計(jì)算方法1-緒論與誤差等

計(jì)算方法

NumericalAnalysis能源與動(dòng)力工程學(xué)院

劉火星liuhuoxing@82316418課程介紹

緒論

誤差分析(2)

線性方程組的解法(6)

常微分方程的初值問題(6)矩陣的特征值和特征向量(2)

插值和擬合

數(shù)值微分和數(shù)值積分

非線性方程解法CourseOutline數(shù)值分析，顏慶津，北京航空航天大學(xué)出版社，2006徐翠薇、孫繩武，計(jì)算方法引論（第二版），高等教育出版社，2002RichardL.Burden&J.DouglasFaires,NumericalAnalysis(SeventhEdition),高等教育出版社，2001主要參考書成績評定方法平時(shí)成績：20%期末考試:80%先修課程高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)程序設(shè)計(jì)語言C,C++,Fortran,Matlab,Mathematica1緒論Introduction1.1關(guān)于計(jì)算方法1.2計(jì)算方法的過去和未來1.3誤差分析1.4

在近似計(jì)算中需要注意的問題目次現(xiàn)實(shí)中，具體的科學(xué)、工程問題的解決：實(shí)際問題物理模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值方法計(jì)算機(jī)求解計(jì)算方法是一種研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解方法隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方法已深入到計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。本課僅限介紹最常用的數(shù)學(xué)模型的最基本的數(shù)值分析方法。1.1關(guān)于計(jì)算方法

在計(jì)算機(jī)上是否根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程就能得到正確結(jié)果?研究例子:求解線性方程組如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為

x1=-6.222…

x2

=38.25…

x3

=-33.65...準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1Numericalanalysisisthestudyofalgorithmsfortheproblemsofcontinuousmathematics----LloydN.Trefethen“計(jì)算方法”就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法計(jì)算方法研究的對象:研究數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)。

計(jì)算方法又稱：計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值方法、數(shù)值分析等計(jì)算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計(jì)算幾何、計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)等計(jì)算方法的內(nèi)容

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

離散性方程的數(shù)值求解

計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他學(xué)科結(jié)合，利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，例如：“計(jì)算物理”“計(jì)算流體力學(xué)”1.2計(jì)算方法的過去和未來H.Aiken(1900-1973)哈佛大學(xué)博士，因做博士論文涉及到空間電荷傳導(dǎo)問題的計(jì)算，1937年提出方案，1939年得到IBM資助，1944年建成投入使用。這是繼電式計(jì)算機(jī)－MarkI三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)J.W.Mauchly(1907-1980)賓夕法尼亞物理博士，因從事天氣預(yù)報(bào)需要想設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)，1942年提出計(jì)算機(jī)方案，1945年底竣工，這就是世界上第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)－ENIAC機(jī)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)J.VonNeumann(1903-1957)普林斯頓高級研究所，1945年在普林斯頓研制成MANIAC機(jī)，有力地支持美國氫彈研制，稱為計(jì)算機(jī)之父三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)在研制原子彈和氫彈過程中，許多物

理規(guī)律必須通過計(jì)算機(jī)上的計(jì)算摸清

楚。計(jì)算物理、理論物理與實(shí)驗(yàn)物理

相輔相成相互促進(jìn)共同發(fā)展，形成現(xiàn)

代物理學(xué)的三大分支由于核武器研制需要，1950年全球只有15臺(tái)，到了1962年9月僅美國就有16187臺(tái)計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧1983年一個(gè)由美國著名數(shù)學(xué)家拉克斯(P.Lax)為首的不同學(xué)科的專家委員會(huì)向美國政府提出的報(bào)告之中，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國家命脈的大事?！?984年美國政府大幅度地增加對科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持,新建成五個(gè)國家級超級計(jì)算中心（分別在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康奈爾大學(xué)、匹茲堡），配備當(dāng)時(shí)最高性能的計(jì)算機(jī)，建立NSF-net新網(wǎng)絡(luò)80年代中期我國將“大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算”列入國家資助重大項(xiàng)目1987年起美國NSF把“科學(xué)與工程計(jì)算”、“生物工程”“全局性科學(xué)”作為三大優(yōu)先資助的領(lǐng)域由于大存儲(chǔ)的高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)和技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展：大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型的研究逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、人工心瓣膜設(shè)計(jì)等能獲取和存儲(chǔ)大量的數(shù)據(jù)，并能提取隱秘的信息，如計(jì)算機(jī)層析X射線攝影，核磁共振等1991年以美國總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能計(jì)算與通信計(jì)劃”。這是為了保持和提高美國在計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)的所有先進(jìn)領(lǐng)域中的領(lǐng)導(dǎo)地位而制定的。計(jì)劃為期五年（1992－1996），投資的重點(diǎn)是發(fā)展先進(jìn)的軟件技術(shù)與并行算法，關(guān)鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模并行計(jì)算要求到1996年高性能計(jì)算能力提高14倍，達(dá)到每秒萬億次浮點(diǎn)運(yùn)算速度（1012

Teraops/S）。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通迅能力提高1百倍，達(dá)到每秒109位（Gigabits/S）該計(jì)劃中列舉的“挑戰(zhàn)”項(xiàng)目有：磁記錄技術(shù)、藥物設(shè)計(jì)、催化、燃燒、海洋模擬、臭氧洞、空氣污染、高速民用運(yùn)輸機(jī)、數(shù)字解剖、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、金星成像等1993年初美國總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路”（NII）的總統(tǒng)令1994年4月美國總統(tǒng)發(fā)布“建立國家（地球）空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)實(shí)施”（NSDI）的總統(tǒng)令數(shù)值方法和數(shù)值軟件過去50年的主要進(jìn)展Before1940Newton’smethod;Gaussianelimination;Gaussquadrature;leastsquaresfitting;AdamsandRunge-Kuttaformulas;Richardsonextrapolation1940-1970floatingpointarithmetic;Fortran;finitedifferences;finiteelements;FFT;simplexalgorithm;MonteCarlo;orthogonallinearalgebra;splinefunction1970-2000quasi-Newtoniterations;adaptivity;stiffODEsolvers;softwarelibraries;Matlab;multigrid;sparseanditerativelinearalgebra;spectralmethods;interiorpointmethods計(jì)算數(shù)學(xué)未來50年的展望將更多的通過聲音，而不是鍵盤向計(jì)算機(jī)傳遞信息，而計(jì)算機(jī)將更多地以圖象而不是數(shù)字反映結(jié)果數(shù)值計(jì)算將更具有適應(yīng)性、迭代性、靈活性。計(jì)算能力大得驚人數(shù)值計(jì)算中更具智能性數(shù)學(xué)軟件MATLABMATLAB是建立在向量、數(shù)組和矩陣基礎(chǔ)上的一種分析和仿真工具軟件包，包含各種能夠進(jìn)行常規(guī)運(yùn)算的“工具箱”，如常用的矩陣代數(shù)運(yùn)算、數(shù)組運(yùn)算、方程求根、優(yōu)化計(jì)算及函數(shù)求導(dǎo)積分符號運(yùn)算等；同時(shí)還提供了編程計(jì)算的編程特性，通過編程可以解決一些復(fù)雜的工程問題；也可繪制二維、三維圖形，輸出結(jié)果可視化。目前，已成為工程領(lǐng)域中較常用的軟件工具包之一。

MATLABMAPLEMATLABMAPLEMATHEMATICMaple是加拿大滑鐵盧大學(xué)(UniversityofWaterloo)和WaterlooMapleSoftware公司注冊的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)學(xué)使用的軟件包。它是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的幾個(gè)數(shù)學(xué)軟件之一，它以良好的使用環(huán)境、強(qiáng)有力的符號計(jì)算、高精度的數(shù)值計(jì)算、靈活的圖形顯示和高效的編程功能，為越來越多的教師、學(xué)生和科研人員所喜愛，并成為他們進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的工具。Maple軟件適用于解決微積分、解析幾何、線性代數(shù)、微分方程、計(jì)算方法、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支中的常見計(jì)算問題。

Mathematica是目前比較流行的符號運(yùn)算軟件之一，它不僅可以完成微積分、線性代數(shù)及數(shù)學(xué)各個(gè)分支公式推演中的符號演算，而且可以數(shù)值求解非線性方程、優(yōu)化等問題。它不僅是數(shù)學(xué)建模的得力助手，也是大學(xué)數(shù)學(xué)教育和科學(xué)研究不可或缺的工具。原始誤差－模型誤差（忽略次要因素，物理模型，數(shù)學(xué)模型）計(jì)算誤差－舍入誤差（計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)表示方法造成）方法誤差－截?cái)嗾`差（算法本身造成）1.3誤差分析

計(jì)算機(jī)字長有限導(dǎo)致實(shí)數(shù)不能精確存儲(chǔ)，于是產(chǎn)生舍入誤差。例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：

1÷3＝0.3333333333

本應(yīng)1÷3＝0.3333333333……

1.0000022-1.000004=0

本應(yīng)1.0000022-1.000004

=1.000004000004-1.000004

=0.000000000004

舍入誤差(Round-offErrors)舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過程中是否能有效控制。用近似的值去代替數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)確值帶來的誤差。例如：

泰勒級數(shù)?

零階近似:?

一階近似:?

二階近似:

截?cái)嗾`差(TruncationError)完全的泰勒級數(shù):余項(xiàng)(n階近似)::介于

xiand

xi+1

x

=

xi+1-

xi余項(xiàng)：Taylor級數(shù)表示為:截去的部分?

零階近似:

截?cái)嗾`差

:?

一階近似

Rn:零階近似Rn:斜率:誤差誤差限有效數(shù)字[Def]若用x*表示x準(zhǔn)確值的一個(gè)近似值。則此近似值x*和準(zhǔn)確值x的差稱為誤差，用e*來表示

e*＝x*－x[Def]若

|e*|＝|x*－x|≤ε*ε*稱為近似值x*的誤差限。[例1.2]已知x*=π=3.14159…，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的誤差限。[解]所以誤差限 ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008

有效數(shù)字[Def]若x的近似值x*的誤差限是某一位上的半個(gè)單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字若用x*表示x的近似值，并將x*表示成 x*＝±0.a1a2…an×10m若

|x*－x|≤0.5×10m－n則近似值x*有n位有效數(shù)字(1.1)[例1.3]

設(shè)x*=0.0270是某數(shù)x經(jīng)“四舍五入”所得，則誤差|e(x*)|不超過x*末位的半個(gè)單位，即：

|x*－x|≤0.5×10-4

又x*=0.27×10-1,故該不等式又可寫為

|x*－x|≤0.5×10-1-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是2,7，0。[例1.4]

設(shè)x＝32.93,x*＝32.89,則

|x*－x|＝0.04＜0.05＝0.5×10-1即

|x*－x|≤0.5×102-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是3,2,8。由于x*中的數(shù)字9不是有效數(shù)字，故x*不是有效數(shù)。1.3相對誤差和絕對誤差設(shè)x——準(zhǔn)確值x*——近似值稱為近似值x*的相對誤差實(shí)用中，常用表示近似值x*的相對誤差，稱為相對誤差限相應(yīng)的，e*稱為絕對誤差，ε稱為絕對誤差限有效數(shù)位與誤差的關(guān)系有效數(shù)位n越多，則絕對誤差|e*|越小形如(1.1)式的近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限可取為基本算術(shù)運(yùn)算設(shè)x*和y*分別是x和y的近似值，把它們的誤差近似地看做是相應(yīng)地微分，即 dx≈x*－x，dy≈y*－y則

d（x±y）＝dx±dy d（xy）＝xdy±ydx d（x/y）＝（－xdy＋ydx）/y2

誤差傳播(1.3)和(1.4)給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。一元函數(shù)設(shè)y＝f(x)，若x的近似值是x*，用f(x*)去近似f(x)的誤差可用Taylor公式估計(jì)

(1.3)(1.4)多元函數(shù)情形由多元函數(shù)的Taylor展開公式類似可得

(1.5)(1.6)(1.8)(1.9)[例1.5]測得某桌面的長a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*

的絕對誤差限與相對誤差限。

解:面積s=ab,在公式（1.5）中,將y=f(x1,x2)

換為s=ab,則相對誤差限為1.4

在近似計(jì)算中需要注意的問題（1）盡量