2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)４葉挺峰第一編第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章重要是介紹運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一些特性，如極值、最值和對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行邊際分析、彈性分析等內(nèi)容:如何擬定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？１、定理:設(shè)y=f(ｘ）在[a,b]上連續(xù)，在(ａ,b）內(nèi)可導(dǎo),若X∈(a,b）,有fˊ(X)>0,f(X）在［a,b]上單調(diào)增長；ｆˊ(X)>0，f(X)在[ａ,b]上單調(diào)減少；此定理中的區(qū)間，稱為單調(diào)區(qū)間。２、擬定函數(shù)y=ｆ(ｘ）單調(diào)區(qū)間環(huán)節(jié):擬定Ｙ=f(x)的定義域D;求Ｙˊ;令Ｙˊ=0,求出根；用Yˊ=0的根，劃分Ｄ為幾個(gè)社區(qū)間,列出表格判別；結(jié)論。例如：擬定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:f(ｘ）的定義域：=6(Ｘ-1）（X-２)令即6（X-1）（X-2）＝0得X1=1,X2=2列表X(-∞，１）1（１,２)２（2，＋∞)Yˊ+-+Y↗↘↗注意:擬定Yˊ的符號(hào)時(shí)，可取社區(qū)間中任意一個(gè)擬定數(shù),如:０,1．5，３,代入fˊ(X)式中定出yˊ的正、負(fù)號(hào)，再用符號(hào)“↗”、“↘”分別表達(dá)，曲線上升或下降。故f(x)單調(diào)增長區(qū)間為（-∞,1],[2，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為[1，2］函數(shù)極值和最值：函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。取到極大值或極小值的點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。1、極值的必要條件:f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo),點(diǎn)X0是f(X)的極值點(diǎn),則fˊ(X０)=0２、駐點(diǎn):使fˊ(X）=0的點(diǎn)，稱為f（Ｘ)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn))。注意:(1)點(diǎn)X0是f(ｘ)的極值點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn))，f(x)在X０處可導(dǎo)，則點(diǎn)X０必然是駐點(diǎn)；(2）駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；(3)在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，也許有極值。3、極值存在充足條件:設(shè)f(x)在點(diǎn)Ｘ０的鄰域連續(xù)且可導(dǎo)(fˊ（X0）可以不存在），當(dāng)X從X0的左側(cè)到右側(cè)取值時(shí),ｆˊ(X)符號(hào)：從+變－，X0為極大值點(diǎn),f(X0）為極大值;從-變＋，X0為極小值點(diǎn),f(X０)為極小值；不變號(hào)，X0不是極值點(diǎn),ｆ(X)在X0處無極值。用以上定理,可判別X０是不是f(X）的極值點(diǎn)。下面舉例說明如何求函數(shù)的極值和極值點(diǎn)。例如:求函數(shù)的極值。解：f(x）的定義域(-∞，+∞）令fˊ(X)=0則有得駐點(diǎn)X=8X＝0使fˊ(X)無意義,X＝０是fˊ（Ｘ)不可導(dǎo)的點(diǎn)。列表X（－∞，０)0(0,８)8(8,＋∞)ｙˊ－不存在+0-y↘0↗4↘極小值極大值故X=０是極小值點(diǎn),極小值f(0)=0ｘ=8是極大值點(diǎn),極大值f(8)=44、函數(shù)的最值：函數(shù)最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值。對(duì)整個(gè)函數(shù)定義域而言，極值是局部概念,函數(shù)最值是整體概念。求應(yīng)用問題的最值，常用以下的結(jié)論:f（x）在[a,b]上連續(xù),在(a,b）內(nèi)可導(dǎo),且Ｘ０是f(x)在（a,ｂ）內(nèi)唯一駐點(diǎn),那么當(dāng)X0是f(x)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）時(shí),X0一定是ｆ(ｘ)在[a,b]上的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）,ｆ(x0)是函數(shù)f(x)的最值。例如：生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)C（X)＝2求使平均成本最低的產(chǎn)量及最低平均成本。解:平均成本令A(yù)′（X)＝0,則有=0得X1＝20X2=－２０（舍去)當(dāng)Ｘ＜２０時(shí)，A'(Ｘ）＜０當(dāng)X>２０時(shí)，A'(Ｘ)＞０Ｘ＝20是極小值點(diǎn)，在(0，+∞ｅQ＼ｆ(c(x),ｘ)）內(nèi)駐點(diǎn)唯一，X=2０也是最小值點(diǎn)。故當(dāng)產(chǎn)量Ｘ=２0時(shí),平均成本最低,最低平均成本為A(2０)＝三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1、需求(價(jià)格）彈性設(shè)某商品的市場(chǎng)需求量為q，價(jià)格為P,需求函數(shù)q＝q(P）可導(dǎo)，則稱為該商品需求價(jià)格彈性,簡稱需求彈性。其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)某種商品的價(jià)格下降(或上升）1％時(shí)，某需求量將增長（或減少）｜Ｅp｜%。例如:某種商品的需求量ｑ(單位：百件)與價(jià)格P(單位：千元）的關(guān)系為：ｐ∈[0，10]求當(dāng)價(jià)格為9千元時(shí)的需求彈性。解：當(dāng)P=9時(shí),2、三個(gè)邊際函數(shù)邊際成本：邊際成本是總成本函數(shù)C（q）關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù)，記為MC,則有ＭC=C'（q)。經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為p時(shí),再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增長的成本。即邊際成本是第q+1個(gè)產(chǎn)品的成本。邊際收入：邊際收入是總收入函數(shù)R(ｑ）對(duì)銷售量q的導(dǎo)數(shù)，記為MR。經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)銷售量q時(shí)，再銷售一個(gè)商品所增長的收入。邊際利潤：利潤函數(shù)L=L（q)對(duì)銷售量q的導(dǎo)數(shù),稱為邊際利潤，記為ＭＬ。由于利潤函數(shù)Ｌ(q）=R（q)－c(q),則有L′(q)=R′(ｑ)-c′(q）例如:已知總成本函數(shù)為Ｃ(q）＝2023+450q+0.0２ｑ2銷售單價(jià)為４9０,求C′（q)L(q)及L′(q)解:1）C′(q)4５0+0,04q２)總收入函數(shù)R(ｑ)＝pｑ=490q利潤函數(shù)：Ｌ(q)=R(q)-C(ｑ)＝４90q－（2０２３＋450q+０．02q2)=－0.02q2+40q－２023邊際利潤函數(shù)為:L′(ｑ)=-0.04ｑ+40自測(cè)題：一、選擇題:

1、函數(shù)y=x2-4x+５在區(qū)間(0,+∞eQ\f(c(x)，ｘ)）內(nèi)[]A、單調(diào)增長Ｂ、先單調(diào)增長后單調(diào)減少C、先單調(diào)減少后單調(diào)增長Ｄ、單調(diào)減少2、下列結(jié)論中對(duì)的的是（）。A、函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)Ｂ、函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C、函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)必為0D、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是駐點(diǎn)3、設(shè)需求函數(shù)q=,則需求彈性EP＝（)A、B、C、D、二、填空題1、f(ｘ）在(ａ，ｂ)內(nèi)有f'(X)＝0,則f(X)=。2、函數(shù)f(x)=x2-１的單調(diào)下降區(qū)間是。3、已知需求函數(shù),則需求彈性EＰ=。三、計(jì)算題擬定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)f（x)=-X４+ｅｑ\f(8,3)x3－２ｘ2+2的極值。某產(chǎn)品固定成本為18（萬元），可變成本２ｘ2＋５X（萬元）,其中X為產(chǎn)量（百臺(tái)），求使平均成本最低的產(chǎn)量。某產(chǎn)品的需求量ｑ＝25０-2Ｐ(P為價(jià)格),價(jià)格為多少時(shí)，可使收入最大？已知某商品的需求量q=1200-100p（件),其中P是價(jià)格(元／件），求使收入最大的銷售量和相應(yīng)的最大收入。某廠生產(chǎn)Ｘ個(gè)產(chǎn)品的成本為

C（X)=２Ｘ+100（元)得到收益為R（X)=８X－0.0１x2(元),問生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品時(shí)才干利潤最大?最大利潤是多少?答案:選擇題：1、C2、D3、C填空題:1、C(常數(shù))2、（0,＋∞eQ＼f(c(x),x))3、計(jì)算題:f(ｘ)單調(diào)增長區(qū)間（-∞,-1］,[3,+∞）單調(diào)減少區(qū)間為[－1,3]X=０是極大值點(diǎn)，極大值f(0）＝２3(百臺(tái))62.5ｑ=6０0(件),最大收入Ｒ(60０)=3600(元)q=30０(個(gè)),最大利潤L（300)=800(元)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)5葉挺峰第二編一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分什么是原函數(shù)?設(shè)f(x）是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在F(x),對(duì)任何x∈D,均有F′(x）=f（x)(或dF（x）=f（x)dx)則稱Ｆ（x)為ｆ(x)在Ｄ上原函數(shù)(簡稱ｆ(x)的原函數(shù))。注意：函數(shù)f(x)的原函數(shù)不唯一,有無窮多個(gè)。ｆ(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)。例如:Ｆ(X)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，Ｃ為常數(shù)，有[Ｆ(x）+Ｃ]′＝Ｆ′(x)=f(ｘ)。不定積分定義：對(duì)于某區(qū)間D上的函數(shù)ｆ(x)為可積函數(shù),若存在原函數(shù),則稱ｆ(ｘ)為可積函數(shù)，并將ｆ（x)的全體原函數(shù)記為∫ｆ(x)dx,并稱它為函數(shù)f(ｘ）的不定積分。若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),C為任意常數(shù),由于f(x)的全體原函數(shù)可表達(dá)為F(x)＋C，則有∫ｆ(x)dx=F(x）+C其中Ｃ稱為積分常數(shù)。為什么求積與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算?在∫ｆ(ｘ)dx=F(x)＋C中，兩邊對(duì)ｘ求導(dǎo),則有［∫f(x)dｘ]′=[F（x）+C]′＝F′(x)=ｆ（x)又因∫F′（x)ｄx=∫ｆ(ｘ)dx=F(x)+C上式表白:對(duì)F(x)先導(dǎo)后積，結(jié)果是F(ｘ）加上一個(gè)常數(shù)?？梢姡呵蠓e與求導(dǎo)(或求微分)互為逆運(yùn)算。基本積分公式:求積與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算，因此,有一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式就有一個(gè)相應(yīng)的積分公式,同學(xué)們應(yīng)熟記以下九個(gè)積分公式?！遥飀x=ｃ∫xndx=eq\ｆ(xn＋1,ｎ+１)+C(n≠－1）∫ｅq\ｆ(dｘ,x)=ｌn|x|+c∫aｘdx=eq\f(ax,lnａ)+ceｑ(f(１,2）)fｑ(∫ｅxdx=eｘ+c∫ｓｉｎxdｘ=－coｓx＋ｃ∫cosdｘ＝sｉnx+c∫eq＼f(dx,sin2x)＝-ｃotx＋ｃ∫eq\f(dｘ,ｃos２x)=taｎx+c基本積分方法:不定積分常用性質(zhì)代數(shù)和分開積∫[f（x)±ｇ（x)]dx=∫f（x)dx±∫g(x）dｘ常數(shù)因子提出來∫kf(x）dx=k∫f(x)dx(ｋ≠０常數(shù)）積分基本方法：直接積分法這是用不定積分運(yùn)算性質(zhì)和積分基本公式，直接求出不定積分的方法。例1：求下列不定積分∫(3x2-2x+1）dx解:原式=３∫x2dx-2∫xdx+∫dｘ=3·eq\ｆ(x3,2+1)－2·eq\f(x２,１+1)+x+c=x3-x2+x+c∫(eｑ\f(1,2x)+２x)dｘ解:原式＝eq\f(1,２)∫eq\ｆ(１,x)ｄｘ+∫2xdx=eq\ｆ（1，2)ｌn|x|+eq\ｆ(2x,lｎ2)+c∫ex(１+e－x)ｄx解：原式＝∫exdx+∫dx=ex+x+c∫taｎ2ｘdｘ解:原式=∫eq＼ｆ(sin2x,cｏs２x)dx=∫eq\ｆ(１-cos2x,ｃoｓ２x)ｄx=∫eq\f（1,cos２ｘ)dｘ-∫dx=tａnx－x+c湊微分法（又名第一換元法)這是計(jì)算不定積分重要方法，又是本章重點(diǎn),應(yīng)多做練習(xí),純熟掌握。湊微分法又名第一換元法。這方法實(shí)質(zhì)上是把被積表達(dá)式湊成微分形式，再用基本公式求積。即f[ｕ（x）]u＇(x）ｄｘ=ｆ[u(x)]dｕ(x)u(x)=ｕ,有f(ｕ)ｄu＝F＇(ｕ)du=ｄF(ｕ)故∫dＦ(u)=Ｆ(u)+c=F［ｕ(x)]＋c［u＝u(x)]注意：使用這方法求積,湊微分時(shí)需換元即選取新積分變量;在結(jié)果中要回代，消去中間變量。例如:求∫e2xdx解:令2ｘ=u,(以便用∫exdx公式)du＝(２ｘ)＇dx=2dxdx=ｅq\f(１,2）dｕ原式=∫ｅueq\ｆ(1,2)ｄu＝eｑ＼f(1,2）∫eudu=eq＼f(1,2)eｕ＋c=eq＼ｆ(1,2)ｅ2x＋c求下列不定積分∫eq\f(1,2ｘ-1)ｄx解:令2ｘ-1＝u（以便用∫ｅq＼ｆ(1,x)dx公式)dｕ=(２x-１）＇ｄx=2dxdｘ=ｅq\ｆ(１，2）ｄu原式=∫eq\f（1,ｕ)·eq\ｆ(１,2）du＝eq\f(1，2）∫eq\f(1,u)dｕ=eq\ｆ（1,2)lu|u｜＋ｃ=eq＼ｆ(1,2)ln|2x-１|+c∫eq＼f(sｉn\f(1,x),ｘ2)ｄｘ解:令ｅq\f(1,x)＝udu=－eq\f(１，ｘ２)ｄx原式=－∫siｎｅq\f(１,x）·（－eq＼f（1，x2））d=－∫sinuｄｕ=cosu＋c=ｃosｅq\f(1,x)+ｃ熟悉了湊微分法求積分,可以省略換元、回代，但要熟記下列常用的湊微分公式,公式是：(1）ａｄx＝d(ａx+b）(a≠0常數(shù)，b常數(shù)）(2）ｘｄx=eｑ＼ｆ(1,2)dｘ2(3)coｓｘdx＝d(sinx)（４)sinｘdｘ=-d（ｃoｓｘ)（５）ｅq\ｆ（１,＼r(x))ｄx=2ｄ(eq\r(x))(6)eq\f(１,x２）ｄx＝－ｄ(eq\f(1,x)）(７）eｑ\f(１,ｘ）ｄx=d(ｌｎｘ）（8)ｅｘdｘ=d(ｅx)例3：求下列不積分∫siｎ2xｄx解:原式＝eq\f（1,2)∫sｉｎ２xd(2x)＝－eq＼f(１,2)cos2x+c∫ｔａｎxdx解:原式＝∫eq\f(sinｘ,coｓｘ)ｄx=－∫eｑ\f(dcｏsx,cｏｓx）=-ln|cosx|＋c∫eq\f(lnx,x)dｘ解：原式=∫ｎｘｄlnｘ＝eq\f(1，2)ln2x+c∫eq＼ｆ(eｘ,１＋ex)ｄx解:原式＝∫eq\f(ｄ(１+ex),1+ｅx）=ln|1+ｅx｜+c3、分部積分法這是求不定積分另一種重要方法,是本章重點(diǎn)之一。在被積表達(dá)式中，出現(xiàn)函數(shù)之積,需要分部積分法求積。(1)分部積分公式：設(shè)u=u(x),v=ｖ(ｘ)都是連續(xù)可微函數(shù)，則∫ｕdv=ｕv-∫ｖｄu(2）u、ｄv選擇的原則在被積表達(dá)式中,對(duì)出現(xiàn)下列情況時(shí),u、dv選擇的原則是：xkeaxdx1°xｋsiｎaxdx選u=xk,其他為dvｘkｃosaxdx2°eaxsinbxdxeaｘcosbxｄx選u=ｅａx,其他為dv３°xｋlnｍxdｘ選u=lnｍx,其他為ｄv。(3)分部積分時(shí)，dv中函數(shù)ｖ如何找?１°用湊微分得到2°一時(shí)無法湊微分,可用不定積分∫dv=v＋c求得一個(gè)原函數(shù)ｖ，把ｖ放在d之后，不必把積分常數(shù)ｃ也放入ｄ之后，由于d(ｖ+c)＝dv。例4：求下列不定積分：∫ｘ2exdx解：原式＝∫ｘ2dex=ｘ2eｘ-∫eｘdx2=x2ex－2∫ｘexｄx=ｘ２ex-2∫ｘｄｅx＝x2ｅx-２[ｘex－∫exdｘ]=x2ex-2xｅx+2ex+c=(x2－2ｘ+2)ex+ｃ從上例可見,分部積分公式可反復(fù)使用?！襡xｃosdｘ解:原式=∫ｅｘｄsｉnx＝exsinx－∫sｉnxdex=exsiｎx-∫ｅxsiｎxｄx=exsinｘ+∫ｅxｄｃosｘ=exsｉnx+excｏsx－∫cosxdｅｘ＝exsinx＋excｏsx-∫excosｘdx+2c則2∫exｃoｓxｄx＝(ｓinx＋cosx)ex+2c原式＝ｅｑ\ｆ（１,2)(sinx+cosｘ)ex+ｃ∫2xlnxdx解：原式=∫lnxdx2=x2lｎx－∫ｘ２dlnx=x2lｎｘ－∫eq＼ｆ（x2,x)ｄｘ=x2ｌnｘ-∫xdx＝x2ｌnｘ-eｑ\ｆ(1，2)x2+ｃ自測(cè)題:選擇題：若F(ｘ)是f(ｘ)的一個(gè)原函數(shù)，則∫ｆ(3x+2)dｘ＝()A、F(３x+2)+cB、eｑ\f（1,３）Ｆ(ｘ）+cＣ、eq\f(1,3)Ｆ（3x+2)+cD、Ｆ(ｘ)+c2、若∫f(x)dx=ｃos3x+c,則f(x)=（）A、-３sin3ｘＢ、-３cｏｓ3xC、3siｎ3xD、3cｏs３ｘ3、下列等式成立的有()A、eq＼f（１,\r（x))dx＝deq＼r(x)B、eq\f(1,x2)dｘ=-ｄ(ｅq\ｆ(１,x）)Ｃ、sｉnxdx＝d(coｓx)D、axdｘ＝lnadax４、下列等式對(duì)的的是（) A、eq＼ｆ(1，３)x２dx＝d(x3)B、eq\f(１，x)dｘ=d(ln｜x|)C、ｓinxdｘ=d(ｃｏsx）D、eq\ｆ(2ｘ,ln2)dｘ＝d(2x)5、d(∫ａ-３xｄx)=（)A、a－３xdxB、a－3x（-3lｎa）ｄｘＣ、a-3xＤ、a-３x＋c6、若f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，則下列等式中不對(duì)的的是()A、[∫f（x)ｄx]'=ｆ(ｘ)Ｂ、∫f＇（x)dｘ=f(x)+cＣ、d[∫f(ｘ)ｄx]=f(ｘ）dxD、∫dｆ(x)＝ｆ(x）填空題:1、若函數(shù)ｆ(x)的一個(gè)原函數(shù)Ｆ(x）=x３，則f'（x)＝。2、∫sｉn2xcｏsxdx=。3、若∫ｆ(x)dx=ｘ2+c,則∫ｘf（1－ｘ2)dx＝。計(jì)算題：求下列不定積分(1)∫（ｘ2