第二節(jié)根軌跡繪制的基本規(guī)則

06-Feb-231第二節(jié)根軌跡繪制的基本規(guī)則06-Feb-2322、根軌跡的對(duì)稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)根或共軛復(fù)根。即特征根位于復(fù)平面的實(shí)軸上或?qū)ΨQ于實(shí)軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系，根軌跡的特殊點(diǎn)，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢(shì)。以下的討論是針對(duì)參數(shù)Kg的180度根軌跡的性質(zhì)。根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益Kg的函數(shù)。當(dāng)Kg從0到無窮變化時(shí)，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。一、根軌跡繪圖的基本規(guī)則06-Feb-2334、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：

Kg=0時(shí)為起點(diǎn)，Kg=∞時(shí)為終點(diǎn)。根軌跡的支數(shù)和起始點(diǎn)3、根軌跡的支數(shù)：當(dāng)Kg=0時(shí)，只有s=－pj(j=1~n)時(shí)，上式才能成立。而－pj是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，所以根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。n階系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別是n支根軌跡的起點(diǎn)。n階特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg從0到無窮大變化時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。由根軌跡方程得根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。06-Feb-234

我們稱系統(tǒng)有n－m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)當(dāng)Kg=∞時(shí)，①s=－zi(i=1~m)，上式成立。－zi是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有m個(gè)。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。②若n>m，那么剩余的n－m個(gè)終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。由根軌跡方程得由根軌跡方程知：當(dāng)s→∞時(shí)06-Feb-235根軌跡的漸近線5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時(shí)趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，06-Feb-236根軌跡的漸近線當(dāng)Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項(xiàng)式定理當(dāng)時(shí)，，令，06-Feb-237根軌跡的漸近線設(shè)s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(DeMoive)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為06-Feb-238根軌跡的漸近線這是與實(shí)軸交點(diǎn)為－s，斜率為

的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實(shí)軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為06-Feb-239[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)無有限值零點(diǎn)，所以三支根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的傾角：零極點(diǎn)分布和漸近線（紅線）如圖所示。06-Feb-23106、實(shí)軸上的根軌跡：

實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]：例如在實(shí)軸上有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2，復(fù)平面上有一對(duì)共軛極點(diǎn)p3、

p4和一對(duì)共軛零點(diǎn)z1、z2

。先看試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)：所以s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡②成對(duì)出現(xiàn)的共軛零點(diǎn)z1、

z2對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；③試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn)p2對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為0°；④試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn)p1對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為180°；再看s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。①成對(duì)出現(xiàn)的共軛極點(diǎn)p3、

p4對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；同樣s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn)。06-Feb-2311[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實(shí)軸上的根軌跡。[解]：零極點(diǎn)分布如下：

紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“”表示。實(shí)軸上的根軌跡例題06-Feb-23127、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：

若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)如圖所示某系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖隨著Kg的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上B點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Kg→∞時(shí)，一支根軌跡終止于－z，另一支走向－∞。由開環(huán)極點(diǎn)－p1、－p2出發(fā)的兩支根軌跡，隨著Kg的增大在實(shí)軸上A點(diǎn)相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。A、B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合分離點(diǎn)。06-Feb-23137、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：

若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。

如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)(其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn))之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)

一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)。

如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。

有時(shí)也稱從實(shí)軸分離進(jìn)入復(fù)平面的點(diǎn)為分離點(diǎn)；而稱從復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸的點(diǎn)為會(huì)合點(diǎn)。06-Feb-2314[分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)表示這些點(diǎn)是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：即[分離角]：根軌跡進(jìn)入分離（會(huì)合）點(diǎn)的切線方向與離開分離（會(huì)合）點(diǎn)的切線方向之間的夾角。實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的求法因閉環(huán)特征方程為：設(shè)時(shí)，特征方程有重根，則必同時(shí)滿足06-Feb-2315由此得：即：實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的求法注意：由上式可求得的點(diǎn)是分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必要條件，還需求出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，若增益為大于零的實(shí)數(shù)，則所求出的點(diǎn)為分離會(huì)合點(diǎn)。06-Feb-2316②極值法：若以Kg為縱坐標(biāo)，以實(shí)軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)上，Kg具有極值。實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的求法即06-Feb-2317③求分離會(huì)合點(diǎn)的另一個(gè)公式實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的求法設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為：重根時(shí)還滿足06-Feb-2318實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的求法06-Feb-2319[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的位置。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必對(duì)稱于實(shí)軸。顯然，分離回合點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點(diǎn)。[解]：閉環(huán)特征方程為：06-Feb-23208、根軌跡的出射角和入射角：當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角稱為入射角。

圖中有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。－p1,－p2為共軛極點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)算－p1的出射角。設(shè)為q1c。

在離開－p1附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1,則s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件：當(dāng)s1→－p1時(shí)，b1即為離開－p1的根軌跡的出射角，b1→q1c根軌跡的出射角和入射角

－p2的出射角應(yīng)與－p1的出射角關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。06-Feb-2321式中：bj為除了－px以外的開環(huán)極點(diǎn)到－px的矢量的相角；ai為開環(huán)零點(diǎn)到－px的矢量的相角。同樣，進(jìn)入復(fù)零點(diǎn)－zy的根軌跡入射角qyr為：式中：ai為除了－zy以外的開環(huán)零點(diǎn)到－zy的矢量相角；bj為各開環(huán)極點(diǎn)到－zy的矢量相角。根軌跡的出射角和入射角一般情況下，可求出根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)－px的出射角qxc為：出射角是根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角；入射角是根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)沿有根軌跡的方向做切線與正實(shí)軸的夾角。06-Feb-2322[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的出射角。[解]：根據(jù)對(duì)稱性，可知點(diǎn)的出射角為：

相角要注意符號(hào)；逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；注意矢量的方向：[注意]：注：出射角和入射角的計(jì)算公式同樣適合于實(shí)軸上的零極點(diǎn)。06-Feb-2323重極點(diǎn)的出射角和重零點(diǎn)的入射角：06-Feb-23249、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)：根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益Kgp稱為臨界根軌跡增益。交點(diǎn)和Kgp的求法：

在閉環(huán)特征方程中令s=jw，然后使特征方程的實(shí)、虛部分別為零即可求出w和Kgp。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。根軌跡和虛軸的交點(diǎn)06-Feb-2325方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和。當(dāng)時(shí)，為根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)）當(dāng)

時(shí)，

，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

。06-Feb-2326方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點(diǎn)）。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：06-Feb-232710、閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和與之積：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：

，則閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和與之積06-Feb-2328比較(1)、(2)式得：

當(dāng)n-m≥2時(shí)，

，即：對(duì)于任意的

，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)（變大），則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)（變小）。

閉環(huán)極點(diǎn)之積為：

根據(jù)上述10個(gè)性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和與之積當(dāng)有為零的開環(huán)極點(diǎn)：06-Feb-2329根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；

實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。06-Feb-2330五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；

結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。用勞斯判據(jù)或用s=jw代入特征方程求得。06-Feb-2331⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。解:⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]⒋出射角06-Feb-2332⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為將代入得：06-Feb-2333⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將代入得為復(fù)數(shù)。06-Feb-2334⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角解:⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]06-Feb-2335⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為將代入得：06-Feb-2336⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)都在根軌跡上，所以都是分離會(huì)合點(diǎn)。06-Feb-2337⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：，06-Feb-2338⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這點(diǎn)在根軌跡上，所以是分離會(huì)合點(diǎn)。而且是三重根點(diǎn)。此時(shí)分離角為06-Feb-2339二、根軌跡繪圖的幾個(gè)重要特點(diǎn)⒈在開環(huán)傳遞函數(shù)增加極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響①增加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊增加極點(diǎn)會(huì)使原根軌跡向右半部移動(dòng)，雖然很難作出確切的說明和提供必要的證明，但可以用幾個(gè)例子說明。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。06-Feb-2340[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡:(－∞,－4],[－2,0]⒋求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為將代入得：⒌求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程可得由圖知只有Kg>0的點(diǎn)在根軌跡上，所以－0.845是分離會(huì)合點(diǎn)。06-Feb-234106-Feb-2342[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：[－