第17章動力學普遍定理

§17-4動力學普遍定理的綜合應用

第17章動力學普遍定理§17-1動量定理§17-2動量矩定理§17-3動能定理1

實際上的問題是：(1)聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。(2)大量的問題中，不需要了解每一個質點的運動,僅需要研究質點系整體的運動情況。動力學普遍定理概述對質點動力學問題：可由前一章內容建立運動微分方程求解。對質點系動力學問題：可以逐個質點列出其動力學微分方程聯(lián)立求解，但求解過程很復雜。2

本章將要講述求解動力學問題普遍適用的方法,即動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)，它們從不同的側面揭示了質點和質點系總體的運動與其受力之間的關系，可以求解質點系動力學問題。3§17-1動量定理1.動量在日常生活和工程實踐中可看出，質點的速度和質量的乘積表征了質點機械運動的強弱，例：槍彈：速度大，質量小；船：速度小，質量大。質點的動量：質點的質量與速度的乘積mv稱為質點的動量。是瞬時矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。質點系的動量：質點系中所有各質點的動量的矢量和。4如i質點的矢徑為ri，其速度為，代入式(17-1)，因mi不變，則有：(17-1)式中n為質點數(shù)，mi為i質點的質量，vi為質點速度矢量。5令

為質點系總質量，與重心坐標類似，定義質點系質量中心（質心）代入上式，得上式表明，質點系的動量等于質心速度與其全部質量的乘積。6剛體是由無限多個質點組成的不變質點系，質心是剛體內某一確定的點。對于質量均勻分布的規(guī)則剛體，質心就是幾何中心，由式(17-3)可以方便的計算剛體或者剛體系統(tǒng)的動量。7曲柄連桿機構的曲柄OA以勻角速度轉動，設OA=AB=l

，曲柄OA及連桿AB都是勻質桿，質量各為m，滑塊B的質量也為m。求當j

=45o時，系統(tǒng)的動量。

例題17-18解：曲柄OA：滑塊B：連桿AB：

(P為速度瞬心，

)例題17-19例題17-1q102．沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內對物體作用的累積效應的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。如力F是常矢量,則此力的沖量為：I=Ft(17-4)11如力F

是變矢量（包括大小和方向的變化）：在微小時間間隔內，力F的沖量稱為元沖量。而力F在時間t內的沖量為矢量積分：

(17-5)元沖量為：dI

=Fdt沖量的單位：N·s=kg·m/s2·s=kg·m/s

與動量單位相同。123.動量定理(1)質點的動量定理式(17-6)是質點動量定理的微分形式，即質點的動量對時間的導數(shù)等于作用于質點的力，或質點動量的增量等于作用在質點上的元沖量。對上式積分，時間由0到t，速度由v0變?yōu)関，得式(17-7)是質點動量定理的積分形式。13質點動量定理的積分形式，表明在某一時間間隔內，質點動量的變化等于作用于質點的力在此段時間內的沖量。(2)質點系的動量定理質點系的外力與內力

外力：所考察的質點系以外的物體作用于該質點系中各質點的力。內力：所考察的質點系內各質點之間相互作用的力。對整個質點系來講，內力系的主矢恒等于零，內力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：14設質點系有n個質點，由質點動量定理，對質點系內任一質點

i，對整個質點系，有n個方程，相加得因質點系動量增量為：15上式可變?yōu)槭?17-8)是質點系動量定理的微分形式，表明質點系動量的增量等于作用在質點系的外力元沖量的矢量和；式(17-9)表明質點系動量對時間的導數(shù)等于作用于該系外力的矢量和（外力的主矢）?；?6式(17-10)為質點系動量定理的積分形式，表明在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于在這段時間內作用于質點系外力的沖量矢量和。對(17-8)式積分，得另外，從上述定理可看出，質點系的內力不能改變質點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內各質點動量的傳遞。17

(17-12)動量定理是矢量式，在應用時應采用投影式，如式(17-9)和式(17-10)在直角坐標系的投影式分別為：18由式(17-11)和式(17-12)，如果質點系受到外力之主矢等于零，質點系的動量將保持不變，即(3)質點系動量守恒定律以上結論稱為質點系動量守恒定律。同樣，如果質點系受到外力之主矢在某一坐標軸上的投影等于零，質點系的動量在該坐標軸上的投影也保持不變。如，則19質量為m2的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質量為m1的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。例題17-2m2120解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析：水平方向px

=常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則運動分析：設大三角塊速度v，小三角塊相對大三角塊速度為vr，則小三角塊va=ve+vr。例題17-2FNm2gm1gvrv21例題17-2FNm2gm1gvrv22質點系在力作用下其運動狀態(tài)跟質點系質量分布狀態(tài)有關，前面定義了質心的位置，即4.質心運動定理(1)質量中心質心位置反映出質點系質量分布的一種特征，在動力學中該概念具有重要地位，計算中常用直角坐標下的投影式，即23(2)質心運動定理由式(17-3)知，質點系動量等于質點系質量與質心速度乘積，則動量定理的微分形式可寫成24對質量不變質點系，該式改寫為(17-14)上式表明質點系質量與質心加速度乘積等于作用于質點系外力矢量和，該規(guī)律稱為質心運動定理；它同質點動力學基本方程相似，可以把質點系質心運動看作一個質點的運動，此質點集中了質點系的質量和外力。25(3)質心運動守恒定律從質心運動定理知，如果作用于質點系外力主矢為零，則質心作勻速直線運動；若開始靜止，則質心位置不變。如果作用于質點系的所有外力在某個軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質心速度在該軸上投影不變；若開始速度為零，則質心在該軸坐標不變?！摻Y論稱為質心運動守恒定律。只有外力才能改變質點系質心的運動,內力不能改變質心的運動，但可以改變系統(tǒng)內各質點的運動。26電動機的外殼固定在水平基礎上，定子(包括外殼）重為P,轉子重為P

,轉子的軸通過定子的質心O1,但由于制造誤差,轉子的質心O2到O1的距離為e。求轉子以角速度

作勻速轉動時，基礎作用在電動機底座上的水平和鉛垂約束力。例題17-327解:取整個電動機作為質點系研究，分析受力，受力圖如圖。運動分析：定子質心加速度a1=0，轉子質心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例題17-3a1=0，a2=e2根據(jù)質心運動定理，有m2=P/g)28可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。例題17-3m1=m2=P/g所以:29浮動起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10kN,長l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN。

設開始起吊時整個系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60o,水的阻力不計,求起重桿OA與鉛直位置成角2

=30o時船的位移。例題17-430解：取起重船，起重桿和重物組成的質點系為研究對象。受力分析如圖示，，且初始時系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質心的位置坐標xC保持不變。例題17-4oyxm1=P1/g,m2=P2/g,m3=P3/g31設船的位移x１，向右，桿的質心水平位移重物的位移例題17-4oyx32計算結果為負值，表明船的位移水平向左。例題17-4oyx33【思考題17-1】為什么動量定理的微分形式可用其兩邊向任何軸（直角坐標軸與自然坐標軸）上投影來求解動力學問題？動量定理的積分形式是否也可將其兩邊向自然坐標軸上投影來求解動力學問題？【思考題17-2】當質點系的動量守恒時，其中各質點的動量是否也必須保持不變？34

動量定理只揭示了質點和質點系動量變化與外力主矢的關系；質心運動定理只揭示了質心運動與外力主矢的關系。但不是質點系機械運動的全貌。下面介紹動量矩定理，動量矩定理建立了質點和質點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關系，從另一個側面揭示出質點系對于某一點的運動規(guī)律。35

§17-2動量矩定理(1)質點的動量矩設質點某瞬時動量為mv，其對O點的位置為矢徑r，如圖所示，定義質點Q的動量對于O點的矩為質點對點O的動量矩，是矢量；定義質點動量mv在Oxy平面上的投影（mv)xy對于點O的矩，為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數(shù)量。表示如下(17-15)(17-16)動量矩的單位為：kg·m2/s1．動量矩36正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：順時針為負，逆時針為正。

質點對于O點的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉動的強弱。37質點系對點O動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和，或者稱為質點系對點O的主矩，即(2)質點系的動量矩質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即利用式(17-16)，得上式表明：質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質點系對于該軸的動量矩。

38剛體移動時，可把其質量集中于質心，作為一個質點計算其動量矩；剛體作定軸轉動時，其對軸z的動量矩為令稱為剛體對z軸的轉動慣量，于是有即繞定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積。39已知，滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1；滑輪B：m2，R2，J2

；物體C：m3；運動情況如圖所示。求系統(tǒng)對O軸的動量矩。例題17-5C40解：例題17-5C412.動量矩定理(1)質點的動量矩定理對質點動量矩求一次導數(shù)，得42(17-21)式(17-21)表示質點對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩，稱為質點動量矩定理。43上式的投影式分別為44(2)質點系的動量矩定理n個方程相加，有n個質點，由質點動量矩定理有由于45上式表明質點系對于某定點O的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和，（外力對點O的主矩）稱為質點系動量矩定理，其投影式為：于是（17-22）46(3)動量矩守恒定理作用于質點的力對某定點O的矩恒為零，則質點對該點的動量矩保持不變,即。作用于質點的力對某定軸的矩恒為零，則質點對該軸的動量矩保持不變,即。以上結論稱為質點動量矩守恒定律同理，當外力對某固定點（或某固定軸）的主矩等于零時，質點系對于該點（或該軸）的動量矩保持不變，這就是質點系動量矩守恒定律。另外，質點系的內力不能改變質點系的動量矩。47運動分析：，由動量矩定理微幅擺動時，并令，則解：將小球視為質點。受力分析；受力圖如圖示。已知單擺m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。即例題17-6lFT48注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應一致（本題規(guī)定逆時針轉向為正）質點動量矩定理的應用：在質點受有心力的作用時。質點繞某心（軸）轉動的問題。解微分方程，并代入初始條件則運動方程例題17-6lFT49解：系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的，均為。已知：猴子A重等于猴子B重，猴B以相對繩速度v

上爬，猴A不動，問當猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）例題17-750

3.剛體繞定軸轉動的微分方程如圖示一定軸轉動剛體，由質點系對z軸動量矩定理以上各式稱為剛體繞定軸轉動微分方程。514.剛體對軸的轉動慣量定義：剛體對任意軸z的轉動慣量定義為：轉動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。（一）勻質細直桿長為l,質量為m，其分別對z和z'軸的轉動慣量(1)簡單形狀物體的轉動慣量計算若剛體的質量是連續(xù)分布，則：52（二）勻質薄圓環(huán)半徑R，質量為m，其對中心軸z的轉動慣量為（三）勻質圓板半徑R，質量為m，其對中心軸z的轉動慣量任取一圓環(huán)，則53(2)回轉半徑即物體轉動慣量等于該物體質量與回轉半徑的平方的乘積；對于均質物體，僅與幾何形狀有關，與密度無關。則定義：(3)平行移軸定理剛體對于某軸的轉動慣量，等于剛體對于過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體質量與軸距平方的乘積，即54證明：設質量為m的剛體，質心為C，O'z'∥Cz剛體對通過質心軸的轉動慣量具有最小值。55當物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉動慣量視為負值來處理。(4)計算轉動慣量的組合法56解：已知：均質直桿m1,l

；均質圓盤：m2,R。求JO

。例題17-857兩根質量各為m=8kg的均質細桿固連成T

字型，可繞通過O點的水平軸轉動，當OA處于水平位置時,T

形桿具有角速度=4rad/s

。求該瞬時軸承O的約束力。例題17-958解：選T字型桿為研究對象。受力分析如圖示。由定軸轉動微分方程例題17-9FxOFyO59根據(jù)質心運動微分方程，得例題17-9FxOFyO60圖

a、b中所示的兩個滑輪O1和O2完全相同，在圖

a所示情況中繞在滑輪上的繩的一端受拉力F(F=P)作用，在圖

b所示情況中繩的一端掛有重物A，其重量等于P。問兩輪的角加速度是否相同？等于多少？設繩重及軸承摩擦均可不計。思考題17-361思考題17-4圖示均質等截面直桿,質量為m,已知，問是否。62§17-3動能定理各種運動形式存在能量轉換和功的關系，其表現(xiàn)為動能定理，與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理從能量角度研究動力學問題，建立了與運動有關的物理量—動能和作用力的物理量—功之間的聯(lián)系，有時可以方便有效地解決動力學問題。63力的功是力沿路程累積效應的度量。圖示質點在常力作用下，力F

的功定義為：力的功是代數(shù)量。在國際單位制中，其單位為1J=1N·m1.力的功sM64

對變力的功，如圖所示，質點作曲線運動。在無限小位移dr中力F視為常力，ds視為直線，力F的功稱為元功，記為dW。則65力在全路程上作的功為元功之和，即則力從M1到M2過程作的功為66(1)重力的功對質點系，重力功為：質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。重力投影：67(2)彈性力的功

彈簧原長l0，在彈性極限內F=kl

，k為剛度系數(shù)，表示彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。如圖示F=-kl,(彈性力指向與質點位移方向相反，彈性力作的功為彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關，而與質點運動的路徑無關。68(3)定軸轉動剛體上作用力的功、力偶的功

設在繞定軸z軸轉動的剛體上A點作用有力F，如圖示，則力F在切線上投影為Ft=Fcosq轉角j與弧長s的關系為ds=Rdj則力F的元功為Rr69作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶，則力偶作的功仍可用上式計算。因為FtR

等于力F對軸z的力矩Mz，則dW=Mzdj剛體從j1到j2轉動過程中力F作的功為70

1)萬有引力所作的功只與質點的始末位置有關，與路徑無關。(4)其它常見力作的功2)摩擦力的功(一)動滑動摩擦力的功FN=常量時,W=–f′FNs,與質點的路徑有關。71正壓力FN，摩擦力F作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(二)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(三)滾動摩擦力偶M的功若M=常量則FNM722.質點和質點系的動能動能是因物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的另一度量。(1)質點的動能質點質量為m，速度為v，則質點的動能為(2)質點系的動能73定軸轉動剛體的動能平面運動剛體的動能移動剛體的動能式中Jp為剛體繞速度瞬心軸的轉動慣量。743.動能定理(1)質點的動能定理即積分上式，得上式分別稱為質點動能定理的微分形式和積分形式。a75(2)質點系的動能定理對任一質點mi，有n個方程相加得到積分上式，得上面式(17-25)和(17-26)分別稱為質點系動能定理的微分形式和積分形式。76在理想約束的條件下，質點系的動能定理可寫成以下的形式(3)理想約束與內力作功約束力作功為零的約束稱為理想約束。在理想約束下，質點系動能的改變只與主動力有關，式(17-25)和(17-26)中只需要計算主動力所作的功。活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承光滑固定面約束FNFxFyFNFN77拉緊時，內部拉力的元功之和恒等于零。不變質點系的內力功之和等于零。剛體的內力功之和等于零。不可伸長的繩索內力功之和等于零。剛體沿固定面作純滾動聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）柔索約束（不可伸長的繩索）只要A、B兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。對質點系內力的功FNFN′drAdrB78

圖示的均質桿OA的質量m=30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA'，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解：研究OA桿例題17-10P=mg79由例題17-1080行星齒輪傳動機構,放在水平面內。動齒輪半徑r,重P1,視為均質圓盤；曲柄重P2,長l,作用一力偶,其矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉動。求曲柄的角速度(以轉角的函數(shù)表示)和角加速度。例題17-1181解：取整個系統(tǒng)為研究對象例題17-1182根據(jù)動能定理，得將(1)式對t求導數(shù)，得例題17-1183兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B端的速度。例題17-1284解：取整個系統(tǒng)為研究對象例題17-1285長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。解：因水平方向不受外力，且初始靜止，質心C鉛垂下降。因約束力不作功,主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。初瞬時：任一瞬時：例題17-1386由機械能守恒定律：將代入上式，化簡后得例題17-1387