材料力學(xué) 第二章 軸向拉伸與壓縮(上交)

材料力學(xué)第二章軸向拉伸與壓縮拉伸與壓縮一、軸向拉伸與壓縮概念與實(shí)例材料力學(xué)由二力桿組成的橋梁桁架拉伸與壓縮軸向拉壓的工程實(shí)例：材料力學(xué)由二力桿組成的桁架結(jié)構(gòu)拉伸與壓縮軸向拉壓的工程實(shí)例：材料力學(xué)軸向拉壓的概念：F1F1F2ABCF（2）變形特點(diǎn)：桿沿軸線(xiàn)方向伸長(zhǎng)或縮短。（1）受力特點(diǎn)：外力合力作用線(xiàn)與桿軸線(xiàn)重合。F2材料力學(xué)二、橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力拉伸與壓縮材料力學(xué)FF軸向拉壓拉伸與壓縮FF軸力—通過(guò)橫截面形心且垂直于橫截面作用的內(nèi)力。——軸力，單位：牛頓（N）軸力正負(fù)號(hào)規(guī)定：軸力以拉為正，以壓為負(fù)。

同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)材料力學(xué)F2FF2FFFe軸向拉伸和彎曲變形材料力學(xué)應(yīng)力—分布內(nèi)力在截面內(nèi)一點(diǎn)的密集程度拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力FF11F應(yīng)力的合力=該截面上的內(nèi)力確定應(yīng)力的分布是靜不定問(wèn)題材料力學(xué)研究方法：實(shí)驗(yàn)觀察作出假設(shè)理論分析實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1、實(shí)驗(yàn)觀察FFabcd變形前：變形后：2、假設(shè):橫截面在變形前后均保持為一平面——平面截面假設(shè)。橫截面上每一點(diǎn)的軸向變形相等。拉伸與壓縮/橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力材料力學(xué)3、理論分析橫截面上應(yīng)力為均勻分布，以表示。FFFN=FFF拉伸與壓縮/橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力根據(jù)靜力平衡條件：即4、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證材料力學(xué)FF331122FFF的適用條件:1、只適用于軸向拉壓桿件。2、只適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面。正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。材料力學(xué)拉伸與壓縮/橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圣維南原理：

作用于桿上的外力可以用其等效力系代替，但替換后外力作用點(diǎn)附近的應(yīng)力分布將產(chǎn)生顯著影響，且分布復(fù)雜，其影響范圍不超過(guò)桿件的橫向尺寸。外力的等效外力對(duì)內(nèi)力的影響區(qū)域標(biāo)材料力學(xué)

三、斜截面上的應(yīng)力材料力學(xué)FFF拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力n(1)內(nèi)力確定：材料力學(xué)F式中為斜截面的面積，

為橫截面上的應(yīng)力。實(shí)驗(yàn)證明：斜截面上既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力， 且應(yīng)力為均勻分布。(2)應(yīng)力確定：材料力學(xué)nFFn

為橫截面上的應(yīng)力。Fn材料力學(xué)3、正負(fù)號(hào)規(guī)定：：橫截面外法線(xiàn)轉(zhuǎn)至斜截面的外法線(xiàn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)；：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；：對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)；拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力nF材料力學(xué)1、2、即橫截面上的正應(yīng)力為桿內(nèi)正應(yīng)力的最大值，而剪應(yīng)力為零。即與桿件成45°的斜截面上剪應(yīng)力達(dá)到最大值，而正應(yīng)力不為零。3、即縱截面上的應(yīng)力為零，因此在縱截面不會(huì)破壞。4、拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力4、斜截面上最大應(yīng)力值的確定材料力學(xué)拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力剪應(yīng)力互等定理：二個(gè)相互垂直的截面上，剪應(yīng)力大小相等，方向相反。5、剪應(yīng)力互等定理材料力學(xué)

例題2-1

階段桿OD

，左端固定，受力如圖，OC段的橫截面面積是CD段橫截面面積A的2倍。求桿內(nèi)最大軸力，最大正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力與所在位置。O3F4F2FBCD拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力221133材料力學(xué)O3F4F2FBCD解：1、計(jì)算左端支座反力2、分段計(jì)算軸力221133O4FB22(壓)拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力材料力學(xué)O3F4F2FBCD3F-圖2F-F++-（在OB段）拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力注意:在集中外力作用的截面上，軸力圖有突變，突變大小等于集中力大小.2211333、作軸力圖——表示軸力沿桿件軸線(xiàn)變化規(guī)律的圖線(xiàn)。材料力學(xué)4、分段求（在CD段）5、求（在CD段與桿軸成45°的斜面上）拉伸與壓縮/斜截面上的應(yīng)力O3F4F2FBCD1133材料力學(xué)三、拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)

桿件中的應(yīng)力隨著外力的增加而增加，當(dāng)其達(dá)到某一極限時(shí)，材料將會(huì)發(fā)生破壞，此極限值稱(chēng)為極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力，以表示。工作應(yīng)力拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)引入安全因數(shù)n

，定義（材料的許用應(yīng)力）（n>1）拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算引入安全系數(shù)的原因：1、作用在構(gòu)件上的外力常常估計(jì)不準(zhǔn)確；2、構(gòu)件的外形及所受外力較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)需進(jìn)行簡(jiǎn)化，因此工作應(yīng)力均有一定程度的近似性；3、材料均勻連續(xù)、各向同性假設(shè)與實(shí)際構(gòu)件的出入，且小試樣還不能真實(shí)地反映所用材料的性質(zhì)等。材料力學(xué)構(gòu)件拉壓時(shí)的強(qiáng)度條件材料力學(xué)可以解決三類(lèi)問(wèn)題：1、選擇截面尺寸;例如已知，則2、確定最大許可載荷，如已知，則3、強(qiáng)度校核。如已知，則<=>拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)12CBA1.5m2mF

例題2-2

圖示結(jié)構(gòu)，鋼桿1：圓形截面，直徑d=16mm,許用應(yīng)力；桿2：方形截面，邊長(zhǎng)a=100mm,,(1)當(dāng)作用在B點(diǎn)的載荷F=2噸時(shí)，校核強(qiáng)度；(2)求在B點(diǎn)處所能承受的許用載荷。解：一般步驟：外力內(nèi)力應(yīng)力利用強(qiáng)度條件校核強(qiáng)度拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)F1、計(jì)算各桿軸力21解得拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算12CBA1.5m2mFB材料力學(xué)2、F=2

噸時(shí)，校核強(qiáng)度1桿：2桿：因此結(jié)構(gòu)安全。拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)3、F

未知，求許可載荷[F]各桿的許可內(nèi)力為兩桿分別達(dá)到許可內(nèi)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的載荷1桿拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)2桿：確定結(jié)構(gòu)的許可載荷為分析討論：

和是兩個(gè)不同的概念。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)中各桿并不同時(shí)達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)，所以其許可載荷是由最先達(dá)到許可內(nèi)力的那根桿的強(qiáng)度決定。拉伸與壓縮/拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料力學(xué)四、軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)1、軸向伸長(zhǎng)（縱向變形）lFF縱向的絕對(duì)變形縱向的相對(duì)變形（軸向線(xiàn)變形）b拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)2、虎克定律實(shí)驗(yàn)證明：引入比例常數(shù)E,則（虎克定律）E——表示材料彈性性質(zhì)的一個(gè)常數(shù)，稱(chēng)為拉壓彈性模量，亦稱(chēng)楊氏模量。單位：Mpa、Gpa.例如一般鋼材:E=200GPa。拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)虎克定律另一形式：EA——桿件的抗拉壓剛度拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)(OB段、BC段、CD段長(zhǎng)度均為l.)

虎克定律的適用條件：（1）材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作，即（稱(chēng)為比例極限）；（2）在計(jì)算桿件的伸長(zhǎng)l

時(shí)，l長(zhǎng)度內(nèi)其均應(yīng)為常數(shù)，否則應(yīng)分段計(jì)算或進(jìn)行積分。例如O3F4F2FBCD221133材料力學(xué)應(yīng)分段計(jì)算總變形。即拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)2）考慮自重的混凝土的變形。q3、橫向變形泊松比b橫向的絕對(duì)變形橫向的相對(duì)變形（橫向線(xiàn)變形）拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)證明：或稱(chēng)為泊松比，如一般鋼材，=0.25-0.33。4、剛度條件（許用變形）

根據(jù)剛度條件，可以進(jìn)行剛度校核、截面設(shè)計(jì)及確定許可載荷等問(wèn)題的解決。拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)5、桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的變形通常以節(jié)點(diǎn)位移表示。12CBA1.5m2mF求節(jié)點(diǎn)B的位移。FB解：1、利用平衡條件求內(nèi)力拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形已知材料力學(xué)12BAC2、沿桿件方向繪出變形注意：變形必須與內(nèi)力一致。拉力伸長(zhǎng)；壓力縮短3、以垂線(xiàn)代替圓弧，交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)新位置。4、根據(jù)幾何關(guān)系求出水平位移（）和垂直位移（）。拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)12BAC1.5m2mD已知拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)例題2-3

已知AB大梁為剛體，拉桿直徑d=2cm,E=200GPa,[]=160MPa.求：(1)許可載荷[F],（2）B點(diǎn)位移。CBAF0.75m1m1.5mD拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)F1m1.5mBAD解：(1)由CD桿的許可內(nèi)力許可載荷[F]由強(qiáng)度條件：由平衡條件：拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)(2)、B點(diǎn)位移CBAF0.75m1m1.5mD拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)例題2-4圖示為一懸掛的等截面混凝土直桿，求在自重作用下桿的內(nèi)力、應(yīng)力與變形。已知桿長(zhǎng)l、A、比重（）、E。解：（1）內(nèi)力mmxmmx由平衡條件：l拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形dx材料力學(xué)xolmmxx（2）應(yīng)力由強(qiáng)度條件：拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)x（3）變形取微段dx截面m-m處的位移為：dxmm桿的總伸長(zhǎng)，即相當(dāng)于自由端處的位移：拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)

五、材料的力學(xué)性能材料力學(xué)材料的力學(xué)性能——材料受力以后變形和破壞的規(guī)律。即：材料從加載直至破壞整個(gè)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的反映材料變形性能、強(qiáng)度性能等特征方面的指標(biāo)。比例極限、楊氏模量E、泊松比、極限應(yīng)力等。

(一)、低炭鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低炭鋼——含炭量在0.25%以下的碳素鋼。試驗(yàn)設(shè)備拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)試驗(yàn)設(shè)備材料力學(xué)試件:(a)圓截面標(biāo)準(zhǔn)試件：l=10d(10倍試件)或l=5d(5倍試件)(b)矩形截面標(biāo)準(zhǔn)試件(截面積為A）：拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)試驗(yàn)原理：拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)低炭鋼Q235拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變圖拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能彈性階段(OAB段)比例極限彈性極限楊氏模量E變形均為彈性變形，且滿(mǎn)足Hook`sLaw。AB材料力學(xué)屈服階段屈服極限低炭鋼Q235拉伸曲線(xiàn)的四個(gè)階段拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料暫時(shí)失去抵抗變形的能力。材料力學(xué)低炭鋼Q235拉伸曲線(xiàn)的四個(gè)階段強(qiáng)化階段強(qiáng)度極限拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料又恢復(fù)并增強(qiáng)了抵抗變形的能力。材料力學(xué)低炭鋼Q235拉伸曲線(xiàn)的四個(gè)階段斷裂階段斷裂拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)卸載與重新加載行為卸載低炭鋼Q235拉伸時(shí)的力學(xué)行為卸載定律：在卸載過(guò)程中，應(yīng)力與應(yīng)變滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系。拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)卸載與再加載行為再加載低炭鋼Q235拉伸時(shí)的力學(xué)行為斷裂拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能冷作(應(yīng)變)硬化現(xiàn)象：應(yīng)力超過(guò)屈服極限后卸載，再次加載，材料的比例極限提高，而塑性降低的現(xiàn)象。材料力學(xué)塑性性能指標(biāo)（1）延伸率——斷裂時(shí)試驗(yàn)段的殘余變形，l——試件原長(zhǎng)5%的材料為塑性材料；5%的材料為脆性材料。（2）截面收縮率——斷裂后斷口的橫截面面積，A——試件原面積低炭鋼Q235的截面收縮率60%。拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)塑性應(yīng)變等于0.2％時(shí)的應(yīng)力值.名義屈服應(yīng)力拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能p0.2材料力學(xué)(二)、低炭鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能試件：短柱l=(1.0~3.0)d拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能(1)彈性階段與拉伸時(shí)相同，楊氏模量、比例極限相同；(2)屈服階段，拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限相同，即(3)屈服階段后，試樣越壓越扁，無(wú)頸縮現(xiàn)象，測(cè)不出強(qiáng)度極限。材料力學(xué)(三)、脆性材料拉（壓）時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)拉伸：與無(wú)明顯的線(xiàn)性關(guān)系，拉斷前應(yīng)變很小.只能測(cè)得。抗拉強(qiáng)度差。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時(shí)的割線(xiàn)斜率來(lái)度量。破壞時(shí)沿橫截面拉斷。脆性材料拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能拉伸壓縮壓縮：，適于做抗壓構(gòu)件。破壞時(shí)破裂面與軸線(xiàn)成45°~55°。材料力學(xué)強(qiáng)度指標(biāo)(失效應(yīng)力)

脆性材料韌性金屬材料塑性材料脆性材料拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)問(wèn)題：1、試解釋鑄鐵在軸向壓縮破壞時(shí)破裂面與軸線(xiàn)成45o的原因（材料內(nèi)摩擦不考慮）。2、常見(jiàn)電線(xiàn)桿拉索上的低壓瓷質(zhì)絕緣子如圖所示。試根據(jù)絕緣子的強(qiáng)度要求，比較圖(a)圖(b)兩種結(jié)構(gòu)的合理性。FF（a）FF（b）拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)(四)、軸向拉壓應(yīng)變能PLL

oLBPA式中——軸力，A

——截面面積變形能（應(yīng)變能）:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲(chǔ)存的能量，以U表示。拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)應(yīng)變能密度——單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，以表示。拉伸與壓縮/材料的力學(xué)性能材料力學(xué)例題2-5

已知AB大梁為剛體，拉桿直徑d=2cm,E=200GPa,[]=160MPa.用能量法求B點(diǎn)位移。CBAF0.75m1m1.5mD拉伸與壓縮/軸向拉（壓）時(shí)的變形材料力學(xué)拉伸與壓縮/應(yīng)力集中FF

六、應(yīng)力集中材料力學(xué)F應(yīng)力集中——由于尺寸改變而產(chǎn)生的局部應(yīng)力增大的現(xiàn)象。拉伸與壓縮/應(yīng)力集中應(yīng)力集中因數(shù)為局部最大應(yīng)力，為削弱處的平均應(yīng)力。材料力學(xué)應(yīng)力集中因數(shù)K拉伸與壓縮/應(yīng)力集中與材料疲勞材料力學(xué)應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響對(duì)于脆性材料構(gòu)件，當(dāng)

smax＝sb

時(shí)，構(gòu)件斷裂對(duì)于塑性材料構(gòu)件，當(dāng)smax達(dá)到ss

后再增加載荷，

s

分布趨于均勻化，不影響構(gòu)件靜強(qiáng)度應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成與擴(kuò)展，對(duì)構(gòu)件

（塑性與脆性材料）的疲勞強(qiáng)度影響極大（a）靜載荷作用下：（b）動(dòng)載荷作用下：材料力學(xué)

七、簡(jiǎn)單拉壓超靜定問(wèn)題材料力學(xué)yxFN2FN1FPABDFP平衡方程為

靜定問(wèn)題與靜定結(jié)構(gòu)：未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)

=獨(dú)立的平衡方程數(shù)。拉伸與壓縮/簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題材料力學(xué)FPABDyxFN2FN1FP平衡方程為未知力個(gè)數(shù)：3平衡方程數(shù)：2未知力個(gè)數(shù)〉平衡方程數(shù)FN3拉伸與壓縮/簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題材料力學(xué)超靜定問(wèn)題與超靜定結(jié)構(gòu)：未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)。超靜定次數(shù)——未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差拉伸與壓縮/簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題FPABDBCADF材料力學(xué)為了求出超靜定結(jié)構(gòu)的全部未知力，除了利用平衡方程以外，還必須尋找補(bǔ)充方程，且使補(bǔ)充方程的數(shù)目等于多余未知力的數(shù)目。FPABD平衡方程+補(bǔ)充方程超靜定解法：建立補(bǔ)充方程的關(guān)鍵：根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程），再由物理方程（胡克定律），最后得到補(bǔ)充方程。材料力學(xué)例2-6設(shè)桿系結(jié)構(gòu)如圖，已