高中數(shù)學人教A版第四章圓和方程章末綜合測評4

章末綜合測評(四)圓與方程(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在空間直角坐標系中，點A(－3,4,0)與點B(2，－1,6)的距離是()A．2eq\r(43) B．2eq\r(21)C．9 \r(86)【解析】由空間直角坐標系中兩點間距離公式得：|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86).【答案】D2．當圓x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面積最大時，圓心坐標是()A．(0，－1) B．(－1,0)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】圓的標準方程得：(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(k,2)))2＝1－eq\f(3k2,4)，當半徑的平方1－eq\f(3k2,4)取最大值為1時，圓的面積最大．∴k＝0，即圓心為(－1,0)．【答案】B3．圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是()A．相交 B．相離C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【解析】把圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分別化為標準式為(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，兩圓心間的距離d＝eq\r(4－22＋3－32)＝2＝|r1－r2|，所以兩圓的位置關系為內(nèi)切，故選D.【答案】D4．(2023·葫蘆島高一檢測)過點(2,1)的直線中，被圓x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最長弦所在的直線方程為()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【解析】依題意知所求直線通過圓心(1，－2)，由直線的兩點式方程，得eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，即3x－y－5＝0，故選A.【答案】A5．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定【解析】由題意知點在圓外，則a2＋b2＞1，圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直線與圓相交．【答案】B6．若P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圓心C(1,0)，kPC＝eq\f(0－－1,1－2)＝－1，則kAB＝1，AB的方程為y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故選D.【答案】D7．圓心在x軸上，半徑為1，且過點(2,1)的圓的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】設圓心坐標為(a,0)，則由題意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圓的方程是(x－2)2＋y2＝1.【答案】A8．(2023·泰安高一檢測)圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是()【導學號：09960151】A．36 B．18C．6eq\r(2) D．5eq\r(2)【解析】圓x2＋y2－4x－4y－10＝0的圓心為(2,2)，半徑為3eq\r(2)，圓心到直線x＋y－14＝0的距離為eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq\r(2)＞3eq\r(2)，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R＝6eq\r(2).【答案】C9．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為()A．4 B．2\f(8,5) \f(12,5)【解析】P為圓上一點，則有kOP·kl＝－1，而kOP＝eq\f(4－1,－2－2)＝－eq\f(3,4)，∴kl＝eq\f(4,3).∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l(xiāng)與m的距離為eq\f(|20|,\r(42＋－32))＝4.【答案】A10．一個幾何體的三視圖如圖1所示，正視圖和側視圖都是等邊三角形，該幾何體的四個頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，則第五個頂點的坐標可能是()圖1A．(1,1,1) B．(1,1，eq\r(2))C．(1,1，eq\r(3)) D．(2,2，eq\r(3))【解析】由三視圖知，該幾何體為正四棱錐，正四棱錐的頂點在底面的射影是底面正方形的中心，高為eq\r(3)，則第五個頂點的坐標為(1,1，eq\r(3))．故選C.【答案】C11．已知圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為()A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2【解析】設點(－2,2)關于直線x－y－1＝0的對稱點為Q(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m＋2)×1＝－1，,\f(m－2,2)－\f(n＋2,2)－1＝0，))解得m＝3，n＝－3，所以圓C2的圓心坐標為(3，－3)，所以圓C2的方程為(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故選D.【答案】D12．(2023·臺州高二檢測)已知圓O：x2＋y2－4＝0，圓C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圓O的切線l交圓C于A，B兩點，則△OAB面積的取值范圍是()圖2A．[2eq\r(7)，2eq\r(15)] B．[2eq\r(7)，8]C．[2eq\r(3)，2eq\r(15)] D．[2eq\r(3)，8]【解析】S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·2＝|AB|，設C到AB的距離為d，則|AB|＝2eq\r(42－d2)，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，所以S△OAB＝|AB|∈[2eq\r(7)，2eq\r(15)]．【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，則線段AB中點D的坐標為________．【解析】設D(x，y，z)，由中點坐標公式可得x＝eq\f(1＋5,2)＝3，y＝eq\f(2＋6,2)＝4，z＝eq\f(3－7,2)＝－2，所以D(3,4，－2)．【答案】(3,4，－2)14．以原點O為圓心且截直線3x＋4y＋15＝0所得弦長為8的圓的方程是________．【解析】原點O到直線的距離d＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3，設圓的半徑為r，∴r2＝32＋42＝25，∴圓的方程是x2＋y2＝25.【答案】x2＋y2＝2515．(2023·重慶高考)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．【解析】∵以原點O為圓心的圓過點P(1,2)，∴圓的方程為x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,2).由點斜式可得切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.【答案】x＋2y－5＝016．若x，y∈R，且x＝eq\r(1－y2)，則eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍是________．【解析】x＝eq\r(1－y2)?x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圓，如圖，設P(x，y)是半圓上的點，則eq\f(y＋2,x＋1)表示過點P(x，y)，Q(－1，－2)兩點直線的斜率．設切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k(x＋1)．從而由eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).又kBQ＝3，∴所求范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3))三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求經(jīng)過兩點A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程．【解】法一：∵圓心在y軸上，設圓的標準方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵該圓經(jīng)過A、B兩點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－12＋4－b2＝r2，,32＋2－b2＝r2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,r2＝10.))所以圓的方程是x2＋(y－1)2＝10.法二：線段AB的中點為(1,3)，kAB＝eq\f(2－4,3－－1)＝－eq\f(1,2)，∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))得(0,1)為所求圓的圓心．由兩點間距離公式得圓半徑r為eq\r(0＋12＋1－42)＝eq\r(10)，∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.18．(本小題滿分12分)如圖3所示，BC＝4，原點O是BC的中點，點A的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，點D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的長度．圖3【解】由題意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，設D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴|BD|＝2，|CD|＝2eq\r(3)，∴z＝eq\r(3)，2－y＝3，∴y＝－1，∴D(0，－1，eq\r(3))．又∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，∴|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2)＝eq\r(6).19．(本小題滿分12分)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)證明：不論m為何值時，直線和圓恒相交于兩點；(2)求直線l被圓C截得的弦長最小時的方程．【解】(1)證明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴直線l恒過定點A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，∴(3,1)在圓C的內(nèi)部，故直線l與圓C恒有兩個公共點．(2)當直線l被圓C截得的弦長最小時，有l(wèi)⊥AC，由kAC＝－eq\f(1,2)，得l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.20．(本小題滿分12分)點A(0,2)是圓x2＋y2＝16內(nèi)的定點，B，C是這個圓上的兩個動點，若BA⊥CA，求BC中點M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線．【解】設點M(x，y)，因為M是弦BC的中點，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝eq\f(1,2)|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化簡為x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.∴所求軌跡為以(0,1)為圓心，以eq\r(7)為半徑的圓．21．(本小題滿分12分)如圖4所示，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點，定點A，C的坐標分別是A(－2,3)，C(2,1)．圖4(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；(2)若B點的坐標為(－2，－2)，求直線BC截圓E所得的弦長．【解】(1)AC的中點E(0,2)即為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋－22)＝eq\r(5)，所以圓E的方程為x2＋(y－2)2＝5.(2)直線BC的斜率k＝eq\f(1－－2,2－－2)＝eq\f(3,4)，其方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－2)，即3x－4y－2＝0.點E到直線BC的距離為d＝eq\f(|－8－2|,5)＝2，所以BC截圓E所得的弦長為2eq\r(5－22)＝2.22.(本小題滿分12分)如圖5，已知圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝