彈性力學(xué) 第4章(1,2,3節(jié))

1第4章平面問題的極坐標(biāo)解答彈性力學(xué)

ElasticityChapter4.Solutionsofplaneproblemsinpolarcoordinates4.1極坐標(biāo)下的平衡方程一、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系Pxyoyxr直角坐標(biāo)P(x,y)極坐標(biāo)P(r，)r－向徑，－極角求解平面問題時，對于圓，楔，扇型構(gòu)件，因?yàn)闃O坐標(biāo)使其邊界與坐標(biāo)線一致，因而使邊界條件簡單，使問題易于求解。4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程二、極坐標(biāo)中應(yīng)力與體力分量研究構(gòu)件在極坐標(biāo)中的受力狀態(tài)：取一微元體［用一對r坐標(biāo)線和一對j坐標(biāo)線］記號：徑向應(yīng)力：(正應(yīng)力)(剪應(yīng)力)符號規(guī)定和直角坐標(biāo)的情況相同。環(huán)向應(yīng)力：(正應(yīng)力)(剪應(yīng)力)應(yīng)力分量體力分量體力的徑向投影：體力的切向投影：4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1極坐標(biāo)下的平衡方程三、平衡微分方程極坐標(biāo)下的平衡微分方程可以通過坐標(biāo)變換直接由直角坐標(biāo)下的平衡微分方程得到。為了加深對極坐標(biāo)下的應(yīng)力應(yīng)變的理解，這里仍舊由單元體的平衡來推導(dǎo)。研究對象：微元體厚度為1四邊長度分別為:rdj,(r+dr)dj,dr,dr體力為4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1極坐標(biāo)下的平衡方程整理，略去高微量，除以r

dr

dj，利用剪應(yīng)力互等定理，有：4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1極坐標(biāo)下的平衡方程三、平衡微分方程同理平衡微分方程：

4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1極坐標(biāo)下的平衡方程三、平衡微分方程（4-1）4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程一、極坐標(biāo)中的應(yīng)變分量與位移分量1、應(yīng)變分量：2、位移分量uj–徑向位移ur-環(huán)向位移4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程二.幾何方程（1）位移分兩步來分析研究平面彈性體在極坐標(biāo)下的變形urA'AdrPyj0xdjrB'p'B各點(diǎn)坐標(biāo)為各點(diǎn)位移列表點(diǎn)徑向位移環(huán)向位移000PAB第一步：PA、PB只有徑向位移（不考慮環(huán)向位移）取徑向線段PA=dr取環(huán)向線段PB=rdjPAP’A’PBP’B’4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程ur由徑向位移產(chǎn)生的應(yīng)變分量：

徑向線PA的正應(yīng)變：(a)

環(huán)向PB的正應(yīng)變：(b)0BPP'A'B'jxydjrdrAB1點(diǎn)徑向位移環(huán)向位移000PAB

徑向線PA的轉(zhuǎn)角：

(c)環(huán)向線PB的轉(zhuǎn)角：(d)故剪應(yīng)變:(e)β4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程第二步：PA、PB只有環(huán)向位移（不考慮徑向位移）jdrP'A'B'droxyuA2P''A''B''A1000點(diǎn)徑向位移環(huán)向位移4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程jdrP'A'B'droxyujA2P''A''B''A14.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程000點(diǎn)徑向位移環(huán)向位移徑向線P‘A‘線應(yīng)變：環(huán)向P‘B‘線應(yīng)變：徑向線P’A’轉(zhuǎn)角：角A2P”A”環(huán)向線P‘B’的轉(zhuǎn)角：

故，剪應(yīng)變：（2）疊加后，總的徑向正應(yīng)變、環(huán)向正應(yīng)變、剪應(yīng)變?yōu)閹缀畏匠淌怯蓮较蛭灰飘a(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)變；是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度；4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程（4-2）三、

物理方程由于極坐標(biāo)也是正交坐標(biāo)系，故物理方程形式不變：平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.2幾何方程與物理方程4.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程（4-3）見（4-4）4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程直角坐標(biāo)系中，不計體力，應(yīng)力分量與Airy應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系是現(xiàn)在，將徑向r方向取為x軸，將切向j方向取為y軸，如圖示。則有4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程將變換為對極坐標(biāo)求導(dǎo)，并令j=0，就得出極坐標(biāo)系中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式。

4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程所以，有1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式繼續(xù)進(jìn)行求導(dǎo)，有得出4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式得出同理4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式得出同理4.2幾何方程與物理方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4.4坐標(biāo)變換式4.5軸對稱問題4.6圓環(huán)和圓筒4.7壓力隧洞4.8應(yīng)力集中4.9半平面體受集中力4.10半平面體受分布力4.1平衡方程4.3應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1．極坐標(biāo)下應(yīng)力分量表達(dá)式最后，得出極坐標(biāo)系下，應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式為