數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程答案09

第九章再論實(shí)數(shù)系§1實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述1．求數(shù)列的上、下確界（若無(wú)上（下）確界，則稱是的上（下）確界）：（1）（2）；；（3）；（4）（5）；；（6）解（1）（2）（3）（4）．；；；；（5）；．（6）2．設(shè)在上定義，求證：(1)(2)；．證明(1)設(shè)，則，都有，因而，因此，又由于，都，使得，因而.(2)設(shè)，則有，從而，又由于都，使得，從而，因此.3．設(shè)，且，試證自中可選取數(shù)列且互不相同，使；又若，則情形如何？證明由已知條件知且，因而(1)(2)，有；，都存在，使得．由(1)、(2)知：對(duì)對(duì)，存在，使得，；，使得，使得并且并且；；對(duì)，…如此繼續(xù)下去，得數(shù)列且互不相同，并且，則．若．，則結(jié)論不真，如，但沒(méi)有互不相同的數(shù)列，使4．試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界．證明(1)由于收斂數(shù)列是非空有界數(shù)列，且既有上界又有下界，因而有確界定理知其必有上確界和下確界；(2)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)時(shí)，因而，因而是數(shù)列是數(shù)列的下界，的上界，由確界原理知數(shù)列存在下確界；(3)設(shè)，則，當(dāng)由確界定理知數(shù)列存在上確界．5．試分別舉出滿足下列條件的數(shù)列：（1）有上確界無(wú)下確界的數(shù)列；（2）含有上確界但不含有下確界的數(shù)列；（3）既含有上確界又含有下確界的數(shù)列；（4）既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限．解（1）有上確界無(wú)下確界的數(shù)列，如有上確界，但無(wú)下確界；（2）含有上確界但不含有下確界的數(shù)列，如取，則該數(shù)列含有它的上確界，但下確界，該數(shù)列不含有0；（3）既含有上確界又含有下確界的數(shù)列，如0；，既含有上確界1，又含有下確界（4）既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限，如則數(shù)列有上確界3和下確界0，該數(shù)列上含其上、下確界3和0．§2實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性1．利用有限覆蓋定理9.2證明緊致性定理9.4．證明設(shè)數(shù)列有界，即存在，使得對(duì)，都有．下證有收斂子列．（1）若存在子列是常數(shù)列，則是的收斂子列．（2）若不存在是常數(shù)列的子列，下證有收斂子列，為此設(shè)，則是無(wú)限點(diǎn)集．反設(shè)沒(méi)有收斂的子數(shù)列，則都不是的任一子數(shù)列的極限，因此對(duì)，都存在開(kāi)區(qū)間，使得且是有限集（否則對(duì)包含的任一開(kāi)區(qū)間都有的無(wú)窮項(xiàng)，則是的某一子列的極限），因此所有開(kāi)區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理知存在有限數(shù)，使，因而有，注意到上式右端每一項(xiàng)都是有限集，故為有限集，矛盾!綜合（1）（2）知必有一收斂的子數(shù)列．2．利用緊致性定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．證明設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，則是有界數(shù)列，由緊致性定理知數(shù)列必有收斂子數(shù)列，設(shè)，則由單調(diào)遞增知必為數(shù)列的上界，且根據(jù)數(shù)列極限的定義知當(dāng)時(shí)，有，即，特別地取，，則當(dāng)時(shí)，由數(shù)列單調(diào)遞增且為它的上界知，即，從而，即單調(diào)遞增有上界數(shù)列必有極限．同理可證單調(diào)遞減有下界時(shí)必有極限，因而單調(diào)有界原理成立．3．用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．證明不妨假設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增有上界（，下證數(shù)列單調(diào)遞減有下界可同理證明)，即存在，使得有極限．若取，則為常駐列，故收斂，因而以下假設(shè)．，二等分區(qū)間；若，分點(diǎn)為，若仍為的上界，則令不是不是的上界，即存在，使，則令.二等分區(qū)間，分點(diǎn)為，若為的上界，則令；若的上界，則令依此類推得一閉區(qū)間套，每一個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)都是的上界，由閉區(qū)間套定理知存在唯一的，使得屬于所有閉區(qū)間，下證數(shù)列的極限為．由于，故根據(jù)數(shù)列極限的定義，，存在，當(dāng)時(shí)，都有，而，故.（*）另一方面，由閉區(qū)間套的構(gòu)造知，使得，故對(duì)，由于，故.而由（*）知列必有極限.，即，從而，因而單調(diào)有界數(shù)4．試分析區(qū)間套定理的條件：若將閉區(qū)間列改為開(kāi)區(qū)間列，結(jié)果怎樣？若將條件去掉或?qū)l件去掉，結(jié)果怎樣？試舉例說(shuō)明．分析（1）若將閉區(qū)間列改為開(kāi)區(qū)間列，結(jié)果不真．如開(kāi)區(qū)間列滿足且，但不存在，使屬于所有區(qū)間．（2）若將定理其它條件不變，去掉條件，則定理仍不成立，如是閉區(qū)間列，且，但顯然不存在，使屬于所有區(qū)間．（3）若去掉定理?xiàng)l件，則定理仍不成立，如閉區(qū)間序列滿足，此時(shí)區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)都屬于閉區(qū)間序列的任何區(qū)間，與唯一性矛盾．5．若無(wú)界，且非無(wú)窮大量，則必存在兩個(gè)子列,（為有限數(shù)）．證明由于無(wú)界，故，都存在，使得，因而．又由于不是無(wú)窮大量，根據(jù)無(wú)窮大量否定的正面陳述知，對(duì)，存在，使得.從而對(duì)于，數(shù)列為有界數(shù)列，從而必有收斂子列．故結(jié)論成立．6．有界數(shù)列證明由于若不收斂，則必存在兩個(gè)子列．為有界數(shù)列，由緊致性定理知數(shù)列必有收斂的子列中去掉，不妨設(shè)，又因?yàn)閿?shù)列不收斂于，故從后所得的項(xiàng)還有無(wú)窮多項(xiàng)(否則數(shù)列就收斂于)．記其為數(shù)列，又因?yàn)闉橛薪鐢?shù)列，故有收斂子列，設(shè)此子列的極限為，則，而此子列也是的子列，故設(shè)其為，因而.7．求證：數(shù)列有界的充要條件是，的任何子數(shù)列都有收斂的子數(shù)列．證明必要性：由緊致性定理知結(jié)論成立．充分性：反設(shè)數(shù)列無(wú)界．若是無(wú)窮大量，則有一子列的任何子列都不存在收斂的子列，矛盾；若不是無(wú)窮大量，則由第5題知是無(wú)窮大量，從而沒(méi)有收斂的子數(shù)列，也矛盾．因而數(shù)列有界．8．設(shè)在上定義，且在每一點(diǎn)處函數(shù)的極限存在，求證：在，則對(duì)，即上有界．，存在證明對(duì)，由于在處的極限存在，故設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有，則，從而，取，都有在區(qū)間上有界．對(duì)所有，在下所取的為半徑的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間上的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理知，存在，使得，而在每個(gè)區(qū)間上有界．上有界，又由于區(qū)間個(gè)數(shù)有限