線性空間和線性映射

關于線性空間和線性映射第一頁，共一百頁，2022年，8月28日本章知識要點線性空間：維數、基、坐標、基變換、坐標變換；線性空間的分解：子空間、值域(列空間)與核空間(零空間)、秩與零度、子空間的交、和與直和；線性變換及其矩陣表示：定義、運算、值域與核空間、秩與零度、相似類、特征值與特征向量、不變子空間、Jordan標準形;歐氏空間和酉空間：內積、度量矩陣、正交、標準正交基、正交分解與正交補、正交變換與正交矩陣、對稱變換與對稱矩陣、Hermite變換與Hermite矩陣、正規(guī)矩陣與可對角化、譜分解。Hibert空間：平方可積空間和平方可和空間。第二頁，共一百頁，2022年，8月28日集合集合元素、子集、集合相等、運算（交、并、補）例：數域是一個集合含有加法+和乘法*含有元素0，滿足對任何元素a，有a+0=a；含有1，滿足對任何元素a，有a*1=a；任何元素a存在負元素b，滿足a+b=0；非零元素a存在逆元素b，滿足a*b=1；對加法和乘法封閉常用數域有：有理數域、實數域、復數域第三頁，共一百頁，2022年，8月28日映射映射：集合S到集合S‘的一個映射是指一個法則(規(guī)則)f:S→S’，對S中任何元素a，都有S’中的元素a‘與之對應，記為：f(a)=a’或a→a’。一般稱a’為a的象，a為a’的原象。變換：若S=S‘，則稱映射為變換。映射的相等：設有兩個映射f:S→S’和g:S→S’，若第任何元素a∈S都有f(a)=g(a)則稱f與g相等。映射的乘積(復合)：若f:S1

→S2和g:S2→S3，則映射的乘積g○f

定義為：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情況下，簡記g○f

為

gf

第四頁，共一百頁，2022年，8月28日映射的例子例子1：設集合S是數域F上所有方陣的集合，則

f(A)=det(A)

為S到F的映射。例2：設S為次數不超過n的多項式構成的集合，則求導運算：δ(f(t))=f’(t)為S到S的變換。例3：S為平方可積函數構成的集合，則傅里葉變換：

為S到S上的一個變換。第五頁，共一百頁，2022年，8月28日線性空間的定義定義：設V是一個非空的集合，F是一個數域，在集合V中定義兩種代數運算,一種是加法運算，用+來表示，另一種是數乘運算,用?來表示,并且這兩種運算滿足下列八條運算律：（1）加法交換律：α+β=β+α（2）加法結合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V

中存在一個元素0，使得對于任意的α∈V都有

α+0=α（4）對于V中的任意元素α都存在一個元素β使得：α+β=0第六頁，共一百頁，2022年，8月28日線性空間的定義（續(xù)）（5）數1：對α∈V，有：

1?α=α（6）對k,l∈F,α∈V有：(kl)?α=k

?(l

?α)（7）對k,l∈F,α∈V有：(k+l)?α=k

?α+l

?α（8）對k∈F,α,β∈V有：k

?(α+β)=k

?α+k

?β稱這樣的集合V為數域F上的線性空間?？梢宰C明：零元素唯一，每個元素的負元素都是唯一的。第七頁，共一百頁，2022年，8月28日線性空間的例子例1：全體實函數集合RR構成實數域R上的線性空間。例2：復數域C上的全體m×n

階矩陣構成的集合Cm×n

為C上的線性空間。例3：實數域R上全體次數小于或等于n的多項式集合R[x]n

構成實數域R上的線性空間。例4：全體正的實數R+

在下面的加法與數乘的定義下構成實數域上的線性空間：對任意k∈R,a,b∈R+

第八頁，共一百頁，2022年，8月28日

例5：R∞表示實數域R上的全體無限序列組成的的集合。即線性空間的例子（續(xù)）則R∞

為實數域R上的一個線性空間。在R∞中定義加法與數乘：第九頁，共一百頁，2022年，8月28日例6

在中滿足Cauchy條件的無限序列組成的子集合也構成R上的線性空間。Cauchy條件是：使得對于都有線性空間的例子（續(xù)）例7

在中滿足Hilbert條件的無限序列組成的子集合構成R上的線性空間。

Hilbert條件是：級數收斂第十頁，共一百頁，2022年，8月28日線性空間的基本概念及其性質

基本概念：線性組合；線性表示；線性相關；線性無關；向量組的極大線性無關組；向量組的秩?；拘再|：

（1）含有零向量的向量組一定線性相關；（2）整體無關則部分無關；部分相關則整體相關；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價的向量組秩相同。第十一頁，共一百頁，2022年，8月28日例1

實數域R上的線性空間RR中，函數組是一組線性無關的函數，其中為一組互不相同的實數。例2

實數域R上的線性空間RR

中，函數組是一組線性無關的函數，其中為一組互不相同的正整數。例3

實數域R上的線性空間RR

中，函數組也是線性無關的。第十二頁，共一百頁，2022年，8月28日例4

實數域R上的線性空間RR

中，函數組與函數組都是線性相關的函數組。第十三頁，共一百頁，2022年，8月28日線性空間的基底與維數

定義：設V

為數域F上的一個線性空間。如果在V

中存在n個線性無關的向量，使得V

中的任意一個向量都可以由線性表出:

則稱為V的一個基底；為向量在基底下的坐標。此時我們稱V

為一個n維線性空間，記為dimV=n。第十四頁，共一百頁，2022年，8月28日例1

實數域R上的線性空間R3

中向量組與向量組基底的例子都是線性空間R3

的基底，R3是3維線性空間。第十五頁，共一百頁，2022年，8月28日例2

實數域R上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間?；椎睦樱ɡm(xù)）第十六頁，共一百頁，2022年，8月28日例3

實數域R上的不超過n次多項式的全體Pn中的向量組與向量組都是Pn

的基底，Pn的維數為n+1。注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數是唯一確定的。由維數的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間?；椎睦樱ɡm(xù)）第十七頁，共一百頁，2022年，8月28日例4在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標。第十八頁，共一百頁，2022年，8月28日解：設向量A在第一組基下的坐標為于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標為第十九頁，共一百頁，2022年，8月28日設（舊的）與新的）是n維線性空間V

的兩組基底，它們之間的關系為基變換與坐標變換第二十頁，共一百頁，2022年，8月28日將上式矩陣化可以得到下面的關系式：稱n階方陣是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣(可逆)，那么上式可以寫成第二十一頁，共一百頁，2022年，8月28日任取，設在兩組基下的坐標分別為與，那么我們有該式被稱為坐標變換公式。于是有：第二十二頁，共一百頁，2022年，8月28日與向量組例1

在4維線性空間中，向量組為其兩組基，求從基到基的過渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標。解：容易計算出下面的矩陣表達式第二十三頁，共一百頁，2022年，8月28日向量A在第一組基下的坐標為利用坐標變換公式可以求得A在第二組基下的坐標為第二十四頁，共一百頁，2022年，8月28日定義設V為數域F上的一個n維線性空間，W為V的一個非空子集合，如果對于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個子空間。例1

對于任意一個有限維線性空間，它必有兩個平凡的子空間，即由單個零向量構成的子空間以及線性空間本身.線性空間的子空間第二十五頁，共一百頁，2022年，8月28日例2

設，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當齊次線性方程組有無窮多解時，其解空間的基底即為其基礎解系；解空間的維數即為基礎解系所含向量的個數。例3

設為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

第二十六頁，共一百頁，2022年，8月28日構成線性空間的一個子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的維數即為向量組的秩，的最大無關組為基底。例4

實數域R上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對稱矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構成的子空間，第二十七頁，共一百頁，2022年，8月28日子空間的交與和兩個子空間的交:兩個子空間的和:子空間交與和的性質若V1和V2都是V的子空間，則V1∩V2和V1+V2也是V的子空間.V1∩V2=V2∩V1，V1+V2=V2+V1(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)兩個子空間的直和:若V=V1+V2，且V1∩V2=Φ，則稱V為V1與V2的直和。第二十八頁，共一百頁，2022年，8月28日線性變換定義：設V是數域F上的線性空間，T

:V→V為V上的映射，則稱T為線性空間V上的一個變換或算子。若變換滿足：對任意的k,l∈F和α,β∈V，有則稱T為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）線性相關的向量組的象任然是線性相關的。第二十九頁，共一百頁，2022年，8月28日線性變換的例子例1：R2空間上的如下變換為線性變換（該變換還是正交變換）。例2：設Pn為次數不超過n的多項式構成的集合，則求導運算：δ(f(t))=f’(t)為Pn到Pn的線性變換。例3：V為平方可積復函數構成的空間，則傅里葉變換：

為V上的線性變換。第三十頁，共一百頁，2022年，8月28日線性變換的值域和核V上的線性變換T的值域和核定義如下：R(T)={Tx|x∈V}N(T)={x|Tx=0,x∈V}定理：線性空間V的線性變換T的值域和核都是V的線性子空間，分別稱為T的象空間和核空間。定義：線性變換T的象空間維數dimR(T)稱為T的秩，核空間維數dim(N(T)稱為T的虧?？梢宰C明，若V維數為n，T的秩為r，則T的虧為n-r。例：實數域R上的不超過n次多項式的全體Pn中為線性空間，求導運算的象空間為Pn-1

，核空間為R。第三十一頁，共一百頁，2022年，8月28日線性變換的運算零變換T0：T0x=0變換的加法：定義(T1+T2)x=T1x+T2x負變換：定義(-T)x=-(Tx)數乘：定義(kT)x=k(Tx)定理：V上所有變換構成的集合在以上加法運算和數乘運算下構成線性空間。單位變換Te：Tex=x變換的乘法：定義(T1T2)x=T1(T2x)逆變換：若T為一一對應，則可定義逆變換T-1。定理：V上所有線性變換構成的集合在以上加法和乘法運算下構成一個環(huán)，且是非交換環(huán)(環(huán)比數域條件弱)。第三十二頁，共一百頁，2022年，8月28日線性變換的矩陣表示以下討論均假設線性空間為F上的有限維空間，并以上標表示維數，如Vn、Wm等。設映射T為Vn上的線性變換，為空間的基底，則可以用該基底線性表示，即

寫成矩陣形式第三十三頁，共一百頁，2022年，8月28日對Vn中的任意元素x，設x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：第三十四頁，共一百頁，2022年，8月28日對Vn上的線性變換T，在基底下可以用矩陣來表示：定理：設Vn上的變換T在基底下對應的矩陣為A，則R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）單位變換對應單位矩陣零變換對應零矩陣逆變換對應逆矩陣第三十五頁，共一百頁，2022年，8月28日設Vn上的線性變換T在兩組基底和下對應的矩陣分別為A和B，兩個基底之間的過度矩陣為P，即：

于是即得結論：相似矩陣表示相同的線性變換第三十六頁，共一百頁，2022年，8月28日矩陣的運算零矩陣（對應零變換）矩陣加法（對應線性變換的加法）負矩陣（對應負線性變換）數乘（對應線性變換的數乘）定理：所有n×m階矩陣的集合在以上加法運算和數乘運算下構成線性空間。單位陣（對應單位變換）矩陣的乘法（對應變換的乘法）逆矩陣（對應逆變換）定理：所有n階方陣的集合在以上加法和乘法運算下構成一個環(huán)，且是非交換環(huán)(環(huán)比數域條件弱)。第三十七頁，共一百頁，2022年，8月28日定義設T是數域F上的線性空間V的一個線性變換，如果對于數域F中的某個元素λ0，存在一個非零向量ξ，使得

那么稱λ0為T的一個特征值，而ξ稱為T屬于特征值λ0的一個特征向量。取定V的一組基底，設T在這組基下的矩陣是A，向量ξ在這組基下的坐標是，那么我們有線性變換的特征值與特征向量即得第三十八頁，共一百頁，2022年，8月28日求解特征值與特征向量選定線性空間的一個基底，求線性變換T在此基底下對應的矩陣A；求解矩陣A的特征多項式的所有根；求出矩陣A的每一個特征值對應的特征向量；以A的特征向量為坐標求出對應的特征向量。第三十九頁，共一百頁，2022年，8月28日例1

設V是數域F上的3維線性空間，T是V上的一個線性變換，T在V的一個基下的矩陣是求T的全部特征值與特征向量。解：求T的特征值等價于求對應矩陣的特征值和特征向量。第四十頁，共一百頁，2022年，8月28日所以A的特征值是3(二重)與-6。對于特征值3，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：第四十一頁，共一百頁，2022年，8月28日從而T的屬于3的極大線性無關特征向量組是于是T屬于3的全部特征向量是

這里k1k2≠0。對于特征值-6，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：第四十二頁，共一百頁，2022年，8月28日從而T的屬于-6的極大線性無關特征向量組是于是T的屬于-6的全部特征向量這里

k為數域F中任意非零數。第四十三頁，共一百頁，2022年，8月28日特征值與特征向量的相關性質特征子空間：線性變換T屬于特征值λ0的特征向量生成的子空間，記為，其中的非零向量為特征向量。屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。Tr(AB)=Tr(BA)（方陣的對角線之和稱為矩陣的跡）。相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。相似矩陣有相同的特征多項式和特征值。矩陣A是其特征多項式的零點，即設，則第四十四頁，共一百頁，2022年，8月28日矩陣的相似標準形n階矩陣A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量；實對稱矩陣的特征值都為實數，且與對角矩陣相似；任何復矩陣與一Jordan矩陣相似；第四十五頁，共一百頁，2022年，8月28日矩陣可對角化的判定推論：矩陣A可以對角化的充分必要條件是A的特征值的代數重數等于幾何重數。注：特征值的代數重數是指該特征值作為特征多項式的根的重數。幾何重數是指特征子空間的維數。即對每個特征值λk,對應的特征子空間為的解空間，其維數稱為幾何維數。第四十六頁，共一百頁，2022年，8月28日例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出A的特征值于是A的特征值為λ1=1，λ2=2（代數重數=2）。由于λ1=1是單的特征值，它一定對應一個線性無關的特征向量。下面我們考慮λ2=2第四十七頁，共一百頁，2022年，8月28日于是即特征子空間的維數為1，從而不可以相似對角化。第四十八頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：

已知和關于變量x

的多項式那么我們稱為A的矩陣多項式。設A

為一個n

階矩陣，J

為其Jordan標準形，則于是有矩陣的多項式表示與矩陣的最小多項式第四十九頁，共一百頁，2022年，8月28日我們稱上面的表達式為矩陣多項式f(J)的Jordan表示。其中第五十頁，共一百頁，2022年，8月28日第五十一頁，共一百頁，2022年，8月28日例已知多項式與矩陣求f(A)。解：首先求出矩陣A的Jordan標準形J及其相似變換矩陣P那么有第五十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第五十三頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：已知和關于變量x的多項式如果f(x)滿足，那么稱該多項式為矩陣A的一個零化多項式。第五十四頁，共一百頁，2022年，8月28日定理：已知，為其特征多項式,則有我們稱此定理為Hamilton-Cayley定理。定義：已知，在A的零化多項式中，次數最低且首項系數為1的零化多項式稱為A的最小多項式，通常記為最小多項式的性質：已知，那么（1）矩陣A的最小多項式是唯一的。（2）矩陣的任何一個零化多項式均能被整除。（3）相似矩陣有相同的最小多項式。第五十五頁，共一百頁，2022年，8月28日如何求一個矩陣的最小多項式?首先我們考慮Jordan標準形矩陣的最小多項式。例1：已知一個Jordan塊求其最小多項式。解：注意到其特征多項式為,則由上面的定理可知其最小多項式一定具有如下形狀，其中。但是當時第五十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第五十七頁，共一百頁，2022年，8月28日因此有.例2：已知對角塊矩陣,而分別為子塊的最小多項式，則的最小多項式為即為的最小公倍數。例3：求下列矩陣的最小多項式第五十八頁，共一百頁，2022年，8月28日解：（1）首先求出其Jordan標準形為所以其最小多項式為。（2）此矩陣的Jordan標準形為第五十九頁，共一百頁，2022年，8月28日從而其最小多項式為。（3）該矩陣的Jordan標準形為第六十頁，共一百頁，2022年，8月28日故其最小多項式為。（4）此矩陣本身就是一個Jordan標準形，所以其最小多項式第六十一頁，共一百頁，2022年，8月28日Euclid空間（歐氏空間）線性空間內積的定義：設V是實數域R上的n維線性空間，對于V中的任意兩個向量α、β,

按照某一確定法則對應著一個實數，這個實數稱為與α與β的內積，記為(α,β)，并且要求內積滿足下列運算條件：我們稱帶有這樣內積的線性空間為Euclid空間(歐氏空間)。當且僅當α=0時內積為零第六十二頁，共一百頁，2022年，8月28日例1

在Rn中，對于規(guī)定容易驗證(,)是Rn上的一個內積，從而Rn成為一個歐氏空間。如果規(guī)定容易驗證(,)2也是Rn上的一個內積，這樣Rn又成為另外一個歐氏空間。第六十三頁，共一百頁，2022年，8月28日例2

在mn維線性空間Rm×n中，規(guī)定容易驗證這是Rm×n上的一個內積，這樣Rm×n對于這個內積成為一個歐氏空間。例3

在連續(xù)函數構成的線性空間C[a,b]中，規(guī)定容易驗證(f,g)是C[a,b]上的一個內積，這樣C[a,b]對于這個內積成為一個歐氏空間。第六十四頁，共一百頁，2022年，8月28日Euclid空間的性質第六十五頁，共一百頁，2022年，8月28日有限維線性歐氏空間設實數域上有限維線性空間V的基底為，設向量x與y在此基底下的表達式如下

則x與y的內積可以表示如下第六十六頁，共一百頁，2022年，8月28日

取即A為實對稱矩陣，而且(x,x)>0表明A為正定的。第六十七頁，共一百頁，2022年，8月28日性質：（1）當且僅當時（2）（3）（4）

歐氏空間的度量定義：設V為線性歐氏空間，向量的長度或范數定義為第六十八頁，共一百頁，2022年，8月28日例1：在線性空間Rm×n

中，證明證明：由于Tr(ABT)為線性空間中的內積，由三角不等式得證。例2

設C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上的所有連續(xù)實函數組成的線性空間，證明對于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我們有證明：由于為線性空間C[a,b]上的內積，由內積基本性質可得上式。第六十九頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：設V為歐氏空間，兩個非零向量的夾角定義為

于是有定理：定義：在歐氏空間V中，如果，則稱與正交。定義：長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量，向量總是單位向量，稱此過程為單位化。第七十頁，共一百頁，2022年，8月28日定義設為一組不含有零向量的向量組，如果內的任意兩個向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。命題正交向量組一定是線性無關向量組。定義

如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準的正交向量組。定義：在n維內積空間中，由n個正交向量組成的基底稱為正交基底；由n個標準的正交向量組成的基底稱為標準正交基底。注意：標準正交基底不唯一。標準正交基底第七十一頁，共一百頁，2022年，8月28日定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是向量組為標準正交向量組的充分必要條件是定理：由一個線性無關的向量組出發(fā)可以構造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。第七十二頁，共一百頁，2022年，8月28日

設為n維內積空間V中的r個線性無關的向量，利用這r個向量構造一個標準正交向量組的步驟如下：第一步：容易驗證是一個正交向量組.Schmidt正交化方法第七十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二步單位化顯然是一個標準的正交向量組。例1

運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組。解：先正交化

第七十四頁，共一百頁，2022年，8月28日再單位化那么即為所求的標準正交向量組。第七十五頁，共一百頁，2022年，8月28日以上正交化方法的結果與向量的次序有關。除此之外，還可以通過矩陣運算直接正交化。為此令：則矩陣B=AAT為正定實對稱矩陣，因此存在正交矩陣P，使得第七十六頁，共一百頁，2022年，8月28日其解空間的一個標準正交基底。解：先求出其一個基礎解系下面對進行正交化與單位化：例2

求下面齊次線性方程組第七十七頁，共一百頁，2022年，8月28日即為其解空間的一個標準正交基底。第七十八頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：設V是一個n維歐氏空間,σ是V的一個線性變換，如果對任意的α∈V都有正交變換與正交矩陣則稱σ是V的一個正交變換。定理：線性變換σ是正交變換的充分必要條件是：任意的都有第七十九頁，共一百頁，2022年，8月28日證明：必要性，設σ是正交變換，，則有于是有

充分性：取立即可得σ為正交變換。

第八十頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：設A為一個n

階實矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱A正交矩陣，一般記為A∈En×n。例：第八十一頁，共一百頁，2022年，8月28日設，那么正交矩陣的性質定理：設A∈Rn×n

，A是一個正交矩陣的充分必要條件為A的n個列（或行）向量組是標準正交向量組。第八十二頁，共一百頁，2022年，8月28日定理：設V是一個n維歐氏空間，σ是V的一個線性變換，那么下列陳述等價：（1）σ是正交變換；（3）σ將V的標準正交基底變成標準正交基底；（4）線性變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣。第八十三頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：設V是一個n維歐氏空間,σ是V的一個線性變換，如果對任意的都有對稱變換與對稱矩陣則稱σ是V的一個對稱變換。定理：線性變換σ是實對稱變換的充分必要條件是：σ在標準正交基下對應的矩陣是實對稱矩陣。證明：設σ在標準正交基下對應的矩陣為A，向量α和β的坐標為列向量X1和X2，則的坐標分別為AX1和AX2，于是有第八十四頁，共一百頁，2022年，8月28日酉空間酉空間的定義：設V是復數域C上的n維線性空間，對于V中的任意兩個向量α、β,

按照某一確定法則對應著一個復數，這個復數為α與β的內積，記為(α,β)，并且要求內積滿足下列運算條件：我們稱帶有這樣內積的線性空間為酉空間。當且僅當α=0時內積為零第八十五頁，共一百頁，2022年，8月28日酉空間內積的性質第八十六頁，共一百頁，2022年，8月28日酉空間的類似理論酉空間和歐氏空間都屬于內積空間，因此有相似的性質和結論標準正交基酉變換（對應歐氏空間的正交變換）Hermite變換與Hermite矩陣（即共軛對稱矩陣，對應歐氏空間的對稱變換與實對稱矩陣）第八十七頁，共一百頁，2022年，8月28日定義：設，若存在

，使得則稱A酉相似(或正交相似)于B。Schur引理與正規(guī)矩陣第八十八頁，共一百頁，2022年，8月28日定理(Schur引理)：任何一個n階復矩陣（實矩陣）A酉相似（正交相似）于一個上(下)三角矩陣。證明：用數學歸納法。A的階數為1時定理顯然成立。現設A的階數為k-1時定理成立，考慮A的階數為k時的情況。取k階矩陣A的一個特征值λ1，對應的單位特征向量為α1，構造以α1為第一列的k階酉矩陣第八十九頁，共一百頁，2022年，8月28日因此其中A1是k-1階矩陣，根據歸納假設，存在k-1階酉矩陣W滿足(上三角矩陣)因為構成Ck的一個標準正交基，故第九十頁，共一百頁，2022年，8月28日那么令U=U1U2，則UHAU為上三角矩陣，定理得證。令第九十一頁，共一百頁，2022年，8月28日定義:

設A∈Cn×n，如果滿足那么稱矩陣A為一個正規(guī)矩陣。例:

為實正規(guī)矩陣。