高中數(shù)學蘇教版本冊總復習總復習 2023版第2章學業(yè)分層測評16

學業(yè)分層測評(十六)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題1．以下關于線性回歸的判斷，正確的為________．(填序號)①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②已知線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則x＝25時，y的估計值為；③線性回歸方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢．【解析】能使所有數(shù)據(jù)點都在它附近的直線不止一條，而據(jù)回歸直線的定義知，只有按最小平方法求得直線eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx才是線性回歸方程，①不對，③正確．將x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，解得eq\o(y,\s\up6(^))＝，②正確．【答案】②③2．甲、乙兩同學各自獨立地考察兩個變量X、Y的線性相關關系時，發(fā)現(xiàn)兩人對X的觀察數(shù)據(jù)的平均值相等，都是s，對Y的觀察數(shù)據(jù)的平均值也相等，都是t，各自求出的回歸直線分別是l1，l2，則直線l1與l2必經(jīng)過同一點________．【解析】由回歸方程必過樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))知，直線l1，l2經(jīng)過的同一點為(s，t)．【答案】(s，t)3．已知某工廠在2023年每月產品的總成本y(萬元)與月產量x(萬件)之間有線性相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若月產量增加4萬件時，則估計成本增加________萬元．【解析】由eq\o(y,\s\up6(^))1＝＋，eq\o(y,\s\up6(^))2＝(x1＋4)＋，得eq\o(y,\s\up6(^))2－eq\o(y,\s\up6(^))1＝×4＝(萬元)．【答案】4．對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關關系，回歸方程為y＝－，估計該臺機器使用________年最合算．【解析】只要預計利潤不為負數(shù)，使用該機器就算合算，即y≥0，所以－≥0，解得x≤，所以該臺機器使用8年最合算．【答案】85．已知x，y的取值如下表所示：x0134y從散點圖分析，y與x線性相關，且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，則a＝________.【解析】由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝，所以＝×2＋a，解得a＝.【答案】6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產A產品過程中記錄的產量x(單位：噸)與相應的生產能耗y(單位：103kJ)幾組對應的數(shù)據(jù)：x3456yt4根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程y＝＋，那么表中t的值為________．【解析】由eq\o(y,\s\up6(－))＝\o(x,\s\up6(－))＋，得eq\f＋t＋4＋,4)＝×eq\f(3＋4＋5＋6,4)＋，故eq\f(11＋t,4)＝，即t＝3.【答案】37．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則下列判斷正確的是________．①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.【解析】作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b<0，當x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝a>0.故a>0，b<0.【答案】②8．某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________cm.【導學號：11032054】【解析】設父親身高為xcm，兒子身高為ycm，則x173170176y170176182eq\x\to(x)＝173，eq\x\to(y)＝176，b＝eq\f(\i\su(i＝1,3,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,3,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6,02＋－32＋32)＝1，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝176－1×173＝3，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋3，當x＝182時，eq\o(y,\s\up6(^))＝185.【答案】185二、解答題9．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，經(jīng)統(tǒng)計第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，得到eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．【解】(1)由題意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝2－×8＝－，故所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝>0)，故x與y之間是正相關．(3)將x＝7代入線性回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄約為y＝×7－＝(千元)．10．某種產品的廣告支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應關系：x24568y3040605070(1)假定y與x之間具有線性相關關系，求線性回歸方程；(2)若實際銷售額不少于60百萬元，則廣告支出應該不少于多少？【解】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋4＋5＋6＋8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(30＋40＋60＋50＋70)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝22＋42＋52＋62＋82＝145.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1380.∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝50－×5＝，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由線性回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))≥60，即＋≥60，∴x≥eq\f(85,13)≈，∴廣告費用支出應不少于百萬元．[能力提升]1．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b為，據(jù)此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額為________萬元．【解析】由題意可知eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝42，則42＝×＋a，a＝，eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝.【答案】2．期中考試后，某校高一(9)班對全班65名學生的成績進行分析，得到數(shù)學成績y對總成績x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6＋.由此可以估計：若兩個同學的總成績相差50分，則他們的數(shù)學成績大約相差________分.【導學號：11032055】【解析】令兩人的總成績分別為x1，x2.則對應的數(shù)學成績估計為eq\o(y,\s\up6(^))1＝6＋，eq\o(y,\s\up6(^))2＝6＋，所以|eq\o(y,\s\up6(^))1－eq\o(y,\s\up6(^))2|＝|(x1－x2)|＝×50＝20.【答案】203．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則eq\o(b,\s\up6(^))________b′，eq\o(a,\s\up6(^))________a′(填“>”“<”或“＝”)．【解析】由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.【答案】<>4．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸直線方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．(1)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(2)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的回歸直線方程是可靠的，試問(1)中所得的回歸直線方程是否可靠？【解】(1)由數(shù)據(jù)求得，eq\o(x,\s\up6(－))＝12，eq\o(y,\s\up