數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線(xiàn)性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來(lái)衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營(yíng)單位的相對(duì)效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線(xiàn)性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類(lèi)型組織（或項(xiàng)目）工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類(lèi)組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類(lèi)組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。但當(dāng)被衡量的同類(lèi)型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無(wú)法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績(jī)效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問(wèn)題的能力是具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（?！耆耄┰雌?978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國(guó)德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“MeasuringtheefficiencyofdecisionmakingunitsM（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡(jiǎn)稱(chēng)C2R模型。該模型用以評(píng)價(jià)部門(mén)間的相對(duì)有效性（因此被稱(chēng)為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面.目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來(lái)研究多種方案之間的相對(duì)有效性（例如投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何（例如建立新廠后，新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效）。DEA模型甚至可以用來(lái)進(jìn)行政策評(píng)價(jià)。最引人注目的研究是把DEA與其它評(píng)價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來(lái)納州各醫(yī)院的有效性評(píng)價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益°DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測(cè)定規(guī)模收益.其關(guān)鍵在于：-DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；-DEA致力于每個(gè)單個(gè)醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對(duì)整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評(píng)價(jià)醫(yī)院經(jīng)營(yíng)有效性時(shí)，將DEA與馬薩諸塞州有效性評(píng)定委員會(huì)使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對(duì)DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效.DEA法另一侗輿其他多屬性決策分析模式不同之虔，在於DEA不^ffi^H性之相封罹重，乃是由*m?料中推辱走生，每侗受言平方案的效率衡量乃是分別探取封言亥受言平方案最有利的罹重鮑合。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型簡(jiǎn)介DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線(xiàn)性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無(wú)限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評(píng)價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門(mén)”或“單位”（稱(chēng)為“決策單元”，簡(jiǎn)記DMU）間的相對(duì)有效性（稱(chēng)為DEA有效）。實(shí)際上"效率”或"相對(duì)有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過(guò)是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對(duì)各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。早期的孥者以^W^?M*KW效率，提出以生走遑界（productionfrontier）舄衡量效率之基磋，估言十主要有雨豐重方法?參數(shù)法（parameterapproach）利用理言命建情或^^推辱的方式予頁(yè)先哉定生走函數(shù)之形式。?照母數(shù)法（non-parametricapproach）恰好相反，DEA法即^一8M母數(shù)的生走函數(shù)分析法不予頁(yè)哉投入輿走出屬性之相封罹重，藉由^隙投入走出的資料形成包名各面（envelopmentsurface），推測(cè)出生走遑界。DEA使用步驟（1） 決策罩位之邀??；（2） 投入^出項(xiàng)之邀?。唬?） DEA模式之＜取；（4） 平估各吉果之分析。雁用DEA於多屬性平估冏題畤，必硝先定羲冏題瞭解冏題本^，釐清相封^效平估的目的經(jīng)由目

檬之建立哉定言平估率則。取DEA模式橫建效率遑界，業(yè)將決策罩位的**^效率遑界比段以衡量其效率，再將平估之各吉果加以分析，檢視決策罩位是否有效率。相封照效率的決策罩位，則分析其未建最佳效率的原因，提出努力方向和璃正行勤以改善其效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析基本概念在DEA中一般稱(chēng)被衡量績(jī)效的組織為決策單元(decisionmakingunit DMU)。設(shè)：n個(gè)決策單元(j=1，2，…，n)每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入(輸入)(i=1，2，…，m)每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出(輸出)(r=1，2，…，s)X.——第j決策單元的第i項(xiàng)投入yrj——第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出衡量第j0決策單元是否DEA有效決策單元12???n投1X11X12???X1n入2X21X22???X2n項(xiàng)???■■■???■■■■■■目mXm1Xm2■■■Xmn12■■■n決策單元y11y12???y1n1產(chǎn)y21y22■■■y2n2出?????????■■■???項(xiàng)ys1ys2■■■ysns目輸入型與輸出型的DEA模型-Input-DEA模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來(lái)估計(jì)。或者說(shuō)，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求0的最小。-Output-DEA模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來(lái)估計(jì)。或者說(shuō)，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。CCR模式假哉固定規(guī)模幸艮酬(constantreturntoscale)，也就是每一罩位投入可得走出量是固定的，不曹因規(guī)模大小而改燮Banker等人將CCR模式修正舄燮勒規(guī)模幸幸酬(VariableReturnstoScale,VRS)的假哉下衡量訣策罩位之相封效率，稠之舄BCC模式(Bankeretal.,1984)。此模式將決策罩位是否建到有效的生走規(guī)模也納入平估，故可同畤衡量規(guī)模效率(scaleefficiency)輿技徘亍效率(technicalefficiency)。C2R模型C2RC2R模型C2R的對(duì)偶輸入模型模型min0utYmax 9-VTX0s.tutY——a<1,j=1,…，n,vtX0u>0,v>0s.t ￡x人<0X,j=1ILy^人.>y,j=1尤>0,j=1,…,njC2R的對(duì)偶輸出模型模型maxzs.tExX<X,j=1'^YX.>zY,j=1X.>0,j=1,…,nBC2的對(duì)偶輸入模型模型Banker,CharnesandCooper(1984)min9s.t￡x人展X,j=11LyX>Y,j=1￡x=ijj=1">0,j=1,…,n個(gè)決策單元它的各項(xiàng)投構(gòu)建DEA模型的思路個(gè)決策單元它的各項(xiàng)投衡量某一決策單元j0是否DEA有效一一是否處于由包絡(luò)線(xiàn)組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由n組成（線(xiàn)性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于j0決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，入均低于j0決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即有：(j=1…n)^yrj>Vrjo(r=1，2，…，s）(j=1...n)趴xij，Exij0(i=1，2，…，m，E<1)(j=1.?.n)Aj=1，人j>0(j=1，2，...，n)這說(shuō)明j0決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上?；谏鲜鍪聦?shí)，可以寫(xiě)出如下線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：（把cita變成E）min9s.t￡XX<9X,j=i￡yX>Y,j=i￡x=ijj=1X.>0,j=1,…,n結(jié)果分析：1、 當(dāng)求解結(jié)果有E<1時(shí)，則j0決策單元非DEA有效；2、 否則，則j0決策單元DEA有效。具有非阿基米德無(wú)窮小量的C2R對(duì)偶輸入模型C ATmin[9-8（eS-+eTS+）]s.t￡XX+S-=9X,j=1ILy^X.—S+=Y,j=1Xj>0,j=1,…,nS->0,S+>0例1：考慮具有4個(gè)決策單元，2個(gè)輸入和1個(gè)輸出，相應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出:12341——1334輸入2—31321121—1輸出考察DMU/取￡=10kmin[9-8(s-+s-+s+)]s.t人+3人+3人+M+s-=93人+人+3人+2人+s-=39人+人+2人+人一s+=1TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 1人，人，人，人s-,s-,s+>01 2 3 4,1 2 1最優(yōu)解為M=(1,0,0,0)Ts-0=s-0=s+0=01 2 190=1所以，DMU1為DEA有效。DEA有效性的判斷-對(duì)具有非阿基米德無(wú)窮小量的C2R對(duì)偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性：?若0<1,則DMUj0不為弱DEA有效；?若0=1,。tS-+eTS+>0則DMUj0僅為弱DEA有效；?若0=1,etS-+eTS+=0則DMUj0為DEA有效；關(guān)于DEA模型的基本定理?存在性定理：至少存在一個(gè)決策單元，它是DEA有效的。?有效性與量綱選取無(wú)關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無(wú)關(guān)。?有效性與DMU同倍“增長(zhǎng)”無(wú)關(guān)定理:決策單元的DEA有效性與決策單元對(duì)應(yīng)的輸入和輸出同倍“增長(zhǎng)”無(wú)關(guān)。生產(chǎn)前沿面生產(chǎn)前沿面實(shí)際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱(chēng)謂"數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面(Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面)。技術(shù)有效與規(guī)模有效?技術(shù)有效：輸出相對(duì)輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線(xiàn)上。(其實(shí)這就是前面一直提到的相對(duì)有效性，注意，技術(shù)有效于純技術(shù)有效是不同的，有文獻(xiàn)指出，技術(shù)效率等于純技術(shù)效率與規(guī)模效率的乘積)?規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過(guò)小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。DMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來(lái)判斷DEA有效性，只有DMU2對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值00=1?？梢?jiàn)，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。相對(duì)有效性評(píng)價(jià)問(wèn)題舉例例2：碩士點(diǎn)教育質(zhì)量評(píng)價(jià)某系統(tǒng)工程研究所對(duì)我國(guó)金屬熱處理專(zhuān)業(yè)的26個(gè)碩士點(diǎn)的教育質(zhì)量，進(jìn)行了有效性評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)采用的指標(biāo)體系為：輸入：導(dǎo)師人數(shù)；實(shí)驗(yàn)設(shè)備；圖書(shū)資料；學(xué)生入學(xué)情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學(xué)生畢業(yè)時(shí)的情況。例3：行風(fēng)（行業(yè)作風(fēng)）建設(shè)有效性評(píng)價(jià)本項(xiàng)目研究人員選定江蘇省S市交通客運(yùn)系統(tǒng)作為對(duì)象，包括7家交通客運(yùn)汽車(chē)公司。選定了輸入指標(biāo)4項(xiàng)，輸出指標(biāo)4項(xiàng)。分別是：輸入指標(biāo)：1、年末職工總數(shù)（單位：人）；2、 單位成本（單位：元/千人公里）；3、 燃料單位消耗（單位：升/千人公里）；4、 行車(chē)責(zé)任事故率（單位：次/千人公里）。輸出指標(biāo)：1、勞動(dòng)生產(chǎn)率（單位：元/人）；2、 行車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)率（%）；3、 群眾滿(mǎn)意率（按問(wèn)卷調(diào)查）（%）4、 車(chē)輛服務(wù)合格率（包括：服務(wù)態(tài)度、服務(wù)措施、車(chē)輛設(shè)施等）（%）例4：銀行分理處相對(duì)有效性評(píng)價(jià)振華銀行的4個(gè)分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個(gè)分理處的運(yùn)行是否DEA有效。 （產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月）分理處投入產(chǎn)出職員數(shù)營(yíng)業(yè)面積（m2）儲(chǔ)蓄存取貸款中間業(yè)務(wù)分理處11514018002001600分理處22013010003501000分理處3211208004501300分理處4201359004201500解：若先確定分理處1的運(yùn)行是否DEA有效。建立線(xiàn)性規(guī)劃模型:minE1800人］+1000X2+800X3+900X4>1800200人］+350X2+450X3+420X4>2001600X］+1000X2+1300X3+1500X4>1600S.t. 15X1+ 20X2+21X3+20X4<15E140X1+130X2+120X3+135X4<140EX1+ X2+X3+ X4=1Xj>0 （j=1，2，3，4）求解結(jié)果分析：對(duì)分理處1，E=1，說(shuō)明分理處1的運(yùn)行DEA有效。對(duì)分理處2，E=0.996,說(shuō)明分理處2的運(yùn)行非DEA有效。對(duì)分理處3，E=1，說(shuō)明分理處3的運(yùn)行DEA有效。對(duì)分理處4，E=1，說(shuō)明分理處4的運(yùn)行DEA有效。例5：醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)-利用DEA模型分析4類(lèi)醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國(guó)家醫(yī)院）的相對(duì)效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產(chǎn)出（輸出量）。-例如，建立一個(gè)用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率的線(xiàn)性模型。?輸入量-全職非主治醫(yī)師人數(shù)?提供的經(jīng)費(fèi)?可供住院的床位數(shù)輸出量-開(kāi)診日的藥物治療服務(wù)?開(kāi)診日的非藥物治療服務(wù)?接受過(guò)培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目?接受過(guò)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目4類(lèi)醫(yī)院的年輸入量（年消耗）投入方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國(guó)家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費(fèi)（千兀）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類(lèi)醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）輸出方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國(guó)家醫(yī)院開(kāi)診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開(kāi)診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過(guò)培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目253148175160接受過(guò)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目41272384鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)一一DEA分析?通過(guò)建立一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型，以4類(lèi)醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個(gè)假設(shè)的合成醫(yī)院。通過(guò)將4類(lèi)醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。?在線(xiàn)性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類(lèi)醫(yī)院的加權(quán)平均）相對(duì)低效，進(jìn)而可被認(rèn)為比其他醫(yī)院相對(duì)低效。wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國(guó)家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個(gè)約束條件為wg+wu+wc+ws=1?為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量N鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量?我們可寫(xiě)出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws>36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws>45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws>175（護(hù)士）41wg+27wu+23wc+84ws>23（實(shí)習(xí)醫(yī)師）?為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量^鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量?引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E