第三章$時間序列趨勢預測法

第三章時間序列趨勢預測法第一節(jié)時間序列趨勢預測法概述第二節(jié)簡易平均值法第三節(jié)移動平均值法第四節(jié)指數(shù)平滑法第一節(jié)時間序列趨勢預測法概述

一、時間序列趨勢預測法的含義及編制原則（一）概念時間序列（時間數(shù)列、動態(tài)數(shù)列）：是將過去的歷史資料及數(shù)據(jù)，按時間順序排列構成的一個數(shù)字系列，根據(jù)其動向來預測未來趨勢。時間序列趨勢預測法，是利用事務發(fā)展變化中所表現(xiàn)出的時間序列來預測發(fā)展趨勢的方法，是歷史數(shù)據(jù)資料的延伸預測。

（二）條件即預測所依據(jù)的基本假設是：歷史數(shù)據(jù)所顯示出來的規(guī)律性，可以被延伸到未來時期，在預測期與觀察其經(jīng)濟環(huán)境基本相同時，這一假定可以接受。（三）效果

1、因其時間序列不講求因果關系，受外界因果影響，因而存在著預測誤差大的缺陷，外界發(fā)生較大變化時，往往會有較大偏差。2、短期預測效果比長期預測效果好。

（四）編制時間序列的原則

三個一致：總體范圍一致代表時間單位長短一致統(tǒng)計數(shù)值計算方法和計量單位一致

（二）時間序列趨勢預測法的特點及時間序列數(shù)據(jù)變動的四種類型

（一）特點（（1）時間序列預測法適用于短期預測。（2）時間序列數(shù)據(jù)變動存在著規(guī)律性與不規(guī)律性。（3）預測法的本質是一種統(tǒng)計定量與分析方法。（二）時間序列數(shù)據(jù)變動四種因素

1、

長期趨勢變動（T）（趨勢）長期趨勢變動表示時間序列中數(shù)據(jù)不是由意外的沖擊用來引起的，而是隨著時間的推移而逐漸發(fā)生變化的，它是時間序列度量在較長的持續(xù)時間內(nèi)的某種發(fā)展點動向。它是決定數(shù)據(jù)大小的基本成分。

2、

季節(jié)性變動（S）（季節(jié)加量）它是由于季節(jié)更換的固定規(guī)律作用而發(fā)生的周期性變動。可用做短期預測。S>0表示受季節(jié)影響的數(shù)值大于趨勢值；S<0表示受季節(jié)影響之后的數(shù)值小于趨勢值；S=0表示無季節(jié)影響。

3、循環(huán)變動C也稱周期變動，是指時間序列在為期較長的時間內(nèi)（一年至數(shù)年）呈現(xiàn)出漲落起伏，變動的規(guī)律性較弱，是不斷的周期性但非定期的變動。4、

不規(guī)則變動（Ι）

也叫隨機變動，是指時間序列數(shù)據(jù)在短期內(nèi)由于隨機事件而引起的忽大忽小的變動，是指偶發(fā)事件導致時間序列中出現(xiàn)數(shù)值忽高忽低，時升時降的無規(guī)則可循的變動。

構成時間序列數(shù)據(jù)的成分（三種：趨勢T、季節(jié)S、不規(guī)則變動I）作用從下圖中可以明顯看到：

數(shù)據(jù)時間

三、時間序列數(shù)據(jù)的類型1、水平趨勢---Y=T+I,Y=T*I2、線性趨勢Y=(A+BT)I或Y=(A+BT)+I3、二次曲線趨勢Y=(A+BT+CT方)+I，或Y==(A+BT+CT方)*I4、水平趨勢季節(jié)Y=T+S+I或Y=T*S*I5、線性趨勢季節(jié)Y=(A+BT)+S+I或Y=(A+BT)*S*I6、曲線趨勢季節(jié)Y=AB(T方）+S+I或Y=AB(T方）*S*T

四、時間序列趨勢預測法的預測

模型及預測步驟

（一）用Y表示時間序列觀察值，T、S、C、I分別表示長期趨勢變動值、季節(jié)變動值、周期波動值和不規(guī)則變動值。T、S、C、I四種變動的綜合作用構成時間序列Y，一般的綜合作用有兩種方式：乘法模型

Y=T、S、C、I加法模型

Y=T+S+C+I實際應用中時間原則分析法定量預測的乘法模型方式和加法模型方式分別采用如下簡便形式：Y=T、SY=T+S一般，季節(jié)變動、循環(huán)變動、隨機變動的幅度隨著長期趨勢的增長（獲衰減）加?。ɑ驕p弱），應采用乘法模式；若季節(jié)變動、循環(huán)變動、隨機變動的幅度不隨著長期趨勢的增衰而變化，應采用加法模式。（二）時間原則法的步驟（1）繪制歷史數(shù)據(jù)曲線圖，確定其趨勢變動類型。（2）根據(jù)歷史資料的趨勢變動類型一及預測的月的與期限，選擇具體預測方法，并進行模擬運算。（3）將量的分析與質的分析相結合，確定市場未來發(fā)展趨勢的預測值。五、本章處理時間序列預測問題的若干

基本思想

1、

隨機干擾不被處理

2、

對構成時間序列的各種成分分別進行估計

3、

利用新的信息，對每種成分的估計不斷修正

4、

利用平均的方法抵消隨機影響

5、

重視近期數(shù)據(jù)

第二節(jié)簡易平均值法

一、概述1、概念：是將一定觀察期內(nèi)預測目標的時間序列的各期數(shù)據(jù)加點后進行簡單平均，以其平均數(shù)作為預測期的預測值。簡易、易懂、計算方便、容易掌握。2、類型：算術平均法

加權平均法

幾何平均法3、適用條件：

算術平均法——數(shù)據(jù)的時間序列表現(xiàn)出顯著的長期趨勢變化和季節(jié)變動時，采用適用于靜態(tài)情況的預測。（即預測對象盡管其觀察值隨時間周期波動，但在相當長時間內(nèi)，觀察值的平均值保持穩(wěn)定。）二、方法介紹：

1、算術平均法：2、加權平均法：3、幾何平均法：

幾何平均法預測步驟1、設時間序列有n個觀察值，其幾何平均數(shù)作為預測值。2、令條件是一貫上升或一貫下降，環(huán)比速度大體一致3、4、取反對數(shù)，求出預測值。5、求出實際預測值。

例1：某物質局系統(tǒng)1991---1996年物質購進總額如表：

年份

物質購進總額環(huán)比指數(shù)

199117687100

199219766117.52.0482199326860135.892.1332199432813122.162.0869199537293113.652.0556199642199113.162.0537

n=5(幾何平均數(shù)）18.99

P(97)=P(96)(1+0.1899)=42199*1.1899=50212.6萬元第三節(jié)移動平均法

一、概述1、概念：假定預測對象未來的變化具有連續(xù)性，它將觀察期的數(shù)據(jù)，由遠而近按一定的跨越期進行平均，將最后一期一個移動平均值作為預測值。2、分類：簡單移動平均法加權移動平均法

預測模型

3、說明：

l

（1）

第t+1期的預測值…是在第t期預測值…的基礎上加一個修正項…。修正項的作用和n的大小有關，n越大，修正作用越小，即對數(shù)據(jù)的平滑能力強；n越小，修正作用越大，平滑能力減小。2、特點：（1）預測值是離預測期最近的一組歷史數(shù)據(jù)平均化的結果（1）

參加平均歷史數(shù)據(jù)的個數(shù)（跨越期數(shù)）是固定不變的（2）

參加平均的一組歷史數(shù)據(jù)是隨預測期向前推進不斷更新的，每吸收一個新的數(shù)據(jù)就要剔除原數(shù)據(jù)中離預測值最遠的那個數(shù)據(jù)，故稱為移動。目的：清除季節(jié)和不規(guī)律變動因素S和I條件：一次移動平均法一般值用于時間序列中既無增長趨勢也無循環(huán)性形態(tài)變動的情況。

N=3N=5年份Y預測值誤差1

15.02

16.5

3

14.7

4

16.2

15.4

0.85

13.8

15.8

-2.06

12.9

14.9

-2.07

14.0

14.3

-0.38

14.4

13.6

0.8

9

14.7

13.9

1.510

16.5

14.6

0.114.715.5-0.81315.3(2)n值的選取若希望精度高，n應取小一些。若只想得到時間序列發(fā)展變化的大致趨勢，n可選取大一些。對水平趨勢的時間序列，n取值大小與預測值無關。對于階梯式的時間序列，即穩(wěn)定一段時間后上升（或下降）到一個新的水平上又繼續(xù)穩(wěn)定不變時，n應取值較小。對于波動較大的時間序列，即突然呈現(xiàn)上升或下降時，n取值應較小。對于斜坡式時間序列，這時預測值與實際值之間存在滯后偏差，n應取越小越好。5、適用條件：（1）移動平均法只能做一步預測，否則，誤差大。（2）僅適用于基本趨勢呈平穩(wěn)發(fā)展的時間序列滯后誤差——明顯上升的時間序列，會使預測值偏低；下降趨勢，會使預測值偏高。（3）未考慮近期數(shù)據(jù)對未來有更大影響的問題。（二）

加權移動平均法

1、把前N期的加權平均數(shù)作為下一期的預測值。的選擇原則是：愈接近預測期，權數(shù)越大。

2、說明

（1）

移動跨越N的選取。（2）

權數(shù)W的選擇。。3）

適用于序列呈平穩(wěn)發(fā)展的情況，只能做一步預測。（三）

對一次移動平均預測的評價

（三）對一次移動平均預測的評價

1、適用于對直線趨勢的時間序列做預測2、計算工作量比較大。3、不同權數(shù)結果不同，數(shù)據(jù)的確定無理論根據(jù)。4、預測功能不強，存在偏差。5、只能做下一期的預測，對于預測數(shù)期以后的指標數(shù)值無能為力。三、移動平均法的擴展（1）差分—移動平均法；（2）二重移動平均法

時間序列按各期數(shù)量的確定性與否，可以分為確定性時間序列和隨機型時間序列。確定型時間序列：社會經(jīng)濟現(xiàn)象的各期數(shù)量表現(xiàn)的實際數(shù)值按時間先后次序的排列。簡單、直觀，但長期預測的可信度不高。隨機型時間序列：由隨機性經(jīng)濟現(xiàn)象產(chǎn)生的隨機變量隨時間先后次序排列。理論上成立。

隨機序列分為平穩(wěn)隨機序列和非平穩(wěn)隨機序列

如果滿足均值為常數(shù)，自協(xié)方差僅與K（K=0,1,2,)有關，和時間無關，則是平穩(wěn)序列；如不能同時滿足，則是非平穩(wěn)序列。對于非平穩(wěn)序列應先進行平穩(wěn)化處理，使之變成平穩(wěn)隨機序列，才能用于預測。如經(jīng)判斷，隨機序列是非平穩(wěn)的，需引入兩個算子、（差分算子和后移算子）。首先觀察樣本序列是否受季節(jié)影響，如存在季節(jié)影響，可先進行季節(jié)差分，若季節(jié)變動的周期長度為S，則一階季節(jié)差分為：一階季節(jié)差分為：經(jīng)過季節(jié)差分后，一般可消除季節(jié)因素影響；如仍不平穩(wěn)，可進行一階差分，直至二階差分，直至平穩(wěn)。

如果時間序列具有明顯上升或下降趨勢，可將其進行一階或二階差分，變成平穩(wěn)發(fā)展的序列，再應用移動平均法和指數(shù)平滑法差分：（一）差分——移動平均法1、設為一時間序列，它的一階差分序列為：二階差分序列為：如果一階差分序列為平穩(wěn)發(fā)展序列，則預測式為：

，其中稱為一階差分——移動平均預測公式，適用于呈線性發(fā)展變化的時間序列。預測步驟：1、先做一階差分序列，由2、對差分序列進行一次移動平均法。3、計算預測值。2、如果一階差分序列不平穩(wěn)，二階差分序列呈平穩(wěn)發(fā)展，則預測公式為：，其中稱為二階差分——移動平均預測公式，適用于非線性發(fā)展變化的時間序列。預測步驟：1、先做一階差分序列。由2、對二階差分序列做移動平均法。3、計算預測值。例3：某種產(chǎn)品產(chǎn)量1—10月資料如下，利用差分—移動平均法預測該產(chǎn)品11月份的產(chǎn)量。月份產(chǎn)量一階差分序列差分序列平均值預測值

t

110212231314141513-1（2+1+1）/3=1.3314+1.33=15.336141(1+1-1）/3=0.3313+0.33=13.337173（1-1+1）/3=0.3314+0.33=14.3381701.0018.0091811.3318.33101911.3319.33110.6719.67（二）二次移動平均法1、概念：二次移動平均法是對時間序列的一次平均值再進行第二次移動平均，以利用一次移動平均值和二次移動平均構成時間序列的最后一個數(shù)據(jù)為依據(jù)，建立線性預測模型進行預測。2、適用性適用于時間序列數(shù)據(jù)呈線性趨勢變化的預測。（線性增加或線性減少）。

3、預測模型：

式中，t為時間序列目前的時間周期；T為需要預測的未來周期個數(shù)。A(t)表示當前水平，即線性截距；b(t)表示單位周期變量，即趨勢線的斜率。

例4：利用下表資料舉例說明，N=3時期t指標Y（t）Y(1)N=3Y(2)N=3b(t)158264370644736957873.768.978.54.868277.773.581.94.278882.77887.44.789387.782.792.75910093.78899.45.71010599.393.61055.7

a(t)=2Y(1)-Y(2)=2*99.3-93.6=105b(t)=2Y(1)-Y(2)/N-1=2(99.3-93.6)/2=5.7如果現(xiàn)在處于第10期，則第11期的預測值為

從預測結果看，對于本例呈上升趨勢的時間序列，預測值合理，這說明解決了滯后偏差的問題。第12期預測值為4、評價：1）二次移動平均預測解決了一次移動平均預測只適宜做水平趨勢預測的問題，可做呈線性上升或下降的經(jīng)濟現(xiàn)象進行預測。2）預測值的準確度提高了。3）能做數(shù)期以后的預測，但只適宜短期預測。4）二次移動平均預測準確度仍有缺陷。作業(yè)2：根據(jù)表中提供的資料，預測1996年人均卷煙消費量。年份198619871988198919901991卷煙人均消費量43.9743.6148.9755.1060.6163.90

年份1992199319941995卷煙人均消費量65.6569.9869.8971.47第三節(jié)

指數(shù)平滑法

平滑預測——簡單指數(shù)平滑法（一次）；二次指數(shù)平滑法；三次指數(shù)平滑法；溫特斯預測法；可變指數(shù)平滑預測法。適用于預測呈長期趨勢變動和季節(jié)變動的事物。一、一次指數(shù)平滑法

概念：一次指數(shù)平滑法，是指以預測目標的本期實際值和本期預測值為基數(shù)，分別給二者以不同的權數(shù)，求出指數(shù)平滑值，做為最終的預測值。它適用于預測目標時間序列波動無明顯增加和減少的長期趨勢的場合。1、預測模型：又，此式表明除了權數(shù)的含義外，還有預測值修正系數(shù)的含義。例題5：某商品1981年-----1992年的銷售量資料如表。采用=0.7，利用一次指數(shù)平滑法進行預測。年份T818283848586878889909192銷量Y（t）101213161615161715141314

年份T銷量Y（t）預測值811082120.7*10+0.3*0=7.0083130.7*12+0.3*7=10.5084160.7*13+0.3*10.50=12.2585160.7*16+0.3*12.25=14.88861515.66871615.20881715.76891516.63901415.49911314.4592140.7*13+0.3*14.45=13.44930.7*14+0.3*13.44=13.832、指數(shù)平滑法的應用原則

（1）

此法一般只能做一步預測。（2）

簡單指數(shù)平滑法僅適用于序列呈平穩(wěn)發(fā)展或者增長（減少）趨勢不明顯的情形，可以證明對呈線性增長（減少）的時間序列，應用簡單指數(shù)平滑法進行預測會產(chǎn)生滯后誤差。3）如何選擇值：1、當序列存在較大波動時，為消除不規(guī)則變動的影響可選取較大的；—（0.6---0.8）2、當序列較平穩(wěn)時，可選取較小的；—（0.1---0.3）3、當不易確定時，可同時選取若干個值，分別計算其對應的預測值，選取平均誤差水平最小的值；（4）

如何確定初始值A、當時間序列的項數(shù)較高時，例如在20項以上，B、當時間序列的項數(shù)較少時，例如在20以下，取最初幾個觀察值的平均數(shù)作為初始值，即，C、當沒有時間序列，即沒有歷史數(shù)據(jù)時，可以注意給定一個有意義的并且能立即開始計算的初始值，也可以是等到有了某些值可以利用的時刻，再進行預測計算。D、當值取較大時，由于可以使預測模型迅速跟上預測對象，因此對初始值要求低些。而當取較小值時，則對初始值的選擇要求高一些。

（1）適用于預測線性趨勢，對時間序列有較好的修勻及適應功能。（2）預測時不需貯存n期的觀察值，只要確定好合適的值及初始值就行。并且權數(shù)的分布合理，滿足近期權數(shù)大，遠期權數(shù)小的指數(shù)函數(shù)規(guī)律。預測精度比移動平均數(shù)法高。（3）有時有明顯的滯后偏差。（對線性發(fā)展的）只能做一步預測。

3、一次指數(shù)平滑預測的評價作業(yè)3：某商業(yè)企業(yè)有甲乙兩種商品銷售額資料如下，試用一次指數(shù)平滑法預測第9期的銷售額。時期12345678

甲商品

20

30404248505460乙商品2030402048305440二、

二次指數(shù)平滑法

1、概念：在一次指數(shù)平滑基礎上，再進行一次指數(shù)平滑，以當前觀察期的一次和二次指數(shù)平滑值來求出線型模型參數(shù)，更能提高對時間序列的吻合程度。2、特點：一次指數(shù)平滑法，是指在處理有線性趨勢的時間序列時，也能產(chǎn)生滯后偏差，特別是對有明顯上升或下降趨勢的時間序列，為彌補此缺陷，需要在一次平滑的基礎上再做一次指數(shù)平滑，然后確定預測值。3、模型：

T為預測期的周期長度，a（t）為直線截距，b（t）為直線的斜率。4、例題6：根據(jù)表中提供的資料，用二次指數(shù)平滑法預測1997年、1998年的銷售量。

年份：銷售額（萬元）=0.8

323.67323.671990300304.73308.511991324320.15317.821992347341.63336.871993372365.93360.121994396389.99384.021995420414.00408.001996446439.60433.285、

評價：

1）

預測準確度提高。二次指數(shù)平滑預測很重視目前的數(shù)據(jù)，當?shù)玫揭粋€新的觀察值，就能及時計算出平滑系數(shù)a（t），b（t），不斷調(diào)整模型的斜率和截距，這樣預測的準確率提高了。2）

只適應于預測對象為線性趨勢的時間序列，解決了用一次指數(shù)平滑預測時的滯后偏差問題。但因直線趨勢方程的a、b值長久不變，也就失去了指數(shù)平滑預測的特點，預測準確度會因此下降。3）

值的選取——如果序列有明顯的不規(guī)則因素，可取較小的；如資料不足，應取較大的，加重預測模型對以后逐步得到的近期觀察值的依賴，提高模型的自適應能力；如初始值有疑問，選取較大的，擴大近期觀察值的作用，減少初始值的影響；如果序列不規(guī)則因素不明顯，可取較大的。4）初始值可選取平滑前序列的前三期、前二期的平均數(shù)或第一期數(shù)值。三、三次指數(shù)平滑預測

1、概念：當時間序列的觀察值經(jīng)二次指數(shù)平滑處理后的時間序列仍有曲率，說明原時間序列不宜用直線趨勢方程來描述，應進行三次指數(shù)平滑，用二次曲線來描述，三次指數(shù)平滑就是在二次指數(shù)平滑的基礎上再進行一次指數(shù)平滑。2、特點：序列呈非線性變化，用二次數(shù)平滑后仍會出現(xiàn)滯后偏差，利用一、二、三次指數(shù)平滑值求得二次曲線方程參數(shù)，并建立二次曲線模型進行預測，彌補缺陷。3、

模型：

4、

步驟：

1）判斷時間序列是否為直線，若是二次曲線，則用三次指數(shù)平滑預測，若曲率為零，則可用二次指數(shù)平滑預測。2）選擇值，方法同前。3）分別確定并分別計算一、二、三次指數(shù)平滑值。方法同前。

4）建立三次指數(shù)平滑預測模型，根據(jù)公式計算的值。5）利用預測模型進行預測。6）選定值，確定最后的預測結果。5、例題：現(xiàn)以某企業(yè)某產(chǎn)品的銷售額為例，用指數(shù)平滑法預測模型預測今后5期的產(chǎn)品銷售額。

時期銷售額=0.3=0.4=0.5ty（t）

00.010.010.010.010.010.010.010.010.0110.010.010.010.010.010.010.010.010.010.0120.030.01600.011830.0240.0450.0960.1970.52…………2540.20

第一步：將時間序列資料繪成統(tǒng)計圖；橫軸代表時期，縱軸代表銷售額。第二步，選擇加權系數(shù)值。本例采用試算法，分別選擇=0.3，=0.4，=0.5進行試算。第三步，確定初始值。本例項數(shù)較多，故并分別計算一、二、三次指數(shù)平滑值。第四步，建立三次指數(shù)平滑預測模型：平滑系數(shù)計算表平值滑系=0.3=0.4=0.5數(shù)a（25）42.310041.335440.5296b（25）5.15433.94222.3722c（25）0.1363-0.0112-0.2781第五步，利用預測模型第六步，通過分析，選定值及最后預測值。不能僅從分析預測誤差來選定值，還要結合實際定性分析。三次指數(shù)平滑值預測結果：預值

=0.3

=0.4

=0.5測值47.600745.266442.623753.164049.174944.161458.999953.061145.142965.108556.924845.568071.489860.766045.4369結合預測結果與該企業(yè)的市場環(huán)境及各方面的影響因素進行分析：當=0.3時，由，說明銷售額的增長趨勢很快，不符合該企業(yè)外部市場環(huán)境，不宜選=0.3。當=0.5時，銷售額略有增長后便呈下降趨勢，這也不符合市場的實際情況。當=0.4時，銷售額的增長趨勢與市場環(huán)境較接近，因此，選定=0.4作為加權系數(shù)，此預測值作為預測結果。6、評價：

1、

三次指數(shù)平滑預測不僅考慮了時間序列線性增長的因素，而且也考慮了二次曲線的增長因素。因此，對于預測對象的時間序列為二次曲線趨勢是較好的預測方法。2、

對線性趨勢的時間序列也可采用，值（曲率）計算后接近于0。3、

只適用于短、近期預測，不能用于中、長期，盡管三次指數(shù)平滑預測可以使數(shù)期以后的預測。作業(yè)4：某種產(chǎn)品產(chǎn)量1—10月份資料如下

取=0.7，求第11、12月份的產(chǎn)品產(chǎn)量。月份12345678910產(chǎn)品產(chǎn)量10121314131417171819四、可變指數(shù)平滑預測1、原理：加權系數(shù)值應隨預測值與觀察值的相對誤差的絕對值的大小而變。當相對誤差較小時，說明觀察值能較好地反映實際觀察值時間序列的變動情況，在預測變量下一期的值，應加大預測值的權數(shù)，即值應減少。反之，應加大觀察值的權數(shù)，即值增大。這樣值就隨著相對誤差的變化自動得到了調(diào)整。在實際應用時，可根據(jù)如下公式確定各期的值2、步驟：1）確定初始值，。2）已知，利用上式計算值。3）由值，運用進行預測，得。4）已知，再利用上式計算新的值。5）由新的值用，可預測出。如此反復，可利用時間序列中最新觀察預測下一期的值。。

3、例題：某地區(qū)產(chǎn)品的銷售量如下，試預測

1999年3月份的銷售量。年/月銷售量（噸）預測值1998/73.4793.4610.0050.071998/83.3963.4620.0190.141998/93.5073.4530.0150.121998/102.7043.4590.2790.531998/112.0263.0590.5100.711998/123.414