大學(xué)物理 第1章

1.1.1參考系和坐標(biāo)系1.1位置矢量和位移1.1.2位置矢量1.1.3位移1.1.1參照系和坐標(biāo)系

宇宙中的所有物體都處于永不停止的運(yùn)動(dòng)中，這就是運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性.

為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選擇的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參考系.1

參考系

選取的參考系不同，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的描述不同，這就是運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性.2.坐標(biāo)系

在確定了參照系之后，為了確切地、定量地說明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于所選參照系的位置，就得在此參照系上固結(jié)一個(gè)坐標(biāo)系.

最常見的是笛卡兒直角坐標(biāo)系：

坐標(biāo)系：參考系的數(shù)學(xué)抽象.1.1.2位置矢量1

位置矢量*位矢的值為

確定質(zhì)點(diǎn)P某一時(shí)刻在坐標(biāo)系里的位置的物理量稱位置矢量,簡(jiǎn)稱位矢.式中

、、

分別為x、y、z

方向的單位矢量.位矢的方向余弦PP2

運(yùn)動(dòng)方程分量式從中消去參數(shù)得軌跡方程

1.1.3位移BABA

經(jīng)過時(shí)間間隔后,質(zhì)點(diǎn)位置矢量發(fā)生變化,把由始點(diǎn)A指向終點(diǎn)B

的有向線段稱為點(diǎn)A

到B的位移矢量,簡(jiǎn)稱位移.

位移的大小為BA位移若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)4

路程（）:質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.位移的物理意義A)

確切反映物體在空間位置的變化,與路徑無關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置.B）反映了運(yùn)動(dòng)的矢量性和疊加性.注意位矢長(zhǎng)度的變化位置矢量與位移及路程的異同位置矢量狀態(tài)量位移過程量位移矢量路程標(biāo)量位置矢量與位移都是矢量.位移與路程都是過程量;位移與過程無關(guān)，路程與過程有關(guān)1.2.1速度1.2速度和加速度1.2.2加速度1.2.3例題分析1.2.1速度1

平均速度

在

時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

B,其位移為時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)的平均速度平均速度與

同方向.平均速度大小或BA2

瞬時(shí)速度

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向就是沿該點(diǎn)曲線的切線方向

.

當(dāng)時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度當(dāng)時(shí)，瞬時(shí)速率：速度的大小稱為速率

若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng),其速度為討論

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑的端點(diǎn)處，其速度大小為（A）（B）（B）（B）（C）（D）1）平均加速度B與同方向.（反映速度變化快慢的物理量）

單位時(shí)間內(nèi)的速度增量即平均加速度2）（瞬時(shí)）加速度1.2.2

加速度A加速度大小加速度加速度大小質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題

一由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；

二已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置,可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程.運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題一般可以分為如下兩類。（1）已知運(yùn)動(dòng)方程求速度、加速度的問題（在曲線運(yùn)動(dòng)中還可以求運(yùn)動(dòng)軌跡）。這類問題的求解是非常簡(jiǎn)單的，根據(jù)在前面學(xué)習(xí)的公式，大家可以看到對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就得到速度，再求一次導(dǎo)數(shù)就得到加速度。再將具體的時(shí)間代入到速度和加速度公式中就可以求得任意時(shí)刻的速度和加速度。（2）已知加速度和初始條件求速度、運(yùn)動(dòng)方程的問題（在曲線運(yùn)動(dòng)中還可以求運(yùn)動(dòng)軌跡）。這類問題在數(shù)學(xué)上看是典型的積分問題。積分常數(shù)的確定常常需要一些已知條件，即初始條件。初始條件是指問題給定時(shí)刻（通常是t為零的時(shí)刻，但也有t不為零的情況）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和位置（常用和來表示）。1.2.3例題分析（5）質(zhì)點(diǎn)的加速度.1.已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其中x、y以m計(jì)，t以s計(jì).求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道方程并畫出其軌道曲線；（2）質(zhì)點(diǎn)的位置矢量；（3）質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）前2s內(nèi)的平均速度；（2）質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為（1）將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參數(shù)t，得質(zhì)點(diǎn)軌道方程為質(zhì)點(diǎn)的軌道曲線如圖所示（3）質(zhì)點(diǎn)的速度為（5）質(zhì)點(diǎn)的加速度為（4）前2s內(nèi)的平均速度為2.已知質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻位于點(diǎn)處，且以初速加速度運(yùn)動(dòng).試求：（1）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度；（2）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.解（1）由題意可知對(duì)其兩邊取積分有所以質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度為（2）因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的速度為對(duì)其兩邊取積分有故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

例3

如圖所示,A、B兩物體由一長(zhǎng)為的剛性細(xì)桿相連,A、B兩物體可在光滑軌道上滑行.如物體A以恒定的速率向左滑行,當(dāng)時(shí),物體B的速率為多少？解

建立坐標(biāo)系如圖OAB為一直角三角形，剛性細(xì)桿的長(zhǎng)度l為一常量ABl物體A

的速度物體B

的速度ABl兩邊求導(dǎo)得即沿

軸正向,當(dāng)時(shí)解（1）由題意可得速度分量分別為t=3s時(shí)速度為速度與軸之間的夾角

例4

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其中.式中各量的單位均為SI單位.求（1）t=3s

時(shí)的速度.（2）作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖.（2）運(yùn)動(dòng)方程由運(yùn)動(dòng)方程消去參數(shù)t

可得軌跡方程為0軌跡圖246-6-4-2246取值范圍？1.3.1直線運(yùn)動(dòng)的定義1.3直線運(yùn)動(dòng)1.3.2直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式1.3.3例題分析1.3.1直線運(yùn)動(dòng)的定義

質(zhì)點(diǎn)在一條確定的直線上的運(yùn)動(dòng)稱之為直線運(yùn)動(dòng).質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量為質(zhì)點(diǎn)P的位移為質(zhì)點(diǎn)P的速度為質(zhì)點(diǎn)P的加速度為矢量→標(biāo)量？1.3.2直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

假定質(zhì)點(diǎn)沿x軸作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a不隨時(shí)間變化，初位置為，初速度為，則

由直線運(yùn)動(dòng)速度公式和位移公式消去時(shí)間參數(shù)可得例5、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)的速度為v0，其加速度與速度的大小成正比而方向相反，比例系數(shù)為k(k>0)，試求速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式。解：由題意及加速度的定義式，可知

因而積分

得所以

速度的方向保持不變，但大小隨時(shí)間增大而減小，直到速度等于零為止（反向？）。

例題分析

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的加速度為，當(dāng)時(shí)，.試求質(zhì)點(diǎn)的速度和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.解1.4.1拋體運(yùn)動(dòng)1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2圓周運(yùn)動(dòng)1.4.3例題分析獵人瞄準(zhǔn)樹上的猴子射擊，猴子一見火光就跳下（自由下落），卻不能避開子彈。平面極坐標(biāo)

A

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻它位于點(diǎn)A.矢徑與軸之間的夾角為.于是質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)A

的位置可由來確定.以

為坐標(biāo)的參考系為平面極坐標(biāo)系.它與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為

以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。設(shè)拋出時(shí)刻t=0的速率為v0，拋射角為，加速度恒定任意時(shí)刻的速度為：則初速度分量分別為：Oyx1.4.1拋體運(yùn)動(dòng)將上式積分，得到運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式為消去時(shí)間參數(shù)t，得到拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為拋物線方程，故拋體運(yùn)動(dòng)也叫拋物線運(yùn)動(dòng)。

令y=0，得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)H，它就是射程：

根據(jù)軌跡方程的極值條件，求得最大射高為：OyxHh

物體在空中飛行回落到拋出點(diǎn)高度時(shí)所用的時(shí)間為若，則，此時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)；若，則，此時(shí)射程最大；若，則，此時(shí)為豎直拋體運(yùn)動(dòng).圓周運(yùn)動(dòng)及其描述1.切向加速度和法向加速度

采用自然坐標(biāo)系，可以更好地理解加速度的物理意義。

在運(yùn)動(dòng)軌道上任一點(diǎn)建立正交坐標(biāo)系,其一根坐標(biāo)軸沿軌道切線方向,正方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的前進(jìn)方向；一根沿軌道法線方向，正方向指向軌道內(nèi)凹的一側(cè)。切向單位矢量法向單位矢量顯然，軌跡上各點(diǎn)處，坐標(biāo)軸的方位不斷變化。1.1自然坐標(biāo)系

由于質(zhì)點(diǎn)速度的方向一定沿著軌跡的切向，因此，自然坐標(biāo)系中可將速度表示為：由加速度的定義有切向加速度和法向加速度1.2自然坐標(biāo)系下的加速度ddsPPd切向加速度和法向加速度以圓周運(yùn)動(dòng)為例：

如圖，質(zhì)點(diǎn)在dt

時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷弧長(zhǎng)ds，對(duì)應(yīng)于角位移d

，切線的方向改變d角度。由矢量三角形法則可求出極限情況下切向單位矢的增量為即與P點(diǎn)的切向正交。因此P加速度即圓周運(yùn)動(dòng)的加速度可分解為兩個(gè)正交分量：at稱切向加速度，表示質(zhì)點(diǎn)速率變化的快慢；an稱法向加速度，反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢。切向加速度和法向加速度

上述加速度表達(dá)式對(duì)任何平面曲線運(yùn)動(dòng)都適用，但式中半徑R要用曲率半徑代替。總之,圓周運(yùn)動(dòng)的加速度可歸納如下：3.圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述角位置：角量運(yùn)動(dòng)方程角位移：平均角速度：角速度：角加速度：ROx線量與角量之間的關(guān)系

圓周運(yùn)動(dòng)既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

+00+t+tBtA

圖示

一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的角位移為，則A、B間的有向線段與弧將滿足下面的關(guān)系兩邊同除以t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：線量與角量之間的關(guān)系

上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：線量與角量之間的關(guān)系法向加速度也叫向心加速度。角量與線量的關(guān)系(2)質(zhì)