2023年微積分初步形成性考核冊題解秋

微積分初步形成性考核作業(yè)題解作業(yè)（一）————函數(shù),極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共２0分)１．函數(shù)的定義域是．答案：提醒：對于，規(guī)定分母不能為０,即,也就是；對于,規(guī)定，即;所以函數(shù)的定義域是2．函數(shù)的定義域是.答案：提醒:對于,規(guī)定分母不能為0，即,也就是;對于，規(guī)定,即;所以函數(shù)的定義域是3.函數(shù)的定義域是.答案:提醒：對于，規(guī)定分母不能為0,即，也就是；對于,規(guī)定,即；對于,規(guī)定，即且;所以函數(shù)的定義域是4.函數(shù),則 ? ??.答案:提醒:由于,所以5．函數(shù),則．答案:提醒：由于當是在區(qū)間，應選擇進行計算，即６．函數(shù)，則.答案:提醒：由于,所以7．函數(shù)的間斷點是．答案：提醒：若在有下列三種情況之一,則在間斷：①在無定義;②在極限不存在;③在處有定義,且存在，但。題中在處無定義8.．答案:１提醒：9．若，則．答案：2提醒:由于,所以１0．若,則．答案:1.５提醒：由于，所以二、單項選擇題(每小題2分,共24分)1.設(shè)函數(shù),則該函數(shù)是(）.A.奇函數(shù)Ｂ.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)Ｄ．既奇又偶函數(shù)答案:Ｂ提醒:奇函數(shù)是指,關(guān)于坐標原點對稱;偶函數(shù)是指，關(guān)于軸對稱。題中，所以函數(shù)是偶函數(shù)。２．設(shè)函數(shù),則該函數(shù)是（)．Ａ．奇函數(shù)B.偶函數(shù)Ｃ．非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)答案:A提醒:由于,所以是奇函數(shù)。３．函數(shù)的圖形是關(guān)于()對稱．Ａ.Ｂ.軸C．軸D.坐標原點答案:Ｄ提醒：由于,是奇函數(shù),所以的圖形是關(guān)于坐標原點對稱４．下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(?無?）．A.?B．C．Ｄ．提醒：Ａ．,即是偶函數(shù)；B.的圖形只在一、四象限,既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù);C．的圖形只在一、四象限,既非奇函數(shù),也非偶函數(shù);D．,既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)。所以本題沒有一個待選答案是奇函數(shù)5.函數(shù)的定義域為( ）.A．Ｂ．C.且D.且答案:D提醒：對于,規(guī)定分母不能為0,即;對于,規(guī)定,即。所以函數(shù)的定義域為且6．函數(shù)的定義域是(）.A.B.C.D.答案:D提醒:對于，規(guī)定分母不能為0，即;對于,規(guī)定,即。所以函數(shù)的定義域是7．設(shè)，則(）A.B.Ｃ.D.答案：C提醒:注意比少１,所以８．下列各函數(shù)對中，(??）中的兩個函數(shù)相等.A．, Ｂ．，C.,Ｄ．,答案:D提醒:兩個函數(shù)相等,必須是相應的規(guī)則相同,定義域相同。上述答案中，Ａ定義域不同；B相應的規(guī)則不同；C定義域不同;D相應的規(guī)則相同，定義域相同9．當時,下列變量中為無窮小量的是(）.A．B.C．D．答案:C提醒:以0為極限的變量稱為無窮小量。上述答案中,當時,A趨向∞;Ｂ的極限為1;C的極限為０；D趨向∞。10．當(）時,函數(shù)，在處連續(xù)．A.0B．1C．D．答案:B提醒：當時,稱函數(shù)在連續(xù)。由于，所以當１時，函數(shù)，在處連續(xù)11．當(）時,函數(shù)在處連續(xù).Ａ．０B．1C．D．答案：Ｄ提醒：當時，稱函數(shù)在連續(xù)。由于，所以當3時,函數(shù)，在處連續(xù)１2.函數(shù)的間斷點是（）A. B． C．D．無間斷點答案:A提醒：若在有下列三種情況之一,則在間斷：①在無定義;②在極限不存在;③在處有定義，且存在，但。題中，分母，所以在和處無定義三、解答題(每小題７分，共５6分)⒈計算極限．解＝=＝＝2.計算極限解3.解4.計算極限解5.計算極限.解6.計算極限．解7．計算極限解8．計算極限.解作業(yè)(二)————導數(shù)、微分及應用一、填空題（每小題2分，共20分）1．曲線在點的斜率是．答案：提醒：若已知曲線方程，則它在任一點處的斜率為。題中,將代入上式，得２．曲線在點的切線方程是.答案:提醒:若已知曲線方程,則它在任一點處的斜率為。若給定曲線上的一點,則通過該點的切線方程為。題中，將代入上式,得,所以通過點(０,1)切線方程為，即３.曲線在點處的切線方程是 ?? .答案:提醒:若已知曲線方程，則它在任一點處的斜率為。若給定曲線上的一點,則通過該點的切線方程為。題中，將代入上式，得，所以通過點(0,1）切線方程為，即4．.答案：提醒：根據(jù)復合函數(shù)求導法則計算。5.若y=ｘ(x–1)(x–2)（x–３)，則(０）=? ????.答案：提醒：根據(jù)有限多個函數(shù)的乘積的求導法則（見Ｐ45)，+６．已知，則=.答案:提醒：7.已知，則=．答案:提醒:，8．若,則? .答案：９.函數(shù)的單調(diào)增長區(qū)間是．答案：10.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增長,則a應滿足? ．答案:提醒;當時，函數(shù)單調(diào)增長。題中,，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增長，a應滿足。二、單項選擇題（每小題２分，共２4分）1.函數(shù)在區(qū)間是()A．單調(diào)增長B．單調(diào)減少C．先增后減D．先減后增答案：D提醒:當時,函數(shù)單調(diào)增長當時，函數(shù)單調(diào)減少。題中，，令，得駐點。當時，，函數(shù)單調(diào)減少;當時,，函數(shù)單調(diào)增長。所以函數(shù)在區(qū)間是先減后增。2．滿足方程的點一定是函數(shù)的()．Ａ.極值點B.最值點C.駐點D.間斷點答案：C提醒:使的點,成為函數(shù)的駐點（Ｐ69定理3.2)3.若，則=（）．A.２Ｂ.1C.-1D.–2答案：C提醒：4．設(shè)，則（).A．B．Ｃ．D．答案：B提醒：5．設(shè)是可微函數(shù)，則（)．A.B.C．Ｄ．答案：d提醒：6.曲線在處切線的斜率是（)．Ａ．B．C.D．答案：C提醒:若已知曲線方程,則它在任一點處的斜率為。,將代入上式得７．若，則()．A．Ｂ.Ｃ.Ｄ．答案:C提醒:8．若，其中是常數(shù)，則（).A.B.C.D．答案:C提醒:，9.下列結(jié)論中（）不對的.A.在處連續(xù),則一定在處可微.B．在處不連續(xù),則一定在處不可導．C.可導函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上．D.若在[a,b]內(nèi)恒有,則在[ａ,ｂ]內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.答案：Ｃ提醒：極大值也許出現(xiàn)在:①駐點（駐點是的點）；②連續(xù)但導數(shù)不存在的點。10．若函數(shù)f(x)在點x０處可導，則()是錯誤的．A.函數(shù)f(ｘ)在點x0處有定義B．，但C．函數(shù)f（x）在點x０處連續(xù)D．函數(shù)f(x）在點x0處可微答案:B提醒：若函數(shù)在點可導，則它在點一定連續(xù)（P83定理2.５)。，但即在點不連續(xù)。１1．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是( )．A.sｉｎxＢ．exＣ．ｘ2?D.３–x答案:B提醒:D是周期函數(shù)；B是單調(diào)增函數(shù);C是偶函數(shù)，先減后增；D是單調(diào)減函數(shù)12.下列結(jié)論對的的有（ ）．A.x0是f(ｘ)的極值點,且(x0)存在，則必有(x0)＝0B．x0是f（x)的極值點，則ｘ０必是ｆ(ｘ)的駐點Ｃ．若(x0)=0,則x０必是f(x)的極值點Ｄ.使不存在的點ｘ0，一定是f(x)的極值點答案:A提醒：A對的;B不對的,由于駐點不一定是極值點；C不對的,(ｘ0)=0就是駐點,駐點不一定是極值點；D不對的,由于極大值也許出現(xiàn)在：①駐點和②連續(xù)但導數(shù)不存在的點。三、解答題（每小題7分，共56分)⒈設(shè),求.解2.設(shè)，求．解3.設(shè),求dy.解4．設(shè)，求dy.解5.設(shè)，求有ｙ｀解６.設(shè)是由方程擬定的隱函數(shù),求.解對方程兩邊求導，得7.設(shè)是由方程擬定的隱函數(shù),求.解對方程兩邊求導,得８.設(shè)ｙ=ｙ(x）是由方程擬定的隱函數(shù),求．解對方程兩邊求導,得作業(yè)（三）———不定積分，極值應用問題一、填空題（每小題２分，共20分)1．若的一個原函數(shù)為，則。答案:`（c為任意常數(shù))提醒:參見教材P９0，根據(jù)定義４.１，若,則稱為的原函數(shù),根據(jù)題意，對求導的結(jié)果就是，即2．若的一個原函數(shù)為，則。答案：提醒:參見教材P9０,根據(jù)定義4.1，若，則稱為的原函數(shù)，根據(jù)題意,對求導的結(jié)果就是,即，所以3.若，則．答案:提醒：驗算：4.若，則．答案:提醒:驗算：5.若,則．答案:提醒:６．若,則.答案:提醒：7. ?? ? .答案：提醒：是的原函數(shù),對原函數(shù)求導就等于被積函數(shù),所以對原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)的微分8．?? ．答案：提醒：9．若,則.答案:提醒：10.若，則．答案：提醒：二、單項選擇題(每小題2分，共16分)１．下列等式成立的是().A.B．C.Ｄ.答案：A提醒:對原函數(shù)求導等于被積函數(shù)自身2.3．若，則(）．A.B.C．D.答案:Ａ提醒:4．若，則(）.A．B.C.D.答案：A提醒:即對被積函數(shù)先求導再積分等于被積函數(shù)自身(加不定常數(shù))。５.以下計算對的的是()A.B．C．D．答案：A提醒：6.（)Ａ.B.C.Ｄ.答案:A提醒:運用分部積分法，設(shè)，,則，上式中運用了“對被積函數(shù)先求導再積分等于被積函數(shù)自身(加不定常數(shù))”。7.=（?).A.B.?C. D．答案：C提醒：所以對原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)的微分8.假如等式，則(）A．B．C．D．答案:B提醒:，比較上式左右兩邊,可知三、計算題（每小題7分，共35分)1.解２.解3.解4.解運用分步積分法：設(shè),,則，５．解運用分步積分法：設(shè),，則，四、極值應用題（每小題12分，共２4分）1．設(shè)矩形的周長為12０厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時,才干使圓柱體的體積最大。60-x060-x0xxy設(shè)矩形的一邊邊長為ｘ厘米,則另一邊邊長為（60-x)厘米,邊長為x厘米的邊繞軸旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，其底面積為π（60-ｘ）2,旋轉(zhuǎn)體的體積為令,即其中是極小值點,此時體積為0;是極大值點，也是最大值點,相應的圓柱體最大體積值為2.欲用圍墻圍成面積為2１6平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊,問這塊土地的長和寬選取多大尺寸,才干使所用建筑材料最??？解設(shè)土地一邊長為，另一邊長為，共用材料為于是=３令得唯一駐點(舍去)10分由于本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以,當土地一邊長為,另一邊長為18時,所用材料最省.五、證明題（本題5分)函數(shù)在(是單調(diào)增長的．證只需證明當時，有由于當時,,即有所以,當時,是單調(diào)增長的。作業(yè)(四)———定積分及應用、微分方程一、填空題（每小題2分,共20分）１．答案：提醒：上式被積函數(shù)第一項和是奇函數(shù)，在對稱積分限下的積分結(jié)果為0，第二項數(shù)是偶函數(shù)，在對稱積分限可化為，所以2．答案:提醒：被積函數(shù)的第一項和第二項都是奇函數(shù),在對稱積分限下的積分結(jié)果為0,第三項為是偶函數(shù)，在對稱積分限下可化為，所以３．已知曲線在任意點處切線的斜率為，且曲線過,則該曲線的方程是。答案:提醒：切線在點(4，5)處的斜率為，根據(jù)切線方程，得該切線方程為,即4．若．答案:2提醒：上式被積函數(shù)第一項和第二項都是奇函數(shù),在對稱積分限下的積分結(jié)果為０,第三項為是偶函數(shù),在對稱積分限下可化為，所以5.由定積分的幾何意義知,=。答案：，它是１／4半徑為a的圓的面積。提醒：設(shè)，則。當;當。所以，它是１/4半徑為a的圓的面積（參見P125(3)）6..答案：0提醒:由于定積分的結(jié)果是一個數(shù)值（即常數(shù)），常數(shù)的導數(shù)數(shù)為0。7.＝.答案:提醒:8.微分方程的特解為.答案:1提醒：將微分方程分離變量得兩邊積分得,即,所以微分方程的特解為９．微分方程的通解為．答案：提醒：將微分方程分離變量得兩邊積分得，即，所以微分方程的通特解為１0.微分方程的階數(shù)為.答案:２提醒：微分方程的階數(shù)是微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)的最高階次。二、單項選擇題(每小題2分,共20分）1．在切線斜率為２ｘ的積分曲線族中，通過點(１,4）的曲線為().A.y=x２＋3Ｂ.y=x2+4C．D.答案：Ａ提醒:曲線方程由擬定，將代入得,所以通過點(１,4)的曲線為。２.若＝2，則k＝(）．Ａ．1B．-１C．0答案：A提醒：，所以3．下列定積分中積分值為0的是（）．A.B．C.D．答案:Ａ提醒：由于積分式中的被積函數(shù)是奇函數(shù),奇函數(shù)在對稱積分限下的定積分為0。4.設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù),則定積分(）A．B.C．D.0答案：Ｄ提醒：奇函數(shù)在對稱積分限下的定積分為0。5.()．A.0B．C．