交通系統(tǒng)模擬

交通運(yùn)輸系統(tǒng)模擬

2009年4月任課教師蔣熙第三章隨機(jī)變量的計(jì)算機(jī)模擬偽隨機(jī)數(shù)及其生成離散型隨機(jī)變量的模擬連續(xù)型隨機(jī)變量的模擬3.1偽隨機(jī)數(shù)及其生成隨機(jī)變量模擬的基本思想

偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試3.1.1隨機(jī)變量模擬的基本思想目標(biāo)：已知系統(tǒng)中某個事件A或某狀態(tài)變量(隨機(jī)變量)X的概率特性，通過便于模擬的概率模型在計(jì)算機(jī)上獲取該事件A或隨機(jī)變量X的一列樣本；做法：根據(jù)問題的需要引入一個與X有關(guān)的隨機(jī)變量，這個隨機(jī)變量的分布是已確定的，并且與X的關(guān)系可以通過數(shù)值計(jì)算與邏輯判斷來表述。3.1.1隨機(jī)變量模擬的基本思想在計(jì)算機(jī)上以某種方法產(chǎn)生具有該給定分布的隨機(jī)變量的一系列樣本值(抽樣值)；依據(jù)模擬模型的特性對這些樣本值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理(實(shí)施數(shù)值計(jì)算與邏輯判斷)后，最終獲得X的一列樣本值x1，x２，……。構(gòu)造模型X=F(η,u…)數(shù)學(xué)處理ηU...η1,η2,…μμ...N樣本值x1，x2，…真實(shí)實(shí)驗(yàn)抽樣隨機(jī)變量模擬的基本過程3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試

根據(jù)隨機(jī)變量模擬的基本原理，需選擇一個基本的隨機(jī)變量，其分布易于確定－－一、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

IIDU(0，1)，均勻分布隨機(jī)變量IIDU(0，1)隨機(jī)數(shù)是最基本的隨機(jī)數(shù)，通過對它進(jìn)行適當(dāng)變換，就可以得到任意分布的其它隨機(jī)變量。3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試

在計(jì)算機(jī)上獲取IIDU(0，1)抽樣值的方式分三類：利用專門的隨機(jī)數(shù)表以供計(jì)算時使用。用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，在計(jì)算機(jī)上附加某些設(shè)備，如電子噪聲發(fā)生器、放射源激勵計(jì)算器等獲得。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，應(yīng)用計(jì)算機(jī)程序來產(chǎn)生(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)，即采用某種確定的規(guī)則，通過遞推計(jì)算產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列－－偽隨機(jī)數(shù)。1.獲取IIDU(0，1)隨機(jī)數(shù)的方式3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試具有較好的隨機(jī)性與均勻性產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的速度快占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存盡可能少一批隨機(jī)數(shù)的循環(huán)周期盡可能長2.用計(jì)算機(jī)程序產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的要求3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試1)平方取中法基本思想：任取一個N位整數(shù)作為初值，將其作平方，得到一個2N位整數(shù)（不夠2N位在高位補(bǔ)0），再取中間N位作為第一個隨機(jī)數(shù)，又將該隨機(jī)數(shù)平方，補(bǔ)齊2N位，取中間N位得到下一個隨機(jī)數(shù)，依此類推。3.偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生算法例：X0=2152x02=04631104x1=6311x12=39829721x2=8287x22=68674396x3=6743…3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試平方取中法簡單，但周期較短，產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)欠佳，若初值選取不當(dāng)，還會產(chǎn)生退化現(xiàn)象，如：例：X0=4500x02=20250000x1=2500x12=06250000x2=…3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試2)乘法線性同余法

xi+1=aximodmui+1=xi＋1/ma:乘子,8k±3接近2p/2（p=機(jī)器位數(shù)-1）x0:種子,不應(yīng)為2的整倍數(shù)m:模，2p－13.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試為保證模擬的精度，通常需要對產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的發(fā)生器(標(biāo)準(zhǔn)函數(shù))進(jìn)行測試，以確定所產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)和IIDU(0，1)隨機(jī)變量的類似程度。測試隨機(jī)數(shù)發(fā)生器最直接的途徑是用它產(chǎn)生一系列的偽隨機(jī)數(shù)Ui，然后對該隨機(jī)數(shù)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)測試，檢驗(yàn)其和IIDU(0，1)隨機(jī)變量的類似程度。二、偽隨機(jī)數(shù)的測試

3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試х2檢驗(yàn)產(chǎn)生n個偽隨機(jī)數(shù)，并把〔0，1〕劃分為k個等長的子區(qū)間，計(jì)算每個子區(qū)間所包含的偽隨機(jī)數(shù)的個數(shù)。設(shè)fj為第j個子區(qū)間偽隨機(jī)數(shù)的個數(shù)，并且令那么對于充分大的n，在零假設(shè)下近似地具有k－1個自由度的х2分布。于是，如果х2>х2α(k－１)，在α水平將舍棄這種假設(shè)，即否認(rèn)Ui均勻分布于0和1之間。

1．均衡性測試

3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試1)上行測試法（1）對偽隨機(jī)數(shù)序列按順序自小到大上行劃界，逐一分組，并計(jì)算各組的上行長度lj，j為組序；（2）分別計(jì)算上行長度lj＝1，2，3，4，5及l(fā)j≥6的分組數(shù)rj(j＝1，2，…，6)（3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)值：（4）

檢查R≤х2α(6)成立否，若成立則該偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器在α水平滿足獨(dú)立性要求，否則拒絕接受獨(dú)立性假設(shè)。

2.獨(dú)立性測試

3.1.2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與測試2)相關(guān)系數(shù)測試法產(chǎn)生n個偽隨機(jī)數(shù)ui(i＝1，2，…，n)，可計(jì)算前后相隔為j個數(shù)的相關(guān)系數(shù)之均值，即：式中：若n－j充分大(＞50)，則統(tǒng)計(jì)量

R=漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。此時，給定顯著度α，記Z1-α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的上1－α臨界點(diǎn)，若｜R｜≤Z1-α成立，則接受獨(dú)立性假設(shè)，反之拒絕獨(dú)立性假設(shè)。

3.2離散型隨機(jī)變量的模擬3.2.1隨機(jī)事件的模擬簡單事件的模擬完備事件列的模擬3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬離散型隨機(jī)變量的一般模擬方法幾何分布隨機(jī)變量的模擬二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的模擬泊松分布隨機(jī)變量的模擬1)簡單事件的模擬隨機(jī)事件A與均勻分布隨機(jī)變量U之間的聯(lián)系：

P(U≤p)=p=P(A)即：事件U≤p發(fā)生的概率與事件A發(fā)生概率相等。模擬事件A在一次實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生就轉(zhuǎn)化為判斷U≤p是否成立：

IfU≤p

則A發(fā)生

Else則A不發(fā)生關(guān)鍵在于：尋找與U相關(guān)的等概率事件3.2.1隨機(jī)事件的模擬構(gòu)造模型B=“U≤p”數(shù)學(xué)處理判斷u≤p？U

μ

AA發(fā)生A不發(fā)生抽樣隨機(jī)事件模擬示意圖簡單事件模擬舉例硬幣實(shí)驗(yàn)：小王用扔硬幣決定是否去看電影，若正面朝上則去，否則不去。則正面朝上事件A是否發(fā)生的模擬模型可表示為：產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)u，判斷u的取值：

Ifu<=0.5則事件A發(fā)生（正面朝上）

Else則事件A不發(fā)生2)完備事件列的模擬1)完備事件列概念設(shè)有互斥的隨機(jī)事件序列A0,A1,…An,（1）Ai∩Aj＝φ（i≠j）（2）P(Ai)=pi并有3.2.1隨機(jī)事件的模擬則稱此事件序列構(gòu)成一互不相容事件的完備群(簡稱完備事件列)。3.2.1隨機(jī)事件的模擬可設(shè)計(jì)為一個新的事件列B0、B1、……，其中有：這種構(gòu)造形式的合理性可由如下等式看出：隨機(jī)事件序列A0,A1,…An,與均勻分布隨機(jī)變量U之間的聯(lián)系：

3.2.1隨機(jī)事件的模擬3.2.1隨機(jī)事件的模擬完備事件列模擬過程：3.2.1隨機(jī)事件的模擬2)完備事件列模擬的具體做法要判斷是哪個事件Bi發(fā)生，可通過如下數(shù)學(xué)處理來進(jìn)行：（1）將(0，1)區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，各小區(qū)間的分界點(diǎn)坐標(biāo)依次為L0、L1、…Ln，使Lj＝于是小區(qū)間Ai＝(Li-1，Li)之長度即為pi。（2）抽取偽隨機(jī)數(shù)u，并觀察u在(0，1)區(qū)間中所落之位置。若u落在子區(qū)間Ai＝(Li-1，Li)內(nèi)，即滿足條件Li-1＜u≤Li或則根據(jù)事件Bi的定義有Bi＝可認(rèn)為在一次模擬試驗(yàn)中某事件Bi發(fā)生了，從而也就認(rèn)為在該次試驗(yàn)中對應(yīng)事件Ai發(fā)生。

3.2.1隨機(jī)事件的模擬完備事件列抽樣流程：3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬離散型隨機(jī)變量的模擬可以轉(zhuǎn)化為完備事件列的模擬（Ai=“X=xi”），其一般模擬模型可以抽象為：P(X=xi)=pi，i=0,1,2,…,n1)離散型隨機(jī)變量的一般模擬方法此模型的適用條件：每個可能的取值及取值概率已知或可以求出。3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬離散型隨機(jī)變量模擬舉例擲骰子實(shí)驗(yàn)：取偽隨機(jī)數(shù)u,則一次實(shí)驗(yàn)中骰子點(diǎn)數(shù)x取值的模擬模型為：幾何分布：P(X=k)=qk-1p,k=1,2……n，

p+q=1幾何分布隨機(jī)變量模擬模型：貝努利實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛶缀畏植茧S機(jī)變量X與與均勻分布隨機(jī)變量U之間的聯(lián)系：

X的取值可以看成是貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A首次發(fā)生的實(shí)驗(yàn)次數(shù)。3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬2)幾何分布隨機(jī)變量的模擬3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬幾何分布抽樣流程圖：Y3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬二項(xiàng)分布：P(X=k)=Cnkpkqn-k

，

k=1,2……n，p+q=1二項(xiàng)分布隨機(jī)變量模擬模型：N重貝努利實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ投?xiàng)分布隨機(jī)變量X與與均勻分布隨機(jī)變量U之間的聯(lián)系：

X的取值可以看成是N重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的總實(shí)驗(yàn)次數(shù)。貝努利實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)是簡單事件，是簡單事件的重復(fù)實(shí)驗(yàn)。3)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的模擬3.2.2離散型隨機(jī)變量的模擬N重貝努