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文檔簡介

第10章塑性極值原理和上限法第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用

§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

采用近似解法求解金屬塑性加工變形力學(xué)問題,據(jù)原理有兩類:一類是根據(jù)力平衡條件求近似解,如工程法;另一類是根據(jù)能量原理求近似解,如功平衡法和上限法等。

功平衡法是利用塑性變形過程的功平衡原理來求解變形力的近似解;極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理,確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下,即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解。§9.1功平衡法

功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計(jì)算變形力的一種近似方法,又稱變形功法。

功平衡原理是指:塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功(WP)等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功(Wd)和接觸摩擦功(Wf)之和,即:對于變形過程的某一瞬時(shí),上式可寫成功增量形式:WP=Wd+WfdWP=dWd+dWf

dWP為外力所作功的增量

dWd為塑性變形功增量

dWf為接觸摩擦所消耗功的增量單元體積的塑性變形功增量為

若接觸面S上摩擦切應(yīng)力及其方向的位移增量為duf,則外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP,則于是由功平衡方程,得到了總的變形力P為由于塑性變形總是不均勻的,計(jì)算是比較困難的,通??砂淳鶆蜃冃渭僭O(shè)確定,故變形功法又稱為均勻變形功法?!?.2極值原理及上限法

極值原理包括上限定理和下限定理,都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的,但各自分析問題的出發(fā)點(diǎn)不同。

上限定理是按運(yùn)動學(xué)許可速度場(主要滿足速度邊界條件和體積不變條件)來確定變形載荷的近似解,這一變形載荷它總是大于(理想情況下才等于)真實(shí)載荷,即高估的近似值,故稱上限解;

下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場(主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件)來確定變形載荷的近似解,它總是小于(理想情況下才等于)真實(shí)載荷,即低估的近似解,故稱下限解。

虛功原理:穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中,當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移(因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可,實(shí)際上并未發(fā)生,故稱虛位移)時(shí),則外力在此虛位移上所作的功(稱虛功),必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功,其表達(dá)式為:

最大塑性功消耗原理:在一切許可的塑性應(yīng)變增量(應(yīng)變速度)或許可的應(yīng)力狀態(tài)中,以符合增量理論關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)或塑性應(yīng)變增量(應(yīng)變速度)所耗塑性應(yīng)變功耗(或功率消耗)最大。

上限定理是根據(jù)運(yùn)動學(xué)許可速度場來分析變形載荷的,設(shè)所擬運(yùn)動學(xué)許可速度場為,由幾何關(guān)系確定的應(yīng)變速度場,再由該應(yīng)變速度場按幾何方程與增量理論確定的應(yīng)力場為。而變形體中實(shí)際的應(yīng)力場為,于是根據(jù)虛功原理和塑性功耗原理可以導(dǎo)出在一般情況下塑性加工中常用的上限定理的功率表達(dá)形式為:式中,為真實(shí)載荷。

用上限法計(jì)算塑性加工過程的極限載荷的關(guān)鍵在于擬設(shè)塑性變形區(qū)內(nèi)的虛擬運(yùn)動學(xué)許可速度場,這種速度場應(yīng)滿足以下三個(gè)條件:(1)速度邊界條件;(2)體積不變條件;

(3)保持變形區(qū)內(nèi)物質(zhì)的連續(xù)性。而與此速度場對應(yīng)的應(yīng)力場則不一定要求滿足力平衡條件和力的邊界條件。上限法中虛擬的運(yùn)動學(xué)許可速度場模式有三種:(1)Johnson模式,通常稱為簡化滑移線場的剛性三角形上限模式,主要適用于平面應(yīng)變問題。(2)Avitzur模式,通常稱為連續(xù)速度場的上限模式,它既可適用平面應(yīng)變問題、軸對稱問題,也可用于某些三維問題,用途比較廣泛。(3)上限單元技術(shù)(UBET),目前比較實(shí)用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對稱問題,以及某些非對稱軸的三維問題?!?.3速度間斷面及其速度特性速度間斷面速端圖及速度間斷量的計(jì)算

速端圖是以代表剛性區(qū)內(nèi)一不動點(diǎn)O為所有速度矢量的起始點(diǎn)(也稱為基點(diǎn)或極點(diǎn)),所作變形區(qū)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)速度矢量端點(diǎn)的軌跡圖形,它是研究平面應(yīng)變問題時(shí),確定剛性界面和接觸摩擦界面上相對滑動速度(即速度間斷量)的一個(gè)重要工具。矩形斷面板條平面應(yīng)變壓縮問題

§9.4

Johnson上限模式及應(yīng)用

基本思路:塑性變形區(qū)由若干個(gè)剛性三角形構(gòu)成,塑性變形時(shí)完全依靠三角形場間的相對滑動產(chǎn)生,變形過程中每一個(gè)剛性塊是一個(gè)均勻速度場,塊內(nèi)不發(fā)生塑性變形,于是塊內(nèi)的應(yīng)變速度上限功率表達(dá)式求解的基本步驟根據(jù)變形的具體情況,或參照該問題的滑移線場,確定變形區(qū)的幾何位置與形狀,再根據(jù)金屬流動的大體趨勢,將變形區(qū)劃分為若干個(gè)剛性三角形塊;根據(jù)變形區(qū)劃分剛性三角形塊情況,以及速度邊界條件,繪制速端圖;根據(jù)所作幾何圖形,計(jì)算各剛性三角形邊長及速端圖計(jì)算各剛性塊之間的速度間斷量,然后計(jì)算其剪切功率消耗;求問題的最佳上限解,一般劃分的剛性三角形塊時(shí),幾何形狀上包含若干個(gè)待定幾何參數(shù),所以須對待定參數(shù)求其極值,確定待定參數(shù)的具體數(shù)值以及最佳的上限解。例一:平?jīng)_頭壓入半無限體各塊間的剪切功率p?(W/2)·vo=k(OB·ΔvOB+AB·ΔvAB+BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+CD·ΔvCD)例二板條平面應(yīng)變擠壓

§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

基本思路:用一個(gè)連續(xù)速度場vi=fi(x,y,z)來描述整個(gè)變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點(diǎn)的流動考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響N=Nd+Nt+Nf+Nq塑性變形功率消耗

速度間斷面上剪切功率消耗

接觸面上摩擦功率消耗

附加外力消耗的(取“+”號)或向系統(tǒng)輸入的附加功率(取“-”號)

總的塑性變形功耗

基本能量方程

例一:直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題

——考慮側(cè)鼓時(shí)板坯的平錘壓縮例二:極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題

——寬板的平輥軋制

例三:圓柱坐標(biāo)軸對稱問題

——圓盤的鐓粗

例四:球坐標(biāo)軸對稱問題

——圓棒的拉拔或擠壓

一.概述極值原理包括上限定理和下限定理。上限定理:按運(yùn)動學(xué)許可速度場(主要滿足速度邊界條件和體積不變條件)來確定變形載荷的近似解,這一變形載荷總是大于(理想情況下才等于)真實(shí)載荷,即高估近似值,故稱上限解。下限定理:按靜力學(xué)許可應(yīng)力場(主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件)來確定變形載荷的近似解,它總是小于(理想情況下才等于)真實(shí)載荷,即低估近似解,故稱下限解。根據(jù)虛功原理和最大散逸功原理得出的。

上限解、下限解與精確解的比較上限法優(yōu)點(diǎn)適用于平面應(yīng)變問題,軸對稱和三維問題,如非軸對稱型材的擠壓、拉拔、軋制與鍛壓等。上限法由設(shè)計(jì)速度場入手,速度場直觀、易想象,可借助于試驗(yàn),如網(wǎng)格試驗(yàn),得到金屬的流線,再由設(shè)計(jì)的流函數(shù)去求機(jī)動許可速度場。上限法便于與計(jì)算機(jī)結(jié)合,自動將工件分為矩形,三角形截面單元,每一單元均對應(yīng)一定的相鄰關(guān)系和一定的力學(xué)特征。將標(biāo)準(zhǔn)模式塊的組合關(guān)系輸入后,計(jì)算機(jī)可優(yōu)化處理。通過虛單元法,模擬工件與工具間的接觸面上單位壓力分布及進(jìn)行模具的設(shè)計(jì)。二、虛功原理與基本能量方程式

變形體的虛功原理可表述如下:如對載荷系(力系)作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時(shí),則外力在虛位移上所作的虛功,必等于變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功(虛應(yīng)變能、功增量)?,F(xiàn)設(shè)一處于平衡受力狀態(tài)的塑性變形體,其體積為V,總表面積S分為ST和Su兩部分,ST上的表面力Ti已知,Su的位移增量dui(或位移速度)已知,變形體,應(yīng)變增量場為(或應(yīng)變速率),根據(jù)虛功原理有:的應(yīng)力場為場為若以代替,以代替,功增量變?yōu)楣β剩瑒t虛功率方程為對于剛塑性體,由于應(yīng)力球張量不做功,故上式又可寫成三、速度間斷

實(shí)際上,在剛塑性變形體內(nèi)可能存在位移(增量)或速度不連續(xù)的情況,這點(diǎn)必須考慮。現(xiàn)設(shè)變形體被速度間斷面SD分成①和②兩個(gè)區(qū)域;在微段dSD上的速度間斷情況如下圖所示。根據(jù)塑性變形體積不變條件可知,垂直于dSD上的速度分量必須相等,即,而切向速度分量可以不等,造成①、②區(qū)的相對滑動。其速度間斷值為

速度間斷面就是沿SD的一個(gè)速度急劇而連續(xù)變化的薄層區(qū),如下圖所示。

變形體由于存在速度間斷,要消耗一定的剪切功率,其值為如果變形體內(nèi)存在若干個(gè)速度間斷面,則所消耗的功率等于各個(gè)面所消耗功率的總和。于是,對于變形體存在速度間斷時(shí)的虛功(率)方程應(yīng)為:(當(dāng)變形體處于塑性屈服狀態(tài),=K剪切屈服強(qiáng)度)裂紋形成的功率剪切功率的消耗虛應(yīng)變功率消耗外力所作的虛功率四、最大散逸功原理

對于剛塑性體而言,若應(yīng)變增量場一定,在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中,與該應(yīng)變增量場符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大,其表達(dá)式為式中,、是符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力偏量(場)和應(yīng)變是滿足同一屈服準(zhǔn)則的任意應(yīng)力偏量(場)。增量(場);這時(shí),的矢量必然也垂直于的矢量端點(diǎn)處的屈服軌跡,故同樣存在如下的關(guān)系式將上述兩式對時(shí)間求導(dǎo),則得如果與符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變增量場為五、上限法原理

用上限法計(jì)算極限載荷時(shí),只假設(shè)塑變區(qū)的位移狀態(tài)為動可容速度場(或位移場),它滿足下列三個(gè)條件:1)滿足速度(或位移)的邊界條件,即在位移面上,=或=,或?yàn)榻o定的真實(shí)速度或真實(shí)位移。2)變形體在變形時(shí)保持連續(xù)形,不發(fā)生重疊和開裂3)滿足體積不變條件

現(xiàn)設(shè)有一動可容位移增量場,且變形體內(nèi)存在速度間斷面,其上的位移增量間斷值為,如下圖所示:將虛功方程用于動可容位移增量場和真實(shí)應(yīng)力場,參照變形體存在速度間斷時(shí)的虛功(率)方程可得 由最大散逸功原理可知將上式代入(1)式,并考慮到在上,,故得(2)Su上真實(shí)表面力Ti所作的功增量虛擬動可位移增量場所作的功增量虛擬速度間斷面

上所消耗的剪切功增量ST上真實(shí)表面力Ti在上所作的功增量由于上式右邊三項(xiàng)之和即為所求虛擬變形功增量,也即上虛擬表面力所作功增量:而(2)式的左邊項(xiàng)為上真實(shí)表面力所作的功增量。它可簡寫為

(3)式(2)、(3)即為上限定理得數(shù)學(xué)表達(dá)式,它可表述為:在上,與任一動可容位移增量場對應(yīng)的表面力所做的功增量,總是大于或等于真實(shí)表面力在真實(shí)位移增量場上所做的功增量。若以、分別代替和,則式(2)中的各項(xiàng)變?yōu)橄鄳?yīng)的功率,因而得(4)式(3)、(4)還表明,由上所確定的載荷,總是大于或等于真實(shí)表面力所確定的載荷P(即真實(shí)載荷)。為了獲得合理的上限載荷,通常需要設(shè)計(jì)多個(gè)動可容位移增量場(或速度場),分別求出相應(yīng)的載荷,其中最小的一個(gè)就是最接近于真實(shí)載荷的上限解。(1)Johnson模式,通常

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