第7章非線性控制系統(tǒng)分析

第七章非線性控制系統(tǒng)分析7.1引言7.2非線性控制系統(tǒng)概述7.3常見非線性特性分析7.4描述函數(shù)法7.1引言理想的線性系統(tǒng)并不存在7.2.非線性控制系統(tǒng)概述1.不能應(yīng)用疊加原理2.穩(wěn)定性分析復(fù)雜平衡狀態(tài)無外作用，且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于0線性系統(tǒng)：只有一個平衡狀態(tài)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)一、非線性系統(tǒng)的特點令可知系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài)x=0和x=1(7.2.1)解(7.2.1)式積分得x=0平衡狀態(tài)穩(wěn)定。x=1平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。系統(tǒng)3.可能存在自激振蕩自激振蕩沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動,簡稱自振。范德波爾方程vander

polequationx<1,系統(tǒng)負(fù)阻尼,吸收能量x>1,系統(tǒng)正阻尼,消耗能量x=1,系統(tǒng)零阻尼,等幅振蕩4頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率達正弦信號分量(基頻分量)外,還含有ω的高次諧波分量。y(t)ωty(t)ωty(t)ωt1.死區(qū)特性其中7.3常見非線性特性分析若系統(tǒng)存在多個死區(qū)將死區(qū)折算到測量元件的位置測量元件放大元件執(zhí)行元件可通過提高前級元件的增益來減小死區(qū)效應(yīng)y=f(x)設(shè)非線性特性其中輸入為x,輸出為y等效增益死區(qū)特性非線性特性的等效增益增益減小增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了穩(wěn)態(tài)精度。2.飽和特性具有不靈敏區(qū)的飽和特性增益減小等效增益飽和特性帶飽和的位置伺服系統(tǒng)增益下降使系統(tǒng)超調(diào)量減小，平穩(wěn)性變好。增益下降降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。間隙（滯環(huán)）特性

間隙特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入--輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。

其數(shù)學(xué)表達式為：

例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。增大穩(wěn)態(tài)誤差，降低穩(wěn)態(tài)精度。yx滯環(huán)特性0b-ba-a4.繼電特性等效增益振蕩加劇、穩(wěn)態(tài)誤差增大。能夠使被控制的執(zhí)行裝置在最大輸入信號下工作，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力。7.4描述函數(shù)法1.描述函數(shù)的定義分析無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振問題。一、描述函數(shù)的基本概念非線性環(huán)節(jié)y=f(x)當(dāng)輸入為正弦信號輸出為非正弦的周期信號展成傅立葉級數(shù)若系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)奇對稱，則有A0=0

由于在傅氏級數(shù)中n越大,諧波分量的頻率越高，An，Bn越小。此時若系統(tǒng)高次諧波分量又進一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即

類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來表示，即

由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：

(1)描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個非線性元件近似地看作一個線性元件，因此又叫做諧波線性化。線性系統(tǒng)頻率法的推廣。（2）描述函數(shù)表達了非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。一般來說，它應(yīng)該是輸入信號幅值和頻率的函數(shù)，但對于絕大多數(shù)的實際非線性元件，由于不包括儲能元件，它們的輸出僅是幅值的函數(shù)，與頻率無關(guān)，故常用N(A)表示。

二、典型非線性特性描述函數(shù)飽和特性正弦輸入輸出其中，y(t)ωt由于為單值，且關(guān)于原點對稱的奇函數(shù)所以，A0=0,A1=0所以描述函數(shù)為例

設(shè)繼電器特性為試計算該非線性特性的描述函數(shù)。解設(shè)輸入x=Asinωt描述函數(shù)為三、描述函數(shù)法的應(yīng)用條件(1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)。(2)非線性環(huán)節(jié)的輸出特性y(t)應(yīng)是x的奇函數(shù)，即f(x)=-f(-x)以保證正弦響應(yīng)不含有常值分量，即A0=0(3)線性部分具有較好的低通濾波特性高頻諧波濾除，近似只有一次諧波流通。設(shè)有兩非線性系統(tǒng)，它們的非線性部分一樣線性部分分別為(1)(2)當(dāng)用描述函數(shù)法分析時，對哪個系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？為什么?三、非線性系統(tǒng)的簡化1.非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。2.非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)3.線性部分的等效變換特征方程特征方程等效等效開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定性一致特征方程多項式Q(s)+NP(s)=0結(jié)構(gòu)圖梅遜公式特征方程等效變換四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或由奈氏判據(jù)知，當(dāng)гG曲線不包圍臨界點（-1，j0）系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P-2N=-2N=0頻域中為P=0設(shè)K為比例環(huán)節(jié)增益閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或由奈氏判據(jù)知，當(dāng)гG曲線不包圍系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P-2N=-2N=0頻域中為P=0G(s)的極點均位于s的左半平面，即P=0或由奈氏判據(jù)知，當(dāng)гG曲線不包圍系統(tǒng)穩(wěn)定若K在一定范圍內(nèi)可變，則為實軸上一條直線段當(dāng)гG曲線不包圍該直線段，系統(tǒng)穩(wěn)定2.應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性G(s)的極點均位于s的左半平面，即P=0或當(dāng)гG曲線不包圍系統(tǒng)穩(wěn)定若K在一定范圍內(nèi)可變當(dāng)K為復(fù)數(shù)，為復(fù)平面上一條線段當(dāng)гG曲線不包圍該線段，系統(tǒng)穩(wěn)定若K＝N(A)N(A)非線性系統(tǒng)特征方程為即當(dāng)гG曲線不包圍,系統(tǒng)穩(wěn)定負(fù)倒描述函數(shù)G(jω)奈奎斯特曲線如圖非線性系統(tǒng)特征方程為即當(dāng)гG曲線不包圍,系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)гG曲線包圍

,系統(tǒng)不穩(wěn)定例

已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加黏性摩擦查表得描述函數(shù)負(fù)倒描述函數(shù)起點終點趨勢：沿實軸單調(diào)-2畫線性環(huán)節(jié)的G(jω)-2-8起點終點穿越點-2-8гG曲線包圍

,系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.非線性系統(tǒng)存在周期運動時的穩(wěn)定性分析當(dāng)гG曲線和曲線有交點,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。交點處或結(jié)論：若負(fù)倒描述函數(shù)曲線沿著A增大的方向，由穩(wěn)定區(qū)域到不穩(wěn)定區(qū)域，則交點處的周期運動不穩(wěn)定，不能產(chǎn)生自激振蕩；若負(fù)倒描述函數(shù)曲線沿著A增大的方向，由不穩(wěn)定區(qū)域到穩(wěn)定區(qū)域，則交點處的周期運動穩(wěn)定，產(chǎn)生自激振蕩。振蕩幅值為A，頻率為ω周期運動穩(wěn)定周期運動不穩(wěn)定例設(shè)具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖1)分析K=15時非線性系統(tǒng)的運動特性。2)欲使系統(tǒng)不出現(xiàn)自振蕩，確定K的臨界值。解1)查表得飽和非線性特性的描述函數(shù)為取求導(dǎo)得N(u)為u的增函數(shù),N(A)為A的減函數(shù)為A的減函數(shù)起點:終點:曲線如圖線性部分G(s)在K=15時，作гG曲線得穿越頻率該處坐標(biāo)-1所以兩曲線有交點(-1,j0)沿A增大方向,由不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū),存在穩(wěn)定周期運動。求交點處ω和A，即周期運動的ω和A即解得A=2.5所以非線性環(huán)節(jié)輸入為x(t)=2.5sin7.07t。2)為使該系統(tǒng)不出現(xiàn)自振蕩,應(yīng)調(diào)整K,使гG與曲線無交點即所以K=7.5的гG曲線如圖習(xí)題1.求系統(tǒng)等效線性部分的傳遞函數(shù)2.分析是否產(chǎn)生自激振蕩，若產(chǎn)生，求c(t)的振幅和頻率。若將圖(a)所示的非線性系統(tǒng)簡化為圖(b)所示的系統(tǒng)1.求線性部分的傳遞函數(shù)G(s)2.設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定自振狀態(tài)時，線性環(huán)節(jié)G(s)=的相角滯后量為130°。求此時的k值，并確定系統(tǒng)的自振頻率、幅值。結(jié)構(gòu)圖（