高中數(shù)學(xué)之不等式總結(jié)

（異向正數(shù)可除性）（異向正數(shù)可除性）ab0,0cdaaab⑥（平方法則）⑥（平方法則）ab0ab(nN,且n1)⑦（開(kāi)方法則）⑦（開(kāi)方法則）ab0ab(nN,且n1) ①（對(duì)稱(chēng)性）abba ②（傳遞性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd④（可積性）1）ab,c0acbc 2）ab,c0acbc⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acbd

n

ab0

a;ab0

a

靈活記憶：ab且ab0a

1.若-1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是（） 2.a＞b

a

a

C.ab＞2b a

a2b22aba，bR

ab

ab

a2b2

ab,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立）.

ab2ab

ab2ab .2

abc

3abc

(a、b、cR)（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.④a2b2c2abbccaa，bR（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0) （當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）. a若ab0,則 2a

a若ab0,則2a

⑦a

am

anbn

ab，（其中ab0，m0，n0)⑧絕對(duì)值三角不等式ababab.a1b1

ab

ab

a2b2

，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""號(hào)）.（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）.1(ax2)2(yy2)2(x1,y1,x2,y((ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.

ab2ab 2

a2b2

a2b2

(ab)2

a2a2...a2

a

)2.x2y2x2y2(x

2

借助三角形任意兩邊和大于第三邊加以理解。2 2 2 2 (a2a2a2)(b2b2b2)(a1b1 2 3 1 2

a2b2

a3b3)2.

(a2a2...a2)(b2b2...b2)(a1b

a2b2

...a

)2.

1x2),有

f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

.例題：已知2x2+3y2≤6,求證：x+2y≤√11,,,, (a)2 (a)2;

2k

kk

kk1

kk1

++

a

xa

yb

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)...f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x) g(x)0

f(x)0f(x)a(a0)f(x)a2

f(x)0f(x)a(a0)f(x)a2

f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)0或g(x)0

f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑴當(dāng)a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x) ⑵當(dāng)0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x)

a1

a

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時(shí),

a

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)

a (a0)aa(a0)

f(x)g(x)f2(x)g2(x).

xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0).解形如ax2bxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論a與0的大??；⑵討論與0的大??；⑶討論兩根的大小.（韋達(dá)定理）⑴不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)

a00.⑵不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)

a00.⑶f(x)a恒成立

f(x)max

a;

⑷f(wàn)(x)a恒成立

f(x)min

a.例題：1.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集為（） 2.若不等式|x-1|＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則實(shí)數(shù)a的范圍是（） 3.已知a0且a1，關(guān)于x的不等式ax1的解集是(,0)，求關(guān)于x的不等式loga(x)0的解集．zz(xa)2(yb)2或z(xa)(yb).4.若不等式2x1m(x21)對(duì)滿足|m|2的所有