材料力學(xué)課件第四章

第四章彎曲應(yīng)力

桿件承受垂直于其軸線方向的外力,或在其軸線平面內(nèi)作用有外力偶時(shí),桿的軸線變?yōu)榍€.以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲。

§1對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖力學(xué)模型X桿軸縱向?qū)ΨQ面F1F2FAFB構(gòu)件幾何特征構(gòu)件為具有縱對(duì)稱面的等截面直桿yz形心受力特征橫向外力（或外力合力）或外力偶均作用在桿的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)變形特征桿件軸線變形后為外力作用面內(nèi)的平面曲線，或任意兩橫截面間繞垂直于外力作用面的某一橫向軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱彎曲構(gòu)件的幾何形狀、材料性能和外力作用均對(duì)稱于桿件的縱對(duì)稱面X桿軸縱向?qū)ΨQ面F1F2FAFB平面彎曲梁變形后的軸線所在平面與外力所在平面相重合

對(duì)稱彎曲必定是平面彎曲，而平面彎曲不一定是對(duì)稱彎曲。非對(duì)稱彎曲構(gòu)件不具有縱對(duì)稱面，或雖有縱對(duì)稱面但外力不作用在縱對(duì)稱面時(shí)的彎曲變形梁：以彎曲變形為主的桿件靜定梁支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁超靜定梁支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁梁按支承方法的分類懸臂梁3（2）簡支梁3（2）外伸梁3（2）固定梁6（4）連續(xù)梁4（3）半固定梁4（3）均勻分布荷載線性(非均勻)分布荷載分布荷載Me集中力偶集中力作用在梁上的載荷形式

§2梁的剪力和彎矩.剪力圖和彎矩圖FaABFAFBFAFsxM

使微段梁有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段梁產(chǎn)生向下凸變形的彎矩為正，反之為負(fù)。符號(hào)規(guī)定：Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0ACDB試確定截面C及截面D上的剪力和彎矩例題4.1ACCDBBD向上的外力引起正剪力，向下的外力引起負(fù)剪力；截開后取左邊為示力對(duì)象：向上的外力引起正彎矩，向下的外力引起負(fù)彎矩；順時(shí)針引起正彎矩，逆時(shí)針引起負(fù)彎矩。

向上的外力引起負(fù)剪力，向下的外力引起正剪力；截開后取右邊為示力對(duì)象：向上的外力引起正彎矩，向下的外力引起負(fù)彎矩；順時(shí)針引起負(fù)彎矩，逆時(shí)針引起正彎矩。求圖示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的內(nèi)力。例題4.2求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內(nèi)力1212343455例題4.3一長為2m的均質(zhì)木料，欲鋸下0.6m長的一段。為使在鋸開處兩端面的開裂最小，應(yīng)使鋸口處的彎矩為零，木料放在兩只鋸木架上，一只鋸木架放置在木料的一端，試問另一只鋸木架放置何處才能使木料鋸口處的彎矩為零。例題4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖ABFAFBx圖示懸臂梁AB,自由端受力F的作用,試作剪力圖和彎矩圖.例題4.5XkNkNm

圖示外伸梁,,試作剪力圖和彎矩圖.AB例題4.635kN25kNX1X22.5kNkNm分布荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用剪力圖是水平直線.彎矩圖是斜直線.彎矩圖是水平直線.剪力圖是斜直線.彎矩圖是二次拋物線.

若x1,x2兩截面間無集中力作用,則x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上兩截面之間分布荷載圖的面積.

若x1,x2兩截面間無集中力偶作用,則x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上兩截面之間剪力圖的面積.+-+例題4.74.8kNkNmkNkNm突變規(guī)律(從左向右畫)1、集中力作用處，F(xiàn)S圖突變，方向、大小與力同；M圖斜率突變，突變成的尖角與集中力F的箭頭是同向。2、集中力偶作用處，M圖發(fā)生突變，順下逆上，大小與M

同，F(xiàn)S圖不發(fā)生變化。作圖示梁的內(nèi)力圖例題4.9kNkNm4.51.55.5kNkNm例題4.10用直接法作圖示梁的內(nèi)力圖例題4.11kNmkNABCDADBCFBFB’FAMAFD例題4.12kNkNm疊加法作彎矩圖＋FqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL例題4.13+-+-例題4.14+-例題4.15+-結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷反對(duì)稱，則FS圖對(duì)稱，M圖反對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)稱，則FS圖反對(duì)稱，M圖對(duì)稱

§3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖剛架：由兩根或兩根以上的桿件組成的并在連接處采用剛性連接的結(jié)構(gòu)。橫梁立柱當(dāng)桿件變形時(shí)，兩桿連接處保持剛性，即角度（一般為直角）保持不變。在平面載荷作用下，組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力、剪力和彎矩三個(gè)內(nèi)力分量。求做圖示剛架的內(nèi)力圖qLLABCqLqL/2qL/2例題4.16求做圖示剛架的內(nèi)力圖2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm例題4.17等截面折桿ABC的A端固定在墻上,自由端承受集中力F=20kN.設(shè)L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,試作折桿的剪力和彎矩圖AL1L2F例題4.18C2rrABF圖示桿ABC由直桿和半圓組成,試作該桿的內(nèi)力圖.AB:BC:例題4.19

純彎曲：梁受力彎曲后，如其橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。

純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力

§4梁橫截面上的正應(yīng)力.梁的正應(yīng)力條件實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。平面假設(shè)：變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。MZ:橫截面上的彎矩y:到中性軸的距離IZ:截面對(duì)中性軸的慣性矩

長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。（壓）例題4.20

試計(jì)算圖示簡支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加以比較。200100豎放橫放例題4.21

圖示T形截面簡支梁在中點(diǎn)承受集中力F＝32kN，梁的長度L＝2m。T形截面的形心坐標(biāo)yc＝96.4mm，橫截面對(duì)于z軸的慣性矩Iz＝1.02×108mm4。求彎矩最大截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。例題4.22

梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)梁的某一截面：對(duì)全梁（等截面）：

長為2.5m的工字鋼外伸梁，如圖示，其外伸部分為0.5m，梁上承受均布荷載，q=30kN/m，試選擇工字鋼型號(hào)。已知工字鋼抗彎強(qiáng)度［σ］=215MPa。kNkNm查表N012.6工字鋼WZ=77.5cm3例題4.23

鑄鐵梁受荷載情況如圖示。已知截面對(duì)形心軸的慣性矩Iz=403×10－7m4，鑄鐵抗拉強(qiáng)度［σ＋］=50MPa，抗壓強(qiáng)度［σ－］=125MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。B截面C截面例題4.24如果T截面倒置會(huì)如何???

鑄鐵制作的懸臂梁，尺寸及受力如圖示，圖中F＝20kN。梁的截面為T字形，形心坐標(biāo)yc=96.4mm。已知材料的拉伸許用應(yīng)力和壓縮許用應(yīng)力分別為[σ]+＝40MPa，[σ]－＝100MPa。試校核梁的強(qiáng)度是否安全。AB例題4.25

為了起吊重量為F＝300kN的大型設(shè)備，采用一臺(tái)150kN和一臺(tái)200kN的吊車，以及一根工字形軋制型鋼作為輔助梁，組成臨時(shí)的附加懸掛系統(tǒng)，如圖示。如果已知輔助梁的長度l=4m，型鋼材料的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa

，試計(jì)算：1.F加在輔助梁的什么位置，才能保證兩臺(tái)吊車都不超載？2.輔助梁應(yīng)該選擇多大型號(hào)的工字鋼？輔助梁1.確定F加在輔助梁的位置FAFB令:例題4.26

為了起吊重量為F＝300kN的大型設(shè)備，采用一臺(tái)150kN和一臺(tái)200kN的吊車，以及一根工字形軋制型鋼作為輔助梁，組成臨時(shí)的附加懸掛系統(tǒng)，如圖示。如果已知輔助梁的長度l=4m，型鋼材料的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa

，試計(jì)算：1.F加在輔助梁的什么位置，才能保證兩臺(tái)吊車都不超載？2.輔助梁應(yīng)該選擇多大型號(hào)的工字鋼？輔助梁FAFB％％2.確定工字鋼型號(hào)

圖示結(jié)構(gòu)承受均布載荷，AC為10號(hào)工字鋼梁，B處用直徑d=20mm的鋼桿BD懸吊，梁和桿的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa。不考慮切應(yīng)力，試計(jì)算結(jié)構(gòu)的許可載荷[q]。FAFB梁的強(qiáng)度桿的強(qiáng)度例題4.27

驗(yàn)算題圖所示廣告牌立柱的強(qiáng)度。已知風(fēng)載設(shè)計(jì)值為0.5kN/m2，工字鋼立柱的［σ］＝215MPa。查表:例題4.28

試對(duì)圖示結(jié)構(gòu)布置圖中的L－2梁進(jìn)行截面選擇。兩梁均采用工字鋼截面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上簡支板的荷載設(shè)計(jì)值為3.5kN/m2。查表:I36a例題4.29簡支梁如圖所示，試求梁的最底層纖維的總伸長。例題4.30解：1、計(jì)算梁底層微段的伸長量2、梁的最底層纖維的總伸長

承受相同彎矩Mz的三根直梁，其截面組成方式如圖所示。圖（a）的截面為一整體；圖（b）的截面由兩矩形截面并列而成（未粘接）；圖（c）的截面有兩矩形截面上下疊合而成（未粘接）。三根梁中的最大正應(yīng)力分別為σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。關(guān)于三者之間的關(guān)系有四種答案，試判斷哪一種是正確的。例題4.31(a)(b)(c)zzzzB

§5梁橫截面上的切應(yīng)力.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件kNkNm一、矩形截面梁的切應(yīng)力假設(shè)：1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的zyFsFs–橫截面上的剪力；IZ–截面對(duì)中性軸的慣性矩；b–截面的寬度；

SZ＊

–寬度線一側(cè)的面積對(duì)中性軸的靜矩.

矩形截面簡支梁，加載于梁中點(diǎn)C，如圖示。

求σmax,τmax

。細(xì)長等值梁例題4.32二、工字形截面梁的切應(yīng)力

橫截面上的切應(yīng)力(95--97)％由腹板承擔(dān),而翼緣僅承擔(dān)了(3--5)％,且翼緣上的切應(yīng)力情況又比較復(fù)雜.為了滿足實(shí)際工程中計(jì)算和設(shè)計(jì)的需要僅分析腹板上的切應(yīng)力.hh0t三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力zydDdA為圓環(huán)形截面面積

如圖所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F(xiàn)1=12kN，F(xiàn)2=18kN，形心主慣性矩IZ=39800cm4。（1）試求梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力及其所在的位置；（2）若該梁是由兩個(gè)矩形截面的厚板條沿圖示截面上的ab線（實(shí)際是一水平面）膠合而成，為了保證該梁的膠合連接強(qiáng)度，水平接合面上的許用切應(yīng)力值是多少？ABCDBB最大拉應(yīng)力發(fā)生在B截面上最大壓應(yīng)力發(fā)生在Fs=0的截面上ab線上最大切應(yīng)力發(fā)生在BC段

例題4.33

梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，該處的切應(yīng)力為零，即正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)；

最大切應(yīng)力通常發(fā)生在最大剪力截面的中性軸處，該處的正應(yīng)力為零，即切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)；兩個(gè)尺寸完全相同的矩形截面梁疊加在一起承受荷載如圖示,若材料許用應(yīng)力為[σ],其許可荷載[F]為多少?如將兩根梁用一個(gè)螺栓聯(lián)成一整體,則其許可荷載[F]為多少?若螺栓材料許用切應(yīng)力為[τ],求螺栓的最小直徑.

例題4.34兩梁疊加:兩梁用螺栓連接兩梁只有一個(gè)中性軸將兩個(gè)梁連接成一個(gè)整體后,承載能力提高一倍.梁中性層處切應(yīng)力中性層剪力

§6梁的合理設(shè)計(jì)一、合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值1.梁的合理截面

工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圓形截面合理2.根據(jù)材料特性選擇截面對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面二、合理布置梁的形式和荷載，以降低最大彎矩值1.合理布置梁的支座2.適當(dāng)增加梁的支座3.改善荷載的布置情況+三、采用變截面梁四、合理利用材料鋼筋混凝土材料在合理使用材料方面是最優(yōu)越的

矩形截面簡支梁由圓形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10MPa，試確定此矩形截面h/b的最優(yōu)比值，使其截面的抗彎截面系數(shù)具有最大值，并計(jì)算所需圓木的最小直