高中數(shù)學人教B版第二章平面解析幾何初步 第二章基本知能檢測

第二章基本知能檢測班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若直線x＝1的傾斜角為α，則α等于()A．0°B．45°C．90°D．180°答案：C解析：直線垂直于x軸，根據(jù)定義，α＝90°.2．圓x2＋y2－18＝0和圓x2＋y2＋4y＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．外切C．相交D．內(nèi)含答案：D解析：由圓心距到半徑之間的關(guān)系即可判斷．3．直線x＋ay－6＝0和直線(a－4)x－3y＋2a＝0平行，則a的值是()A．1B．－1C．1或3D．－1或3答案：A解析：當a＝0時，兩直線方程分別為x＋6＝0和－4x－3y＝0，不平行；當a≠0時，eq\f(a－4,1)＝eq\f(－3,a)≠eq\f(2a,－6)，解得a＝1.4．已知點A(－1,1)和B(1,7)，則原點O到直線AB的距離為()\f(2\r(5),5)\f(2\r(10),5)C．3D．5答案：B解析：直線AB的方程為3x－y＋4＝0，d＝eq\f(4,\r(10))＝eq\f(2\r(10),5).5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜－2或a＞eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)＜a＜0C．－2＜a＜0D．－2＜a＜eq\f(2,3)答案：D解析：a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0,3a2＋4a－4＜0，－2＜a＜eq\f(2,3).6．圓心為A(1，－2)且與直線x－3y＋3＝0相切的圓的方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圓半徑r＝eq\f(|1＋6＋3|,\r(1＋9))＝eq\r(10)，故圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝10.7．直線x＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長等于2eq\r(3)，則a的值等于()A．1或3\r(2)或－eq\r(2)\r(3)D．－1或3答案：A解析：由題意|a－2|2＋(eq\r(3))2＝22，解得a＝1或3.8．直線a2x－2y＋2＝0和直線x＋ay＋1＝0互相垂直，則a的值為()A．0或2B．0C．2D．－2或0答案：A解析：當a＝0時，y＝1與x＝－1垂直；當a≠0時，eq\f(a2,2)×(－eq\f(1,a))＝－1，a＝2.9．兩平行線l1：x－y＋2＝0與l2：2x＋ay＋c＝0(c＞0)之間的距離是eq\r(2)，則eq\f(a－2,c)的值是()\f(1,2)B．1C．－1D．－eq\f(1,2)答案：D解析：根據(jù)兩直線平行得：eq\f(1,2)＝eq\f(－1,a)≠eq\f(2,c)，所以a＝－2.又兩直線的距離是eq\r(2)，所以有：eq\r(2)＝eq\f(|c－4|,\r(22＋22))，即|c－4|＝4，所以c＝8或c＝0(舍去)，所以a＝－2，c＝8代入eq\f(a－2,c)＝eq\f(－2－2,8)＝－eq\f(1,2).10．已知點M(－2,1)與點N(3,2)到直線l：ax－y＋2＝0的距離相等，則實數(shù)a等于()A．1或5B．－1或5\f(1,5)或1\f(1,5)或－1答案：D解析：l過點MN中點或l∥MN.①MN的中點為(eq\f(1,2)，eq\f(3,2))，由eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)＋2＝0得a＝－1.②kMN＝eq\f(2－1,3＋2)＝eq\f(1,5)，∴a＝eq\f(1,5).11．一束光線從點A(－1,1)出發(fā)，經(jīng)過x軸反射到圓(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是()A．4eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)D．3答案：B解析：因為入射光線與反射光線關(guān)于x軸對稱，所以可以轉(zhuǎn)而考慮A點關(guān)于x軸對稱點A1與圓的關(guān)系，如圖所示，最短距離為|A1B|＝|A1C|－1，A1(－1，－1)，C(2,3)，所以|A1C|＝eq\r(9＋16)＝5.∴|A1B|＝4.12．已知圓x2＋y2＝4，直線l：x－y＋b＝0，圓x2＋y2＝4上有四個點到直線l上的距離等于1，則b的取值范圍為()A．－eq\r(2)＜b＜eq\r(2)B．－1＜b＜1\r(2)＜b＜2D．0＜b＜1答案：A解析：利用數(shù)形結(jié)合求解．如圖所示，圓的半徑為2，圓上存在四個點到直線y＝x＋b的距離等于1.∴b的極限位置是b＝±eq\r(2)，∴－eq\r(2)＜b＜eq\r(2).故選A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．直線2x＋y－3＝0被曲線x2＋y2＋4y－5＝0所截得的弦長等于________．答案：4解析：x2＋(y＋2)2＝9，d＝eq\r(5)，r＝3，eq\r(r2－d2)＝2.14．設(shè)點P在直線x＋3y＝0上，且P到原點的距離與P到直線x＋3y－2＝0的距離相等，則點P坐標是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))解析：設(shè)P(－3y，y)，則eq\r(y2＋9y2)＝eq\f(|－3y＋3y－2|,\r(10))，y＝±eq\f(1,5)當y＝eq\f(1,5)時，x＝－eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))，當y＝－eq\f(1,5)時，x＝eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5))).15．如果實數(shù)x，y滿足等式(x－3)2＋y2＝4，那么eq\f(y,x)的最大值是________．答案：eq\f(2\r(5),5)解析：設(shè)eq\f(y,x)＝k，y＝kx，(x－3)2＋k2x2＝4，(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)≥0，－eq\f(2\r(5),5)≤k≤eq\f(2\r(5),5).另可考慮斜率的幾何意義來做．16．若圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與直線y＝－1相切，且其圓心在y軸的左側(cè)，則m的值為__________．答案：eq\r(3)解析：x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0，即(x＋eq\f(m,2))2＋y2＝eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)，故圓心坐標為(－eq\f(m,2)，0)，半徑為eq\r(\f(1,4)＋\f(m2,4)).由圓心在y軸左側(cè)，得－eq\f(m,2)＜0，即m＞0.由圓與直線y＝－1相切得eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)＝1.又m＞0，故m＝eq\r(3).三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)求過直線l1：2x＋y－5＝0，l2：3x－y－5＝0的交點P，且平行于直線x＋3y－3＝0的直線方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,3x－y－5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))，再設(shè)x＋3y＋c＝0，則c＝－5，x＋3y－5＝0為所求．18．(12分)已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線的方程；(2)求它們的公共弦長．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0為公共弦所在直線的方程；(2)弦長的一半為eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦長為2eq\r(30).19．(12分)已知曲線C：x＝eq\r(4－y2)與直線y＝k(x－1)＋3只有一個交點，求實數(shù)k的取值范圍．解：曲線C的方程可化為x2＋y2＝4，x≥0，∴曲線C表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓的右半部分，直線過定點M(1,3)．如圖所示．由圖可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5.又eq\f(|－k＋3|,\r(1＋k2))＝2，化簡得3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1±eq\f(2\r(6),3)(舍去正根)．綜上，實數(shù)k的取值范圍是1≤k＜5或k＝－1－eq\f(2\r(6),3).20．(12分)已知直線2x－y＋m＝0和圓x2＋y2＝5，求m分別為何值時，(1)無公共點．(2)截得的弦長為2.(3)交點處的半徑互相垂直．解：(1)依題意，圓心O(0,0)到直線2x－y＋m＝0的距離大于半徑eq\r(5)，由eq\f(|2×0－1×0＋m|,\r(22＋1))＞eq\r(5)，得|m|＞5，∴m＞5或m＜－5.故當m＞5或m＜－5時，直線2x－y＋m＝0和圓x2＋y2＝5無公共點．(2)依題意，設(shè)弦AB長為2，AB的中點為C，由圓的性質(zhì)可知，OC⊥AB，則|OC|＝eq\r(|OA|2－|AC|2)＝2，∴eq\f(|2·0－1·0＋m|,\r(22＋1))＝2，|m|＝2eq\r(5)，∴m＝±2eq\r(5).故當m＝±2eq\r(5)時，直線2x－y＋m＝0和圓x2＋y2＝5截得弦長為2.(3)依題意，設(shè)弦AB，且OA⊥OB，又AB的中點為C，則OC⊥AB，可知|OC|＝eq\f(\r(2),2)|OA|，∴eq\f(|2·0－1·0＋m|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(10),2)，|m|＝eq\f(5\r(2),2)，∴m＝±eq\f(5\r(2),2)，故當m＝±eq\f(5\r(2),2)時，直線2x－y＋m＝0和圓x2＋y2＝5的交點處的半徑互相垂直．21．(12分)已知△ABC的兩條高線所在的直線方程為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點A(1,2)．求：(1)BC邊所在的直線方程；(2)△ABC的面積．解：(1)∵A點不在兩條高線上，由兩條直線垂直的條件可得kAB＝－eq\f(3,2)，kAC＝1.∴AB、AC邊所在的直線方程為3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－7＝0,x＋y＝0))得B(7，－7)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,2x－3y＋1＝0))得C(－2，－1)．∴BC邊所在的直線方程為2x＋3y＋7＝0.(2)∵|BC|＝eq\r(117)，A點到BC邊的距離d＝eq\f(15,\r(13))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×d×|BC|＝eq\f(1,2)×eq\f(15,\r(13))×eq\r(117)＝eq\f(45,2).22．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圓心為(－1,2)，半徑為eq\r(2).當切線過原點時，設(shè)切線方程為y＝kx，則eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切線方程為y＝(2±eq\r(6))x.當切線不過原點時，設(shè)切線方程為x＋y＝a，則eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切線方程為x＋y＋1＝