高校(理工類)數(shù)學(xué)拉格朗日插值公式教學(xué)(課堂講義)

§3.3拉格朗日插值公式

線性插值僅僅利用兩個結(jié)點上的信息，精度很低。下面考察下述三點插值問題：給定含有三個結(jié)點的函數(shù)表：作二次多項式y(tǒng)=p2(x)，使y=p2(x)在結(jié)點x0，x1，x2分別取函數(shù)值y0，y1，y2，即滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2問題的提出已知y=f(x)在結(jié)點x0，x1，x2分別取函數(shù)值y0，y1，y2，求二次多項式y(tǒng)=p2(x)=a0+a1x+a2x2，滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2根據(jù)要滿足的三個條件，確定三個未知數(shù)a0，a1，a2滿足，因此可采用待定系數(shù)法。即：基本插值多項式為了得到插值多項式y(tǒng)=p2(x)，先解決一個比較簡單的插值問題：尋求二次式A0(x)，使?jié)M足條件A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0或者說，使適合下列函數(shù)表這樣的插值多項式不難直接構(gòu)造出來。為避免解線性方程組，下面仿線性插值，用基函數(shù)的方法求解方程組?；静逯刀囗検接蓷l件A0(x1)=A0(x2)=0知，A0(x)含有x–x1和x–x2兩個因子，令A(yù)0(x)=λ(x–x1)(x–x2)再用條件A0(x0)=1確定其中的系數(shù)λ，結(jié)果得到：基本插值多項式類似地作出滿足條件A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0與A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(x2)=1的插值多項式A1(x)與A2(x)：得到的三個插值多項式Ak(x)（k=0,1,2）統(tǒng)稱以x0，x1，x2為結(jié)點的基本插值多項式。二次插值用這些基本插值多項式作出的線性組合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)顯然是個不超過2次的多項式，并且滿足條件（7），因而即為所求的插值多項式y(tǒng)=p2(x)?；静逯刀囗検紸k(x)的表達(dá)式上面已經(jīng)導(dǎo)出，代入上式得到：二次插值的幾何意義這種二次插值的幾何解釋是，用通過三點(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的拋物線來近似曲線y=f(x)，因此二次插值亦稱拋物插值(圖3-2)。舉例[例3-3-1]利用100，121和144的平方根，求。[解]利用拋物插值公式其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又x=115，代入求得再同所求平方根的實際值10.7238比較，得到了具有4位有效數(shù)字的結(jié)果。一般形式的插值問題（n次插值）進(jìn)一步討論一般形式的插值問題。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有節(jié)點x0,x1,…,xn上的函數(shù)值，構(gòu)造一個次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項式使。即n次代數(shù)插值滿足在n+1個節(jié)點上插值多項式和被插值函數(shù)f(x)相等，而且插值多項式P(x)的次數(shù)不超過n次。一般形式的插值問題（n次插值）仿照線性插值和二次插值所采用的辦法，仍從構(gòu)造所謂基本插值多項式著手。先對某個固定的下標(biāo)k，作n次多項式Ak(x)，使?jié)M足條件：或者說，使適合下列簡單形式的函數(shù)表：一般形式的插值問題如果對每個下標(biāo)k(k=0,1,2,…,n)能作出這樣的基本插值多項式Ak(x)，那么它們的線性組合：就是所求的插值多項式。事實上，由于Ak(x)都是n次的，pn(x)的次數(shù)不會超過n。另外，利用(8)式，得即y=pn(x)確實滿足所給條件。一般形式的基本插值多項式于是，問題歸結(jié)為具體求出基本插值多項式Ak(x)。根據(jù)(8)式，xk以外的所有結(jié)點都是Ak(x)的零點，因此，令這里符號П的含義是累乘，表示乘積遍取j從0到n除j=k以外的全部正整數(shù)值。式中的λ為待定系數(shù)。拉格朗日插值公式待定系數(shù)λ通過(8)式中尚未用過的一個條件Ak(xk)=1來確定它，結(jié)果得：稱為拉格朗日基函數(shù)，代入(9)式，即得所求插值多項式y(tǒng)=pn(x)的表達(dá)式：上式就是所謂拉格朗日（Lagrange）插值公式。拉格朗日插值的實現(xiàn)在給定點x，用插值公式(10)計算y=pn(x)的值作為函數(shù)f(x)在x點處的近似值，這個過程稱作插值。插值多項式的次數(shù)稱作插值的階。點x稱作插值點。如果插值點x位于插值區(qū)間內(nèi)，這種插值過程稱內(nèi)插，否則稱作外推。拉格朗日公式(10)在邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán)。內(nèi)循環(huán)(j循環(huán))由累乘求得系數(shù)：然后再通過外循環(huán)(k循環(huán))由累加得到結(jié)果：拉格朗日插值對于拉格朗日插值公式，特別地,當(dāng)n=1時又叫線性插值,其幾何意義為過兩點的直線.當(dāng)n=2時又叫拋物插值,其幾何意義為過三點的拋物線.應(yīng)注意,對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關(guān)。拉格朗日插值多項式的唯一性[證]：設(shè)所求的插值多項式為：pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an的線性代數(shù)方程組

設(shè)節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件pn(xi)=yi的n次多項式pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一。定理拉格朗日插值多項式的唯一性

此方程組有n+1個方程,n+1個未知數(shù),其系數(shù)行列式是范德蒙行列式，即：拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性由于插值節(jié)點

xi互不相同,所有因子

xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一.即滿足條件式

的n次多項式存在且唯一。證畢。拉格朗日插值多項式的唯一性反證：若不唯一，則除了Pn(x)外還有另一n

階多項式Q(x)滿足Q(xi)=yi

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