控制3 時域分析

補(bǔ)充：拉氏反變換一、拉氏反變換的定義式：二、拉氏反變換的求法：

1、直接查拉氏反變換表例1：求的拉氏反變換。解：例2：求的拉氏反變換。解：2、工程上常用方法(通過部分分式展開法求其反變換）象函數(shù)F(s)一般可表示為如下兩個s多項式比的形式:

為了將F(s)寫成部分分式形式,首先把F(s)的分母因式分解:（1）只含不同單極點的情況:

即A(s)=0無重根。F(s)可展開為n個簡單的部分分式之和：例3：求的拉氏反變換。解：例4：求的拉氏反變換。解：（2）含多重極點的情況即A(s)=0有重根。設(shè)A(s)=0有r個重根p1，則F(s)可寫成：例5：求的拉氏反變換。解：例6：求的拉氏反變換。解：三、拉氏變換的應(yīng)用：

微分方程式復(fù)域的代數(shù)方程式時域的解復(fù)域的解拉氏變換拉氏反變換代數(shù)運算解微分方程式x(t)y(t)X(s)Y(s)y(t)Y(s)例7：解方程解：第三章時間響應(yīng)分析

建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，就可采用各種方法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析?？刂葡到y(tǒng)的時域分析包括三個方面：穩(wěn)定性，暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)時域響應(yīng)——在某一個輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解?？刂葡到y(tǒng)的時域響應(yīng)的性質(zhì)，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號的形式。

時域分析法的特點:

它根據(jù)系統(tǒng)微分方程，通過拉氏變換，直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)。依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及時間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)控制性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。這是一種直接方法，而且比較準(zhǔn)確，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。第一節(jié)時間響應(yīng)及其組成例:m--k系統(tǒng)在外力Fcosωt作用下其微分方程為:其解為:y(t)=y1(t)+y2(t)

即通解+特解

y1(t)=Asinωnt+Bcosωnty2(t)=Ycosωt

代入求解得

完全解為

代入初始條件，A,B可求得

系統(tǒng)的時間響應(yīng)分類：1、按振動性質(zhì)分：（1）、自由響應(yīng)：是由固有頻率ωn構(gòu)成的振蕩。（2）、強(qiáng)迫響應(yīng)：是由外加頻率ω引起的振蕩。2、按振動來源分：

（1）、零輸入響應(yīng)：是由系統(tǒng)的初始條件引起的自由響應(yīng)。（2）、零狀態(tài)響應(yīng)：在系統(tǒng)的初始條件為零而僅由輸入引起的響應(yīng)。

第二節(jié)典型輸入信號單位階躍函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位斜坡函數(shù)單位拋物線函數(shù)正弦函數(shù)

在實際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號是多種多樣的。為了簡化問題，在分析系統(tǒng)時，采用典型的輸入信號。常用的典型輸入信號有以下５種：1.單位階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)u(t)t01表示輸入量的一個瞬間突變過程。2.單位脈沖函數(shù)

δ(t)單位脈沖函數(shù)t0可視為一個持續(xù)時間極短的信號。單位脈沖函數(shù)的積分就是單位階躍函數(shù)．3.單位斜坡函數(shù)（或單位速度函數(shù)）單位斜坡函數(shù)r(t)t0

表示由零值開始隨時間t作線性增長的信號。單位斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是單位階躍函數(shù)。4.單位拋物線函數(shù)(單位加速度函數(shù))

xi(t)t0單位加速度函數(shù)

是一種拋物線函數(shù)，函數(shù)值隨時間以等加速度增長。5、正弦函數(shù)xi(t)at0a為振幅,ω為角頻率.正弦函數(shù)

系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)，在第四章將專門討論，這一章僅討論系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)，也就是時域響應(yīng)。第三節(jié)一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

可用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng).其微分方程的一般形式為T稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，它與外界無關(guān)，是一階系統(tǒng)的固有特性。下面分析系統(tǒng)在零初始條件下對典型輸入信號的響應(yīng)

一、單位脈沖響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位脈沖輸入δ(t)作用下的響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)w(t)。

曲線有兩個重要的特征點：（1）A點，t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng)w(t)衰減到初值的36.8%；（2）零點，t=0時，曲線的切線斜率等于-1/T2。系統(tǒng)的過渡過程時間為4T。

A二、單位階躍響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位階躍輸入u(t)作用下的響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)函數(shù)xou(t)。

曲線有兩個重要的特征點：（1）A點，t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng)xou(t)達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值63.2%；（2）零點，t=0時，曲線的切線斜率等于1/T。系統(tǒng)的過渡過程時間為4T?？梢娨浑A系統(tǒng)的時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T↓，響應(yīng)快。

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)可以看出，系統(tǒng)對某信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。反之，系統(tǒng)對某信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。結(jié)論：了解一種典型信號的響應(yīng)，就可知道其它信號作用下的響應(yīng)。例1、已知系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)和單位階躍響應(yīng)函數(shù)。解：例2、若某系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。解法1：解法2：第四節(jié)二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)定義：可用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的微分方程為

式中，稱為無阻尼固有頻率，稱為阻尼比。它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),表明系統(tǒng)本身的固有特性。

二階系統(tǒng)的特征方稱為

此方程的兩個特征根為

s1,s2完全取決于，n兩個參數(shù)。（1）當(dāng)0＜ξ＜1時，兩特征根為共軛復(fù)數(shù)，即ojω-ξωns1σs2

此時,系統(tǒng)稱為欠阻尼系統(tǒng),是衰減振蕩系統(tǒng)。toxo(t)（2）當(dāng)ξ=0時，兩特征根為共軛純虛根，即0jωωns1σs2

此時,系統(tǒng)稱為無阻尼系統(tǒng),是等幅振蕩系統(tǒng)。t0xo(t)（3）當(dāng)ξ=1時，特征方程有兩個相等的負(fù)實根，即ojω-ωns1(s2)σ

此時,系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng),是無振蕩系統(tǒng)。toxo(t)（4）當(dāng)ξ＞1時，特征方程有兩個不等的負(fù)實根，即ojωs1σs2

此時,系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng),是無振蕩系統(tǒng)。toxo(t)一．二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)(1)當(dāng)0＜ξ＜1，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時,（t≥0）(2)當(dāng)ξ=0,系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時,(3)當(dāng)ξ=1,系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時,(4)當(dāng)ξ>1,系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時,

二、系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(1)當(dāng)0＜ξ＜1，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時,

或

(2)當(dāng)ξ=0,系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時

(3)當(dāng)ξ=1,系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時(4)當(dāng)ξ>1,系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時

二階系統(tǒng)有兩個參數(shù)和，阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。從圖可見：（１）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到１以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（２）之間時，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（３）在無振蕩時，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（４）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時間長。

取橫坐標(biāo)為，不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：例3、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)。解法1：解法2：(三)二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo):(1)上升時間tr(2)

峰值時間tp(3)最大超調(diào)量Mp(4)調(diào)整時間ts(5)振蕩次數(shù)N

二階系統(tǒng)的特征參量和對系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響?，F(xiàn)在針對阻尼（0＜ξ＜1

）的情況，討論瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。1、上升時間tr：響應(yīng)曲線首次由零上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時間。2、峰值時間tp

：響應(yīng)曲線第一次出現(xiàn)峰值的時間。3、最大超調(diào)量MpΔ=2%時,ts≈4/(ξωn)Δ=5%時,ts≈3/(ξωn)

階躍響應(yīng)曲線開始進(jìn)入偏離穩(wěn)態(tài)值±Δ的誤差范圍(一般Δ為5%或2%),并從此不超越這個范圍的時間稱為系統(tǒng)的調(diào)整時間,也叫過渡過程時間。4.調(diào)整時間ts5.振蕩次數(shù)N

在過渡過程時間ts內(nèi)，xo(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。系統(tǒng)的震蕩周期是2π/ωd，所以其震蕩次數(shù)為:

解：例1、已知xi(t)=8.9N，求m、k、cR(s)C(s)-

例2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)MP=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量

tr,ts。

（1）求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)（1）求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)（2）確定系統(tǒng)參數(shù)表達(dá)式R(s)C(s)-

例2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)MP=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量

tr,ts。

（1）求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)（2）確定系統(tǒng)參數(shù)表達(dá)式（3）求系統(tǒng)參數(shù)值R(s)C(s)-

例2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)MP=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量

tr,ts。

（1）求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)（2）確定系統(tǒng)參數(shù)表達(dá)式（3）求系統(tǒng)參數(shù)值R(s)C(s)-

例2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)MP=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量

tr,ts。

（1）求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)（2）確定系統(tǒng)參數(shù)表達(dá)式（3）求系統(tǒng)參數(shù)值（4）根據(jù)ζ，ωn計算其它指標(biāo)R(s)C(s)-

例2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)MP=20%,tP=1(s),試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量

tr,ts。

R(s)C(s)-

例3設(shè)角度隨動系統(tǒng)如圖所示。圖中K為開環(huán)增益，τ=0.1(s)為伺服電機(jī)時間常數(shù)。若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，問K應(yīng)取多大？根據(jù)題意取ζ=1，第五節(jié)系統(tǒng)誤差分析與計算(一)系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差ε(t)1.誤差e(t)定義為

e(t)=xor(t)–xo(t)

式中xor(t)是系統(tǒng)所希望的輸出;xo(t)是實際輸出.

上式拉氏變換為E1(s)=Xor(s)–Xo(s)2.偏差ε(t)定義為

ε(t)=xi(t)–b(t)

上式拉氏變換為E(s)=Xi(s)–B(s)

=Xi(s)–H(s)Xo(s)3.偏差E(s)與誤差E1(s)之間的關(guān)系:當(dāng)Xor(s)=Xo(s)時,E(s)=0

即E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=Xi(s)–H(s)Xor(s)=0

所以Xi(s)=H(s)Xor(s)

或Xor(s)=Xi(s)/H(s)故E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=H(s)Xor(s)–H(s)Xo(s)=H(s)[Xor(s)–Xo(s)]=H(s)E1(s)

或E1(s)=E(s)/H(s)

當(dāng)H(s)=1時,E1(s)=E(s)(二)誤差e(t)的一般計算

在一般情況下，設(shè)輸入Xi(s)與干擾N(s)同時作用于系統(tǒng)。(三)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差的定義為由拉氏變換的終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差的定義為四、與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差υ為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。

υ=0,1,2分別稱為0型，1型和2型系統(tǒng)。（1）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差結(jié)論：

（1）當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳函中無積分環(huán)