都有確定的宇稱。

如果對應(yīng)于某能量方程(1)的解無簡并,則解必有確定的宇稱(parity).

對于能級有簡并的情況，能量本征態(tài)并不一定就具有確定宇稱.此時，可以用定理（4）來處理定理4適用范圍

設(shè)則對應(yīng)于任何一個能量本征值總可以找到方程(1)的一組解(每個解都有確定的宇稱),而屬于能量本征值的任何解，都可用它們來展開.

在坐標表象中,涉及波函數(shù)及其各階導數(shù)的連續(xù)性問題,應(yīng)從能量本征方程(1)出發(fā),根據(jù)的性質(zhì)進行討論.

如是的連續(xù)函數(shù),則與必為的連續(xù)函數(shù).

但是如不連續(xù),或有某種奇異性,則及其各階導數(shù)的連續(xù)性問題需要具體分析.對于階梯形方位勢（2）對于一維有限深方勢阱，這個定理明顯成立.定理5

能量本征函數(shù)及其導數(shù)必定是連續(xù)的(但如，則定理不成立).（3）定理6注意

對于束縛態(tài)(boundstate),

當時,所以式(3)中常數(shù)必為0.結(jié)論

因此,對于同屬于能量的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)與

對于一維粒子，設(shè)與均為方程（1）的屬于同一能量的解，則定理7!

設(shè)粒子在規(guī)則（regular）勢場(無奇點)中運動，如存在束縛態(tài)，則必定不簡并的.

對于常見的不規(guī)則勢阱(如無限深勢阱,勢阱等),在絕大多數(shù)情況下上述定理也成立.

但對于某些不規(guī)則勢阱,如一維氫原子除基態(tài)外,其他束縛態(tài)均為二重簡并.

其特征是波函數(shù)的節(jié)點出現(xiàn)在的奇異點處,兩個簡并態(tài)具有不同宇稱.先考慮一個理想的情況——無限深方勢阱中的粒子.在阱內(nèi)

能量本征方程為勢阱表示為為粒子質(zhì)量,

2.2方勢阱2.2.1無限深方勢阱,離散譜注意與是待定常數(shù).而按照邊條件,得即給出的波函數(shù),無物理意義,而取負值與取正值所給出的波函數(shù)描述的是同一個量子態(tài).n0=n則方程(2)的解可表示為按邊條件則要求

聯(lián)合式(5)和(3)結(jié)論

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的，即構(gòu)成的能譜是離散的．

稱為體系的能量本征值.與En

對應(yīng)的波函數(shù)記為稱為能量本征函數(shù)，利用歸一化條件則歸一化的波函數(shù)表示為

,取為實數(shù).設(shè)

為阱寬,為勢阱高度,以下討論束縛態(tài)情況.在阱外(,經(jīng)典禁區(qū)),能量本征方程為2.2.2有限深對稱方勢阱則方程的解具有如下指數(shù)函數(shù)形式

但考慮到束縛條件（要求處），波函數(shù)應(yīng)取如下形式這正是2.21無限方勢阱的邊條件的根據(jù)常數(shù)和待定.當（無限深勢阱）即,則當上式.在阱內(nèi)(,經(jīng)典允許區(qū)),能量本征方程為(a)偶宇稱態(tài)引入無量綱參數(shù)令

則方程的解可表為如下振蕩函數(shù)形式:根據(jù)和(14)式,有得到(b)奇宇稱態(tài)對于超越方程組(15),可用數(shù)值計算求解或用圖解法近似求解.利用的連續(xù)條件可求出與偶宇稱態(tài)類似,引進無量綱參數(shù),則上式化為時,才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級.即奇宇稱態(tài)與偶宇稱態(tài)不同,只當從而能確定能量本征值.2.2.3束縛態(tài)與離散態(tài)束縛能量本征態(tài)

的能量是離散的,按照能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)

波函數(shù)是的振蕩函數(shù)

而且在愈大的地方,振蕩愈快.此外,由于與的正負號相反,

總是向軸彎曲.

區(qū)域,曲線向下彎;區(qū)域,曲線向上彎.結(jié)論與此不同,在經(jīng)典的禁區(qū)波函數(shù)是的指數(shù)上升或下降的函數(shù)無振蕩現(xiàn)象.由于與的正負號相同,總是背離軸彎曲，即在

區(qū)域,

曲線向上彎曲;在

區(qū)域

曲線向下彎曲.根據(jù)上述特點,可以定性討論粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函數(shù)的節(jié)點數(shù).()xyy2.2.4方勢壘的反射與透射設(shè)具有一定能量的粒子沿軸正方向射向方勢壘從量子力學觀點來看，考慮到粒子的波動性,此問題與波碰到一層厚度為的介質(zhì)相似,即有一部分波透過,一部分波被反彈回去.先考慮情況.在勢壘外(,經(jīng)典允許區(qū)),能量的本征方程表示為由于勢壘的存在,在區(qū)域中,既有入射波

,

也有反射波

,而在區(qū)域中只有透射波所以所以式中和分別表示反射波與透射波,相應(yīng)的反射流密度和透射流密度分別為所以反射系數(shù)=

投射系數(shù)=其可取為通解在勢壘內(nèi)部(,經(jīng)典禁區(qū)),其能量本征方程為按式在點的連續(xù)性條件導致上兩式相加減,分別得消去R

解出類似,在點的連續(xù)性條件導致因此,為透射系數(shù)類似,消去S,可得出R,而反射系數(shù)為透射系數(shù)表示粒子被勢壘反彈回去的概率,表示粒子透過勢壘的概率.可以看出粒子能穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象,成為隧穿效應(yīng).對于情況,從式可以看出,只需在式中,把利用式,可改寫成此時對于方勢阱的透射,上述理論仍然適用,透射系數(shù)T仍由式給出,但應(yīng)把,即2.2.5方勢阱的反射,透射與共振由式可以看出，如果，則一般來說T值很小，除非入射粒子能量E合適，使此時，T=1（反射系數(shù)），這現(xiàn)象稱為共振透射.它出現(xiàn)的條件是或改寫成由式可求出共振時的能量共振能級如粒子能量很小，按2.2.2節(jié)的討論，是可能形成束縛態(tài)的.這相當于式中量子數(shù)較小的情況.如較大，使則不能形成束縛態(tài).但如能量合適，滿足式，則將出現(xiàn)共振透射.式所確定的稱為其中,常數(shù)不含時Schr?dinger方程表示為

設(shè)有質(zhì)量為m的粒子（能量E>0）從左入射，碰到勢壘2.3δ勢2.3.1δ勢的穿透x=0

是方程的奇點，在該點不存在，表現(xiàn)為在x=0

點不連續(xù).

所以在x=0

點一般是不連續(xù)的,除非對方程積分，可得（3）式稱為勢中的躍變條件.

解仍為但邊條件有所不同，根據(jù)x=0

點連續(xù)以及躍變條件有在處方程化為()6消去R，得而由于入射波的波幅已取為1，所以透射系數(shù)反射系數(shù)(b)

勢的特征長度為，特征能量為.透射系數(shù)只依賴于，即特征能量與入射粒子能量之比.當時,即高能極限下粒子將完全穿透勢壘.(a)如勢壘換為勢阱，透射及反射系數(shù)的值不變，仍如式和所示.

討論：（c）可以看出顯然在x=0點,不連續(xù)，但粒子流密度卻是連續(xù)的，可見：從能流密度的連續(xù)性并不能得出的連續(xù)性.考慮粒子在勢阱

時，能量本征方程為積分，可得出的躍變條件2.3.2勢阱中的束縛態(tài)方程的解的形式為,考慮到，要求束縛能量本征態(tài)（不簡并）具有確定宇稱.以下分別討論在區(qū)域，方程化為考慮到束縛態(tài)條件，偶宇稱態(tài)波函數(shù)應(yīng)表示為按式，可得粒子的能量本征值偶宇稱態(tài)為歸一化常數(shù).按躍變條件，可得由歸一化條件在區(qū)域中的概率為

：波函數(shù)應(yīng)表示為奇宇稱態(tài)

勢阱對奇宇稱態(tài)沒有影響，因而不可能形成束縛態(tài).連續(xù)條件

由波函數(shù)的（x=0

點），可得出A=0，所以不可能存在奇宇稱束縛能量本征態(tài).從物理上考慮:

奇宇稱函數(shù)在x=0點必為0

,而勢又恰好只在x=0

點起作用.所以

事實上，所有涉及勢的問題,原則上均可以從方勢情況下的解取極限而得以解決.2.3.3

勢與方勢的關(guān)系，波函數(shù)微商的躍變條件

勢可以看成方勢的一種極限情況.

但直接用勢來求解,往往要簡捷