2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，那么（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)的方向向量與斜率的關(guān)系求解.【詳解】由題意，解得：.故選：A.2．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．，2 B．，2 C．，4 D．，4【答案】B【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心為，半徑為故選：B3．有一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0.1，則數(shù)據(jù)的方差為（

）A．0.1 B．0.2 C．1.1 D．2.1【答案】A【分析】由方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)的平均數(shù)為，即，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，所以數(shù)據(jù)的方差為：，故選：A.4．已知m，n是實(shí)數(shù)，若，，且，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共線(xiàn)，即可代入坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由得存在實(shí)數(shù)，使得，故，進(jìn)而，解得，所以，故選：D5．記錄并整理某車(chē)間10名工人一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量（單位：個(gè)）如下表所示：工人趙甲錢(qián)乙孫丙李丁周戊吳己鄭庚王辛馮王陳癸產(chǎn)品數(shù)量/個(gè)46485153535656565871那么這10名工人一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的第30百分位數(shù)為（

）A．49.5 B．51 C．52 D．53【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】10名工人一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量按從小到大排列為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，71，則，故第30百分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)與第4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故選：C6．某工廠(chǎng)對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，下圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于14克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是（

）A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【分析】根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)樣本容量為，因?yàn)闃颖局挟a(chǎn)品凈重小于14克的個(gè)數(shù)是36，所以有，所以樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是，故選：A7．已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩道工序，設(shè)事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才進(jìn)行第二道工序加工，那么事件“產(chǎn)品不合格”可以表示為（

）A． B．AB C． D．【答案】D【分析】由題意可知“產(chǎn)品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹挥械谝坏拦ば蚣庸ず细癫胚M(jìn)行第二道工序加工，所以事件“產(chǎn)品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“產(chǎn)品不合格”可以表示為，故選：D8．已知雙曲線(xiàn)的右支與圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若為正三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由題意可求出，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)即可求出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右支與圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且為正三角形，所以設(shè)在一象限，則，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以，又因?yàn)椋?jiǎn)得：，同時(shí)除以化簡(jiǎn)得：，即，解得：（舍去）或，所以.故選：C.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)記為C，給出下列結(jié)論：①是曲線(xiàn)C上的點(diǎn)；②曲線(xiàn)C是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③記，，P為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為6．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】把點(diǎn)代入驗(yàn)證等式是否成立判斷①；點(diǎn)代入方程化簡(jiǎn)驗(yàn)證是否等式不變判斷②；等式兩邊平方化簡(jiǎn)整理成，取值計(jì)算判斷③作答.【詳解】把點(diǎn)代入所以點(diǎn)不是曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，故①不正確；把點(diǎn)代入得變?yōu)椋郧€(xiàn)C是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故②正確；將方程兩邊平方：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)，由，得，則，故③不正確故選：B【點(diǎn)睛】①當(dāng)證明一個(gè)曲線(xiàn)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則需把點(diǎn)代入驗(yàn)證是否與原來(lái)曲線(xiàn)相同；當(dāng)證明一個(gè)曲線(xiàn)是否關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)則需把點(diǎn)代入驗(yàn)證是否與原來(lái)曲線(xiàn)相同；當(dāng)證明一個(gè)曲線(xiàn)是否關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)則需把點(diǎn)代入驗(yàn)證是否與原來(lái)曲線(xiàn)相同；當(dāng)證明一個(gè)曲線(xiàn)是否關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)則需把點(diǎn)代入驗(yàn)證是否與原來(lái)曲線(xiàn)相同；②求一個(gè)二元曲線(xiàn)，可以把其中一個(gè)元，用另一個(gè)元來(lái)表示，看成函數(shù)求最值.二、多選題10．已知圓和存在公共點(diǎn)，則m的值不可能為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A和存在公共點(diǎn)，所以?xún)蓤A相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項(xiàng)ABC滿(mǎn)足，故選：ABC三、填空題11．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】先把雙曲線(xiàn)化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程，直接得出漸近線(xiàn)方程.【詳解】由得所以漸近線(xiàn)方程為故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.12．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，若兩人獨(dú)立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為_(kāi)_______．【答案】##【分析】利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式直接求解.【詳解】甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，兩人獨(dú)立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為:.故答案為：.13．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_______.【答案】或【分析】分兩種情況討論，一是切線(xiàn)的斜率不存在，可得出所求切線(xiàn)方程為，驗(yàn)證即可；二是切線(xiàn)斜率存在，設(shè)所求切線(xiàn)的方程為，利用圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑求出的值.綜合可得出所求切線(xiàn)的方程.【詳解】當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，所求切線(xiàn)的方程為，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為，合乎題意；當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)所求切線(xiàn)的方程為，即，則圓心到該直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，則，解得，此時(shí)，所求切線(xiàn)的方程為，即，綜上所述，所求切線(xiàn)的方程為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線(xiàn)方程的求解，在過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)的方程求解時(shí)，要注意對(duì)切線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，將直線(xiàn)與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的平面的一個(gè)法向量是，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______．【答案】5【分析】由點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由點(diǎn)到面的距離公式得.故答案為：515．棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中x，y，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)，時(shí)，可能是等腰三角形；②當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積恒為；③當(dāng)，且時(shí)，的面積的最小值為；④當(dāng)，且時(shí)，可能為直角．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②③【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式、空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，①：當(dāng)，時(shí)，，，若，而，不成立；若，所以本結(jié)論成立；②：當(dāng)，時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，，，因此有，，所以點(diǎn)到平面的距離為：，顯然，三棱錐的體積恒為，所以本結(jié)論正確；③當(dāng)，且時(shí)，，，由余弦定理可知：，于是有，當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為，所以本結(jié)論正確；④：當(dāng)，且時(shí)，，，假設(shè)為直角，所以，由，代入中，化簡(jiǎn)得：，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，而，不符合題意，所以假設(shè)不成，因此本結(jié)論不正確，故答案為：①②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式是解題的關(guān)鍵.四、解答題16．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．(1)求的外接圓C的方程；(2)求直線(xiàn)被圓C截得的弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)6【分析】（1）設(shè)圓的方程為，則根據(jù)圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，,，聯(lián)立方程組，求得、、的值，可得圓的方程．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離為1，進(jìn)而根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則由圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn),可得，求得，可得圓的方程為．（2）將圓化成標(biāo)準(zhǔn)式得，所以圓心為半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，故直線(xiàn)被圓C截得的弦的長(zhǎng)17．如圖，在正四棱柱中，，M是棱上任意一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若M是棱的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)AM與BC所成角的余弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值.【詳解】（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB，AD，所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，，所以；?）M是棱的中點(diǎn)，故，則，設(shè)異面直線(xiàn)AM與BC所成角的大小為，則，故異面直線(xiàn)AM與BC所成角的余弦值為.18．某公司為了了解A，B兩個(gè)地區(qū)用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意程度，從A地區(qū)隨機(jī)抽取400名用戶(hù)，從B地區(qū)隨機(jī)抽取100名用戶(hù)，通過(guò)問(wèn)卷的形式對(duì)公司產(chǎn)品評(píng)分．該公司將收集的數(shù)據(jù)按照，，，分組，繪制成評(píng)分分布表如下：分組A地區(qū)B地區(qū)403012020160408010合計(jì)400100(1)采取按組分層隨機(jī)抽樣的方法，從A地區(qū)抽取的400名用戶(hù)中抽取10名用戶(hù)參加座談活動(dòng)．求參加座談的用戶(hù)中，對(duì)公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的用戶(hù)有多少名？(2)從（1）中參加座談的且評(píng)分不低于60分的用戶(hù)中隨機(jī)選取2名用戶(hù)，求這2名用戶(hù)的評(píng)分恰有1名低于80分的概率；(3)若A地區(qū)用戶(hù)對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為，B地區(qū)用戶(hù)對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為，兩個(gè)地區(qū)的所有用戶(hù)對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為，試比較和的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)6(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由頻率分布直方圖可以確定400名用戶(hù)中評(píng)分不低于60分的人數(shù)，利用分層抽樣的抽樣比即可求解人數(shù)，（2）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算即可求解，（3）利用頻數(shù)分布表可求出，，利用加權(quán)平均計(jì)算，即可比較大?。驹斀狻浚?）由題知地區(qū)共抽取400名用戶(hù)，其中有240名用戶(hù)對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分，故抽取的人數(shù)為,（2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，這6人中，評(píng)分在的人數(shù)為，記這4個(gè)人分別為，評(píng)分在的人數(shù)為，記這2人分別為,故從6個(gè)人中選取2人的全部基本事件有,共有15種，恰有1名低于80分包含的基本事件有共有8種，因此2名用戶(hù)的評(píng)分恰有1名低于80分的概率為,（3），理由如下：，，所以，因?yàn)?，兩地區(qū)人數(shù)比為，故地區(qū)抽取人數(shù)占總數(shù)的，地區(qū)抽取人數(shù)占總數(shù)的，則，所以．19．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求解.（2）直線(xiàn)l的方程設(shè)出來(lái)聯(lián)立韋達(dá)定理，求出點(diǎn)用斜率表示，根據(jù)面積等于2找到關(guān)于斜率的表達(dá)式求解.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以所以?huà)佄锞€(xiàn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）由題意得直線(xiàn)l的斜率一定不等于零，設(shè)l的方程為與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，，故設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理得：，直線(xiàn)l與軸的交點(diǎn)為所以的面積為，所以或或或當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)20．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，，所以可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由（1）可知平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，所以有，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）設(shè)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，所以有：，或舍去，因此假設(shè)成立，所以在棱上存在點(diǎn)G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為，的值為.21．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)．（i）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線(xiàn)BC，BD分別與x軸交于M，N兩點(diǎn)．求證：；（ii）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線(xiàn)g的方程為，橢圓E上存在定點(diǎn)Q，使直線(xiàn)QC，QD分別與直線(xiàn)g交于M，N兩點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)論不需證明．【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)詳解；（ii）【分析】（1）將點(diǎn)代入方程中求出即可；（2）（i）根據(jù)題意可知直線(xiàn)斜率一定存在且不為0，畫(huà)出圖形，設(shè)直線(xiàn)方程代入橢圓E中，寫(xiě)出韋達(dá)定理，然后寫(xiě)出直線(xiàn)BC，BD的方程，令解出兩點(diǎn)，由圖可知，三點(diǎn)共線(xiàn)且在軸上，所以要證明，只需證明為的中點(diǎn)，由的縱坐標(biāo)均為0，故只需證明即可；（ii）利用特殊情況可得，再證明此時(shí)對(duì)任意到直線(xiàn)，總有.【詳解】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，所